(第八章)空间滤波解析

8.1.2 阿贝——波特实验
xo Po yo y1 图8.1.2 阿贝——波特实验
在图8.1.2 所示的实验中，物体是二维正交光栅。相干光垂直照明下， 在L2的后焦面P1上出现物体的空间频谱。这些频谱是排列成平行于 正交光栅的等间距分布的光点点阵。在L3的后焦面Pi出现光点点阵 空间频谱所综合成的正交光栅的像。如不考虑透镜的有限孔径的 影响，物体的全部信息中的频率成分都形成空间的频谱，所有空间 频谱又都参与综合成像，得到的像是几何光学理想像。
1 xo xo xo T f x F t xo F rect comb rect d a d L
1 xo xo xo F rect comb F rect d a d L
D/ 2 f /
(8.1.1)
时，到达衍射极限。由式(8.1.1)可得
2 f / D
(8.1.2)

即为显微镜的分辨极限。它与孔径光阑的直径成反比。
8.1.2 阿贝——波特实验
Abbe （1893） -Porter （1906）实验
物体 平行激光 L 焦 平 面 像
f
f
f
f
L： Fourier变换透镜 焦平面 ： 滤波平面
8.1.1 阿贝成像理论
应用阿贝成像原理分析显微镜的分辩本领。 设物体是间距为d的光栅，受相干光垂直照明。物体后焦面上有 直径为D的孔径光阑。由傅里叶变换时空间频率的取值与空间坐 标的关系可得，光栅在物镜后焦面上的一级频谱的位置为 f / d ,0 f为物镜的焦距。显然，d越小，一级频谱离开频谱面中心的距离 越远。当d减少到 , 并有
1 xo xo xo F rect F comb F rect d a d L
1 a sin c af x d comb df x L sin c Lf x d aL m sin c af x f x sin c Lf x d d m
早期发展
1873 Abbe 提出二次成像理论 1875 Abbe’s experiment:
D
f
Objective low pass filter
D Relative Aperture f
Abbe （1893） -Porter （1906）实验
1935荷兰物理学家Zernike发明 相衬显微镜 Phase contrast microscope
8.1.3 空间滤波的傅里叶分析
设光栅常数为d, 缝宽为a,光栅沿x1方向的宽度为L，则它的透过 率为: x 1 x x (8.1.3) t xo rect o comb o rect o
a d a L
在P1平面上的光场分布应正比于物体的频谱，即：
1 f f x 或 x1 L L f x为其他值 aL sinc(Lf x ) (8.1.5) 则紧靠狭缝后的透射光场为 T(f x )H(f x )= d 1 H(f x )= 0
于是在输出平面上的场分布为
狭缝的透过函数,也即系统的相干传递函数，可写为
g(xi )=F
-1
x1 P1
Pi Βιβλιοθήκη Baidui
xi
8.1.2 阿贝——波特实验
Abbe-Porter实验 空间滤波 低通滤波 D 高通滤波 E 方向滤波 B,C,F 如果在频谱平面上不 同位置放置不同方向 的狭缝或小孔光阑， 分别阻挡部分频谱， 透射传递部分频谱， 则在像平面上就会观 察到改变了的物体的 不同输出像.
图8.1.3 阿贝——波特实验图示
(8.1.4)
式中：f x x1 /( f ), x1是频谱面上的位置坐标。f x是同一平面上用 空间频率表示的坐标。为了避免各级频谱重叠，假定L/2 d.下面 我们将讨论在频谱面P1上放置不同的滤波器时，在输出面Pi上像场的 变换情况。
（1）滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许零级谱通过，阻止其 余频谱。也就是说只让(8.1.2)式中第一项 (aL/d)sinc(Lf x ) 通过，
(8.1.7)
8.1.3 空间滤波的傅里叶分析
于是Pi平面上输出光场的分布为
g(xi )=F - 1 Gi (f x )
xi a xi xi a rect sin c rect exp j 2 d L d L d x x a sin c rect i exp j 2 i ] d d L
事实上，早在1864年在阿贝提出他的理论以前，Toepler就发明了Schlieren(纹 影)方法，早先用来探测透镜的疵病．Schlieren在德语中是条纹的意思．在这一 方法中，只是简单地把衍射图形挡去一半多一点，透镜中的疵病等相位物体就可 以看见．这简单而有效的方法沿用至今，使风洞中气压分布变成可见的图像． 下图中HS是光阑，它挡去一半多一点的衍射图形．P仍用相干光照明．
8.1.2 阿贝——波特实验
图8.1.3给出了不同方向放置的狭缝或小孔光阑对成像的影响。
上述实验可用阿贝的成像理论进行定性的解释。
物体的空间频谱，包含着物体信息中的各种空间频率分量。 在空间频谱平面上的频谱坐标中，中央原点的频谱，由物体 衍射光波与光轴平行的平面波分量相应的角谱形成，称为零 频，相当于直流分量，也就是物体图像的背景光；沿水平或 垂直坐标方向上，依次为基频、倍频、高频频谱，离中心原 点越远，相应的空间频谱的频率成分越高。他们分别由垂直 或水平光栅衍射的光波相应的角谱，即不同传播方向的平面 波分量通过透镜L2形成。物体的像和物体被系统传递的空间 频谱有一一对应的关系。他们的相似程度，完全有能够被系 统传递到像平面的频谱的多少决定。在空间频谱面上放置不 同透射情况的光阑，改变透射的空间频谱，能够被系统传递 的频谱受到调制，像平面上输出像的结构也相应发生变化。
