第7章 逼近于理想解的排序技术TOPSIS
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max bi j a i /j a j
采用上式进行属性规范化时， 经过变换的最差属性值不一定为 0， 最佳属性值为 1。 若 x j 为成本型属性，则
bij 1 aij / a max j
采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不一定为 1， 最差属性值为 0。
7.2 TOPSIS过程
2）最小——最大(min-max)规范化：又称为标准0-1变换，minmax标准化方法是对原始数据进行线性变换，映射在区间 [0,1]中
ij
b 高优指标/正指标： 新数据=（原数据-最小值）/（最大值-最小值） a a 低优指标/逆指标： 新数据=（最大值-原数据）/（最大值-最小值） b
2 3 4 5
5ห้องสมุดไป่ตู้
x
i 1
2 ij
也可以对上两步的同趋势化（同向化）和规范化变 换合并为一步：
Z ij
对高优指标
X ij
2 X ij i 1
n
对低优指标
Z ij
1 / X ij
2 ( 1 / X ) ij i 1 n
7.2 TOPSIS过程
3、构造加权规范阵 C ( cij )mn 设由决策人给定各属性/指标的权重向量为 T w [ w1 , w2 , , wn ] ，则 cij w j bij ， i 1,2, , m， j 1,2, , n . 确定指标权重通常有两类方法： 一类是主观方法，如专家打分法、层次分析法、经验判 断法等； 另一类是客观方法，如熵权计算法、主成分分析法等。
j
生师比 x 2 5 6 7 10 2
处理后的生师比 1 1 0.8333 0.3333 0
i 1 2 3 4 5
例 1 中的数据经标准化处理后的结果见表 c： 表 c 数据经标准化的属性值表
j
i 1 2 3 4 5
人均专著 生师比 x 2 x1 -0.9741 -0.7623 -0.3388 0.7200 1.3553 -0.3430 0 0.3430 1.3720 -1.3720
j
i
x2
5 6 7 10 2
1 2 3 4 5
权向量为 w [0.2,0.3,0.4,0.1]
7.2 TOPSIS过程
1、构造（同趋势化的）初始矩阵（m 个方案，n 个评价指标） 设多属性决策方案集为 D {d1 , d 2 , , d m }，衡量方案优 劣的属性变量为 x1 , , xn ，这时方案集 D 中的每 个方案 d i （ i 1, , m ） 的 n 个 指 标 值 （ 属 性 值 ） 构 成 的 向 量 是 [ai 1 , , ain ]，它作为 n维空间中的一个点，能唯一地表征方案 di 。 a11 a12 a1n 指标属性同趋化处理 a a a 可将低优指标和中性指标全 21 22 2n A ' 转化为高优指标 aij ，方法是： aij 高优指标(值越高越好 ) am1 am 2 amn '
②检测各个方案与理想解的相对接近度； ③通过把各备选方案与正理想解和负理想解做比较，找到那 个距理想解的距离最近、而距负理想解的距离最远的方案。
最理想解：由考虑的n个方案在m 个属性上的最佳属性值的集合所 构成的综合表现最佳的方案。
正理想解
属 性 2
* SB
方案 B -
SB
S* A
方案A
S-A
j
i 1
人均专著 x1 0.0638 0.1275 0.2550 0.5738 0.7651
xij
生师比 x 2 0.597 0.597 0.4975 0.199 0
科研经费 x3 0.3449 0.4139 0.4829 0.6898 0.0276
逾期毕业 率 x4 0.4546 0.5417 0.6481 0.2225 0.1741
j ij
aij a j min
max
a j min max aij j
3） 标准化z-score：新数据=（原数据-均值）/标准差
AVERAGE
a j max a j min
4）小数定标规范化：通过移动数据的小数点位置来进行标准化
x„=x/(10*j) ，其中，j是满足条件的最小整数。
1 (a j 0 aij ) / (a j 0 a j '), 1, bij * * 1 ( a a ) / ( a '' a ij j j j ), 0,
' 2， 设研究生院的生师比最佳区间为 [5,6]， a 2 " a2 12 。则例 1 中的属性“生师比”的数据处理结果 如表 b。 表 b 生师比的数据处理
STDEV
5）对数函数转换 ：y=log10(x)
以10为底的对数函数转换
6） Logistic模式：新数据=1/（1+e^(-原数据)） 7）反余切函数转换：y=atan(x)*2/PI 8）模糊量化模式：新数据=1/2+1/2sin[π/（极大值-极小值）*
（X-（极大值-极小值）/2）] X为原数据
其它.
