椭圆的几何性质应用

x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
c a2b2
b2
e
1
a
a2
a2
思考 2：椭圆方程ax22＋by22＝1(a＞b＞0)中 a，b，c 的几何意义是什么？
)
1 A.3
B．12
3 C. 3
D．
2 2
D
[a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而
e＝ac＝
2 2 .]
（2）．若椭圆ax22＋y2＝1(a>0)的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭
圆的离心率为( )
3 A. 2
B．12
2 C. 2
D．
5 2
Biblioteka Baidu
A [由 a＝2b＝2，b＝1 得 c＝ 3，e＝ac＝ 23.]
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直 线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )
A．
6 3
B．
3 3
C．
2 3
D．13
【解析】 以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝a2，该 圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切， 所以|b×b02－＋a（×－0＋a）2a2b|＝a， 即 2b＝ a2＋b2， 所以 a2＝3b2，因为 a2＝b2＋c2， 所以ac22＝23， 所以 e＝ac＝ 36． 【答案】 A
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2，
即 3b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，
∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0，
两边同除以 a2 得 3ac2＋2ac－ 3＝0，
解得
e＝ac＝
3 3.
母题探究：1.(变换条件)本例中将条件“过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交 椭圆于 A，B 两点，若△ABF2 是正三角形”改为“A 为 y 轴上一点，且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上，若△AF1F2 为正三角形”．如何求椭圆的离心率？
2．(2018·日照高二检测)已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1， F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 椭 圆 上 总 存 在 点 P 使 得 PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：由 PF1⊥PF2，知△F1PF2 是直角三角形， 所以|OP|＝c≥b，
2．(变换条件)“若△ABF2 是正三角形”换成“椭圆的焦点在 x 轴上，且
A 点的纵坐标等于短半轴长的23”，求椭圆的离心率． [解] 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由题意知 A－c，23b在椭圆上，
∴ac22＋49＝1，解得
e＝
5 3.
[规律方法] 求椭圆离心率的方法 ①直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝ 1－ba22求解. ②若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式 关系，然后整理成ac的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程， 进而求解.
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)， 设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上， ∴4ca22＋4yb022＝1，解得 y20＝4b2－ba2c22，
由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1.
[提示] 在方程ax22＋by22＝1(a＞b＞0)中，a，b，c 的几何意 义如图所示．即 a，b，c 正好构成了一个以对称中心，一个 焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
求椭圆的离心率 [提示] e＝ac＝ a2－a2 b2＝ 1－ba2.
例 1：根据条件求椭圆的离心率
（1）椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为(
（3） 已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭 圆于 A，B 两点，若△ABF2 是正三角形，求该椭圆的离心率.
[思路探究] 由题设求得 A、B 点坐标，根据△ABC 是正三角形得出 a，b， c 的关系，从而求出离心率．
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)． 依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， 所以|AB|＝2ab2.
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆 2.1.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图 形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重 点、难点)
标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
即 c2≥a2－c2，
所以 a≤ 2c，
因为 e＝ac，0＜e＜1，
所以 22≤e＜1．
答案：
22，1
谢谢观看
1．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分 别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A．14
B．
5 5
C．12
D． 5－2
解析：选 B．设 c 为椭圆的半焦距，由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2| ＝2c，|F1B|＝a＋c．又|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以 (2c)2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得 a2＝5c2．所以离心率 e ＝ac＝ ac22＝ 15＝ 55．