递归数列通项公式的求法

递归数列通项公式的求法

确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。 基础知识

定义：对于任意的*N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项

k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。若f 是线性的，

则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法： 一．公式法

(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=； (2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m n m n q a a -=；

(3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n n n 。

二．迭代法

迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ； 迭乘恒等式： 11

2211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=

--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题： 类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ； 类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ； 三．待定系数法

类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ； 四．特征根法

类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n n n B A x βα+=（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1)1([--+=n n n B A x αα（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定。

证明：设特征根为βα,，则,p =+βαq -=αβ

所

以

12++-n n x x α=11++-+n n n x qx px α=n n qx x p +-+1)(α=n n x x αββ-+1=)(1n n x x αβ-+

即}{1n n x x α-+是以β为公比，首项为)12x x α-的等比数列。 所以1121)(-+-=-n n n x x x x βαα，所以2121)(---+=n n n x x x x βαα

(1)当βα≠时，则其通项公式为n n n B A x βα+=，其中α

βαβ)(12--=x x A ，

β

βαα)(12--=

x x B ； (2)当βα=时，则其通项公式为1)]1([--+=n n n B A x αα，其中

α

αα

1

21

,x x B x A -=

=

求递推数列通项的特征根法

一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列

形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①

若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a

例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项

n a

解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，

由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得121

12

c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+

例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项

n a

解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212n

n a c nc ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

，

由1122121()121(2)2

4

a c c a c c ⎧

=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=

二、形如2n n n Aa B

a Ca D

++=

+的数列

对于数列2n n n Aa B

a Ca D

++=

+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）

其特征方程为Ax B

x Cx D

+=

+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②

若②有二异根,αβ，则可令

11n n n n a a c a a αα

ββ

++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入

12,a a 的值可求得c 值。

这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬

-⎩⎭

是首项为11a a α

β--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a

若②有二重根αβ=，则可令111

n n c a a αα

+=+--（其中c 是待定常数），代

入12,a a 的值可求得c 值。

这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬

-⎩⎭是首项为1

n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a

例3已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2

21

x x x +=

+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令1111

11

n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =

，可得13

c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭

是以1111

13a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，