第四章 方差分析

2
( xij ) 2 km
( xi j Ti ) ( xij ) 2 C km
Ti2 C m
SSe=SST－SSA
●自由度的计算 dfT=km－1 =km－k＋k－1 =k(m－1)＋(k－1) =dfe＋dfA dfA=k－1 dfe=k(m－1)=dfT－dfA ●方差的计算
2．各变因平方和与自由度及方差的计算 因为整个数据的总变异是由处理间的变异和处理内变异即误差 引起的变异，而方差又是由平方和与自由度构成的，即：
( x x ) 2 S n 1
2
因此，整个数据的平方和及自由度亦应由处理间及误差两部分构 成，即： 总平方和=处理间平方和＋误差的平方和 总自由度=处理间自由度＋误差的自由度 用 SS 表示平方和，用 df 表示自由度，用 T 代表总变异，用 e 代 表误差，则有： SST=SSA＋SSe dfT=dfA＋dfe
SSe=SST－SSA=2.7605－2.2218=0.5387 df：dfT=km－1=20－1=19 dfA=k－1=4－1=3 dfe=dfT－dfA=19－3=16 S：
2
2 SA
SS A 2.2218 0.7406 df A 3
2 Se
SSe 0.5387 0.0337 df e 16
x1 x 2
的差异显著，用*标记 的差异极显著，用**标记
≥LSD0.01 时，
x1 x 2
SD 的计算：
2 2 2 ( n1 1) S1 ( n 2 1) S 2 ( n k 1) S k 2 S Se n1 n 2 n k k
SD
2 SA
SS A df A
Ti2 C m k 1
2 Se
SSe SST SS A df e dfT df A
3．F 分布及 F 检验 ●F 分布——在一个 N（μ ，δ 2）总体中，随机抽取两个容量分
S 别为 n1 和 n2 的独立随机样本，其方差分别为 12 和
S 22
自交系号 1 2 3 4 2.21 1.40 1.65 1.42 叶球重（kg） 2.00 1.26 1.94 1.66 1.90 0.90 1.44 1.21 1.95 1.08 1.51 1.61 2.14 0.97 1.78 1.36 Ti 10.20 5.61 8.32 7.26 T=31.39
„ „ „ „ „ „
x1j x2j
„ „ „ „ „ „
x1m x2m
T1 T2
x1
x2
…
…
i
… …
xi1 xi2
…
xij
…
xim
…
Ti
xi
…
xk
…
k
… …
xk1 xk2
…
xkj
…
xkm
…
Tk T
x
1．变异因素的划分 各种生物现象都是一个变异的总体，它构成了试验的总 变异。划分变异因素就是确定总变异是由哪些因素引起的， 也就是将各种可能引起变异的因素逐个从总变异中分出。一 般而言，总变异是由两种因素引起的，一种是试验处理引起 的（处理间变异） ，另一种是取样误差引起的（处理内变异 即误差） 。变异因素的划分必须根据试验目的、设计方法和 资料的性质而定。例如有区组控制的试验，变因除了处理和 误差引起外，还有一部分是区组引起的。
S2 A Se 2 0.7406 21.9763 ** F 0.01 0.0337
F：
FA
dfA=3，dfe=16 时，F0.05=3.24，F0.01=5.29
表 4-4 资料的方差分析表
变 因 自交系 误 差 总变异 Df 3 16 19 SS 2.2218 0.5387 S2 0.7406 0.0337 F 21.9763** F0.05 3.24 F0.01 5.29
第四章
方差分析
●方差分析（analysis of variance） 方差分析，也称为变量分析，1923 年由 K.A.Fisher 提出。它可以解决试验中多个处 理的平均数之间差异显著性检验问题。它的应用非常广泛。它是在划分变异因素的基础 上，再计算各个变异因素的方差，从而进行方差比较的一种统计检验方法。
[ 2 ( x ij x i )( x i x ) 2 ( x ij x i ) ( x i x ) 0]
SST ( xij x ) 2
2 xij

( xij ) 2 km
2 xij C
( xij ) 2 C km
2
F
n1 2 2
y( F ) n2 2 n2 2 ( )! ( )! (n1 F1 n2 2 2
●F 分布的形状
n1 n2 ) 2
n1=1 或 2 时，曲线严重倾斜呈反丁型 n1≥3 时，曲线转为偏斜分布，有高峰
●F 检验 F 检验的条件： 变量 x 遵从正态分布 N（μ ，δ 2）
S12
和S 2 彼此独立
2
F 检验：Ho：μ 1=μ 2=„=μ
k
F
2 SA 2 Se
当 F≥Fα 时，否定 H0，说明被检验的多个样本中，至少有两个 之间的差异是显著的或极显著的。 当 F＜Fα 时，肯是 H0，说明多个样本之间无显著性差异
Fα 的自由度组合为： A，dfe） （df
●方差分析模式表 表 4-2 变 因 df k－1 k(m－1) Km－1 SS
●平方和的计算 据平方和的定义及模式表，有： SS T ( xij x ) 2 ( xij xi xi x ) 2 [( xij xi ) ( xi x )] 2 ( xij xi ) 2 ( xi x ) 2 2 ( xij xi )( xi x ) ( xij xi ) 2 m ( xi x ) 2 SS e SS A (i 1， , k；j 1， , m) 2， 2，
，其比值用 F 表示，即：
2 S1 F 2 S2
