欧拉方程及其求解

欧拉方程
欧拉方程
xn y(n) p1xn1 y(n1) pn1x y pn y f (x) ( pk为常数) 令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
欧拉方程的算子解法:
xn y(n) p1xn1 y(n1) pn1x y pn y f (x)
令 x et ,
则
d y d y dt 1d y dx dt dx x dt
x y d y dt
d2 y d x2
d dt
(1 x
d y) dt dt dx
1 x2
d2 y dt2
dy dt
计算繁!xLeabharlann 2yd2 dt
y
2
d d
y t
记
D
d, dt
Dk
dk dtk
(k
2, 3, ),则由上述计算可知:
x y D y
x2 y D2 y D y D(D 1) y
用归纳法可证 xk y(k) D(D 1)(D k 1) y
于是欧拉方程 xn y(n) p1xn1 y(n1) pn1x y pn y f (x)
转化为常系数线性方程:
Dn y b1Dn1y bn y f (et )
即
dn y d tn
例3.
解: 由题设得定解问题
③
④
令 x e t , 记 D d , 则③化为 dt
[D(D 1) D 4] y 5et
(D2 4) y 5et
⑤
特征根: r 2i, 设特解: y Aet , 代入⑤得 A＝1
得通解为
y C1 cos 2t C2 sin 2t et
C1
cos(2 ln
b1
dn1 y d t n1
bn y
f
(et )
例1.
解:
则原方程化为
亦即
①
特征方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
设特解: y At 2 B t C
代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
例2. 解: 将方程化为
则方程化为
(欧拉方程)
即
②
特征根:
设特解: y At 2et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
x)
C2
sin(2 ln
x)
1 x
利用初始条件④得
C1 1,
C2
1 2
故所求特解为
y cos(2 ln x) 1 sin(2 ln x) 1
2
x
思考: 如何解下述微分方程
提示: 原方程
直接令
记D d dt
[D(D 1) p1D p2 ] y f (e t a)
记D d dt