高考数学分类讨论

专题十四 分类讨论的思想

【考点聚焦】

在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称它为“分类讨论的思想”．分类讨论本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略．

引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如|x |的定义，P 点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果．

分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果．分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论． 【自我检测】

1. 设A={}{}x x a B x ax A B B a ||-==-==010，，且，则实数的值为 （D ） A. 1

B. -1

C. 11或-

D. 110，或-

2．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ C ） A. x y +-=70 B. 250x y -=

C. x y x y +-=-=70250或

D. x y y x ++=-=70250或 3．(2005全国卷Ⅲ)不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ D ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个 4．（2006辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有___48____种.(以数作答) 【重点•难点•热点】

问题1 由概念的定义引起的分类讨论 例1 (2006辽宁)已知函数11

()(sin cos )sin cos 22

f x x x x x =

+--,则()f x 的值域是 (A)[]1,1- (B) 22⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

(C) 21,2⎡-⎢⎣⎦

(D)

21,2⎡--⎢⎣⎦

【解析】cos (sin cos )11

()(sin cos )sin cos sin (sin cos )

22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=

+--=⎨

<⎩ 即等价于min {sin ,cos }x x ，故选择答案C 。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。

问题2 由公式、定理的应用条件引起的分类讨论

例2 设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和S n ＞0（n =1，2，3…）． （1）求q 的取值范围； （2）设b n =a n +2－

2

3

a n +1，｛

b n ｝的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小． 【解】 （1）因为｛a n ｝是等比数列，S n ＞0，可得a 1=S 1＞0，q ≠0， 当q =1时，S n =na 1＞0，

当q ≠1时，S n =q

q a n --1)

1(1＞0，

即q

q n --11＞0（n =1，2，3，…）， 则有⎩⎨⎧1-q >0，1-q n >0，

①或⎩⎨⎧1-q <0，1-q n <0.②

由②得q ＞1，由①得－1＜q ＜1．

故q 的取值范围是（－1，0）∪（0，+∞）． （2）由b n =a n +2－23a n +1=a n （q 2－2

3q ）， ∴T n =（q 2－

2

3

q ）S n ， 于是T n －S n =S n （q 2－23q －1）=S n （q +2

1

）（q －2），

又S n ＞0且－1＜q ＜0或q ＞0， 则当－1＜q ＜－1

2

或q ＞2时，T n －S n ＞0，即T n ＞S n ， 当－

21

＜q ＜2且q ≠0时，T n －S n ＜0，即T n ＜S n ， 当q =－2

1

或q =2时，T n －S n =0， 即T n =S n ．

【评析】考查数列基本知识，考查分析问题能力和推理能力，重点考查了分类讨论的思想。

问题3 由参数的取值引起的分类讨论

例3．（2005江苏）已知,a R ∈函数2

().f x x x a =- （Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值. 解：（Ⅰ）由题意，|2|)(2

-=x x x f

当2

，解得0=x 或1=x ； 当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2

，解得

1+

=x 综上，所求解集为}21,1,0{+

(Ⅱ)设此最小值为m

①当1≤a 时，在区间[1，2]上，2

3)(ax x x f -=， 因为0)3

2

(323)('2

>-

=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(

②当21≤

≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知

)(==a f m

③当2>a 时，在区间[1，2]上，3

2)(x ax x f -=

)3

2

(332)('2x a x x ax x f -=-=

若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， 所以)1(-==a f m 若32<

2

1<

<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32

]上的增函数， 当232<

2

，2]上的减函数， 因此当32<

当3

7

2≤

33

7

<

⎪

⎪⎪⎨⎧>

-≤<-≤<≤-=3

7137

2)

2(42

1011a a a a a a a m