如果按上述样本容量（或自由度）组合重复抽样，将会得到 一系列 F 值，这些 F 值的分布就叫作该自由度组合下的 F 分布。 那么在不同的自由度组合下就形成不同的 F 分布。 分布是衍生 F 总体。
●F 分布的概率密度函数
n1 n1 n2 2 ( )! n12 n2 n22
2S 2 n
2 2 Se n
df dfe dfT df A n1 n2 nk k k (n 1)
（n1=n2=„nk=n）
●●实例：表 4-3 资料的多重比较
LSD .05 t0.05 SD 2.12 0
LSD0.01 t0.01 S D 2.92
结论：4 个自交系中至少有 2 个自交系间差异极显著。
4．多重比较（multiple comparisons） 在 F 检验显著的基础上，须对各样本的平均值之间进行相 互比较，以确定哪些平均值之间有差异，哪些平均值之间无差 异，为选择最优处理（水平）提供依据。对不同平均值之间的 差异显著性同时进行比较，数理统计上称为“多重比较” 。 多重比较常用的方法有 3 种。 ●最小显著性差数法（least significant difference，即 LSD 法）
x2 C
SS A m ( xi x ) 2 m[ xi2 m xi2 ( xi ) 2 ] k ( xi ) 2 m k
2
xij m m
( xij ) 2 m
xij m m k
表 4-1 资料的方差分析表 S2
S
2 A
F
S2 F A 2 Se
F0。05
F0。01
处理 误差 总变异
SSA SSe
(dfA，dfe) (dfA，dfe)
2 Se
●实例：从青种平头甘蓝中选出 4 个自交系，从每个自交系中随机取 5 个 叶球称其重量。测验 4 个自交系叶球重量的差异显著性。 表 4-3 4 个甘蓝自交系叶球的重量（kg）
2 0.0337 0.25 5
2 0.337 0.34 5
（df=dfe=16，0.05=2.12） t （df=dfe=16，0.01=2.92） t
自交系 1 3 4 2
表 4-5 表 4-3 资料的 LSD 法检验结果 平均产量x i xi －1.122 xi －1.452 xi （kg）
∴ tα ·SD 称为最小显著性差数，用 LSDα 表示，即 LSDα = tα ·SD 当α =0.05 时，LSD0.05=t0.05·SD 称为 5%最小显著性差数 当α =0.01 时，LSD0.01=t0.01·SD 称为 1%最小显著性差数 当
x1 x 2
当
x1 x 2
≥LSD0.05 时，
●最小显著性极差法（least significant ranges，即 LSR 法） ●●它是采用平均数间的极差值在一定概率保证 下所算得的最小值即最小显著性差数 （LSRα ） 进行多 重比较的。不同平均数间极差所包含的平均数个数 （k）不同，最小显著性差数（LSRα ）值亦不同。
●●LSR 法之 q 法 原理：由于 q 即： x1
一、方差分析的基本原理（以样本容量相等的单向分组资料为模式）
设因素 A 共有 k 个处理（水平） ，各处理均有 m 个观察值，则该资料共有 km 个观 察值。 表 4-1 单向分组资料模式表 处理号（组） 观察值（x ） 总和（T ） 平均 ( x i )
ij i
1 2
x11 x12 x21 x22
●●在一定的概率保证下，计算出任何两个平均值间差异显著的最小差数标准即最 小显著性差数（LSD） ，并以此为标准对任何两个平均值之间的差数进行比较，作出显 著性判断。 原理：∵当 t
x1 x 2 ≥tα SD
（α =0.05，0.01）
x 即： x1 x2 ≥tα ·SD 时， x1 － 2 的差异显著（或极显著） 。
x1 x 2 ≥qα SE
α
x2 ≥q
·SE
所以 x1 x 2 之间的差异显著或极显著。qα ·SE 称为最小显著 性极差值，用 LSRα 表示，即：LSRα =qα ·SE LSR0.05 称为 5%的最小显著性极差，LSR0.01 称为 1%最小显 著性极差。 SE 的计算：
S E S x S e n df df e
xi
2.040 1.122 1.664 1.452
x
Baidu Nhomakorabea=31.39
x
=1.5695
变因 自交系（A） 误差（e）
31 .39 2 SS： SS T x C ( 2.21 2.00 1.36 ) 20 2.7605
2 2 2 2
Ti 2 10.20 2 5.612 8.32 2 7.26 2 31.39 2 SS A C 2.2218 m 5 20
2 Se n
n 为样本容量 2 Se 误差的方差
实例： 表 4-6 qα 和 LSRα 2 q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01
Sx
表 4-3 资料的 q 法检验之 LSRα 值 k 3 3.65 4.78 0.300 0.392
0 .0337 0 .0821 5
2.040 1.664 1.452 1.122 0.918** 0.542** 0.330* 0.588** 0.212
－1.664 0.376**
结论：自交系 1 与 3、4、2 之间的差异均达极显著水平；3、4 显 著优于 2；3 与 4 之间差异不显著。 ●●LSD 法应用的条件 当多个处理都和一个对照（CK）比较时才可应用此法。
4 4.05 5.19 0.333 0.426
3.00 4.13 0.246 0.339
2 Se n
表 4-7 表 4-3 资料的 q 法检验结果 自交系 1 3 4 2