8.1.1 阿贝成像理论
根据阿贝成像理论，当不考虑物镜孔径的限制时，物体所有频 率分量都形成频谱，所有频谱都参与成像，像就是物体的准确 复现。实际上，物镜的孔径总是有限大小的，由于受孔径光瞳 的限制，物体的频率分量只有一部分形成频谱，只有这部分的 频谱参与成像。一些高频的成分丢失而没有通过物镜，使像产 生失真，影响像的清晰度或分辨本领。当高频成分的能量很大， 物体孔径光瞳较小，丢失的高频成分影响较大，像的失真就较 严重；当高频成分的能量较小，物镜的光瞳较大，丢失的高频 成分影响较小，像的失真不大，像就与物体比较相似。因此， 所有由透镜组成的光学系统的作用，都类似于一个低通滤波器。
8.1.3 空间滤波的傅里叶分析
（2）放入扩大了宽度的狭缝，允许零级和正、负一级频谱通过， 阻止其余频谱，此时狭缝的透过率函数为
1 H c (f x )= 0
1 1 fx L d f x为其他值
透过率函数的频谱函数为
aL n an G i f x =T f x H c f x sinc sinc L f x H c d n d d aL 1 1 a a = sinc Lf x sinc sinc L f x sinc sinc L f x d d d d d
xi a T(f x )H(f x ) = rect( ) d L
(8.1.6)
式(8.1.6)说明所得像分布是一个矩形函数，其xi方向的宽度等于 原光栅的宽度，但内部的结构已消失，光场呈一片均匀。它是背 景光。
空间滤波器的全部过程如图8.1.4所示。
图8.1.4 一维光栅经 滤波的像（透过零 级）(a)在Po面上放 置的一维光栅的透 过率函数(物体)；(b) 频谱面上频谱的光 场分布(物体频谱)； (c)空间滤波器透过 率函数，系统的相 干传递函数与它成 正比(滤波函数)；(d) 经滤波以后的频谱， 即成像的频谱（滤 波后的谱）;(e)像平 面Pi上的输出光场 分布（输出像）。
8.1.2 阿贝——波特实验
所以，当狭缝光阑通过原点垂直放置时，水平方向的空间频谱受阻， 物体中与这部分频谱相应的信息不能通过系统被传递，与其 相应的垂直条纹消失，透过狭缝的频谱被传递而综合成只有水平条 纹的像，如图8.1.3（c）所示。当狭缝水平放置时，垂直方向的空 间频谱受阻，相应的水平条纹消失，透过狭缝的频谱被传递而综合 成只有垂直条纹的像，如图8.1.3（b）所示。当插入小孔光阑，只 有中央零频通过被传递，其余频谱受阻，像分布呈现一片均用的背 景光，如图8.1.3（d）所示。如果逐渐扩大光阑孔径，使透射而被 传递的空间频谱逐渐增加，包括基频、倍频直到许多高频频谱，就 可在像平面上明显的观察到正交光栅的像逐渐综合的过程，其光栅 条纹的边缘由较为模糊逐渐变得清晰明锐，如图8.1.3（a）所示。
8.1.3 空间滤波的傅里叶分析
aL m m sin c a f x sin c Lf x d m d d
aL 1 a sin c Lf x sin c sin c L f x d d d 1 a sin c sin c L f x } d d
P
L
HS
AI
相干光 f
8.1 阿贝——波特成像理论
8.1.1 阿贝成像理论
图8.1.1 阿贝成像原理
• 二步成像理论 ------ 相干照明下的成像实质上是 • 物谱：第一次衍射第一次傅里叶变换 • 谱像：第二次衍射第二次傅里叶变换
8.1.1 阿贝成像理论
阿贝认为相干成像过程分两步完成，如图8.1.1 所示。第一步是 物体在相干平行光垂直照明下，可看作是一个复杂的光栅，照 明光通过物体贝衍射，衍射光波在透镜后焦平面上P1形成物体O 的夫琅禾费光斑图样；第二步是各衍射光斑作为新的次级波源 发出球面子波，在像平面相干叠加形成物体的像。将显微镜成 像过程看成是上述两步成像过程，人们称其为阿贝成像理论。 两步成像理论，是用频谱语言描述的波动光学观点。 参考3.2节讨论透镜成像性质过程中的式(3.2.6)。两次衍射过程， 也就是两次傅里叶变换的过程。由物平面到后焦面，经过物体 衍射的光波被分解为不同空间频率成分的角谱分量。也就是不 同传播方向的平面波分量，在后焦平面上形成物体的频谱。后 焦面就是频谱面，这是一次傅里叶变换过程。由物镜的后焦面 即频谱面到像平面，各角频谱分量合成为像，这是一次傅里叶 逆变换过程。
humaneye
objective piece
eye piece
生物学家观察透明显微镜标本(如生物切片，油膜、细菌等）时， 由于人眼只能感受光强度的变化，不能辨别位相变化，无法观察 到它的位相结构。 解决这一困难需要把位相变化转化为强度(或振幅)的变化，就 是把空间位相调制的信息变换为空间强度(或振幅)调制的信息。
Chapter 8
第八章
Optical Spatial Filtering
光学空间滤波
Spatial Filtering
f(x,y)
F{f}
F fx , f y
F
1{F}
f(u,v)
Spatial Filtering
f(x,y)
F{f}
F fx , f y
F
1{F}
f(u,v)