* [a 0 , a j j]
设数据的最优区间为[5,6], a ' 2, a '' 12, 则:
处理前数据 a ij 1 5 处理后数据 bij 1
2
3 4 5
6
7 10 2
1
0.8333 0.3333 0
a j ' aij a j 0 a j 0 aij a j * , a j * aij a j '' 其他
4、确定正理想解和负理想解； 5、计算各个方案到理想解、负理想解的距离。
TOPSIS法所用的是欧氏距离
6、计算各个方案与理想解的相对接近度
相对接近度=负向距离/(正、负向距离之和) 。此时越大越好 也可以使用正向距离作为分子，此时相对接近度越小越好
7、排序，评优劣。
例 1：研究生院试评估。
第7章 逼近于理想解的排序技术TOPSIS
7.1 基本原理
7.2 TOPSIS过程
7.3 TOPSIS案例分析
7.1 基本原理
1、概念：TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution）法，即逼近于理想解的排序 技术，又称为优劣解距离法、理想解法、理想点法，由 C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出 。它是多目标决策分 析中一种常用的有效方法。TOPSIS法根据有限个评价对象与 理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中 进行相对优劣的评价。 2、适用条件：只要求各效用函数具有单调递增（或递减）性 就行。
aij 1 aij 低优指标(值越低越好 ) M M a M 中性指标 ij 并适当调整（扩大或缩小一定比例）转换数据
7.2 TOPSIS过程
2、归范化/标准化（normalization）：用向量规划化的方法求 得规范决策矩阵 设多属性决策问题的决策矩阵 A (aij )mn ，规范化决 策矩阵 B ( bij )mn ，其中
若a 'j aij a 0 j,
* 若a 0 a a j ij j, " 若a * a a j ij j,
aij 无法容忍 变换后的属性值 bij 与原属性值 a ij 之间的函数图形为一般梯形。
当属性值最优区间的上下限相等时，最优区间退化为一个点时， 函数图形退化为三角形。
为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的 教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评 估。为了取得经验，先选 5 所研究生院，收集有关数据资料进行 了试评估，下表是所给出的部分数据。
表 a 研究生院试评估的部分数据 人均专著 x1 （本/人） 0.1 0.2 0.4 0.9 1.2 生师比 科研经费 x 3 （万元/年） 5000 6000 7000 10000 400 逾期毕业率 x4 （%） 4.7 5.6 6.7 2.3 1.8
负理想解
Sj 为方案j与负理想解的距离 * 离理想解越近( Sj 越小)而离负理想 解越远( Sj 越大)的方案越佳。
* Sj 为方案j与理想解的距离
O
属性1
负理想解：由考虑的n个方案在m 个属性上的最差属性值的集合所 构成的综合表现最佳的方案。
4、TOPSIS法的优点：
TOPSIS法对原始数据的信息利用最为充分，其结果 能精确的反映各评价方案之间的差距， 对数据分布及样本含量，指标多少没有严格的限制， 数据计算亦简单易行。 不仅适合小样本资料，也适用于多评价对象、多指标 的大样本资料。 可得出良好的可比性评价排序结果。
常用的属性规范化方法有以下几种： 1）线性变换 原始的决策矩阵为 A (aij )mn ，变换后的决策矩阵记为
B ( bij )mn ，i 1,
min
, m ， j 1,
, n 。设 a max 是决策矩阵第 j j
列中的最大值， a j 是决策矩阵第 j 列中的最小值。若 x j 为效益 型属性，则
第二部分 常用综合评价模型
第4章 综合评价概述
第5章 层次分析法（AHP）
第6章 模糊综合评价 第7章 逼近于理想解的排序技术TOPSIS 第8章 秩和比法（ RSR ） 第9章 灰色综合评价和灰色预测
数据包络分析（DEA）；突变级数法；人工神经网 络评价（BP）；……
小结
7.2 TOPSIS过程
1、构造（同趋势化/同向化）初始矩阵 2、归范化/标准化：用向量规划化的方法求得规范决策矩阵
原始数据同趋化：目的是使各个指标的方向一致。通常采用低优指标 向高优指标转化的方法，绝对数一般采用倒数法（即1/x） ，相对数 一般采用差数法（即1-x）。
3、构造加权规范阵
9）区间型属性的变换 有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。显然这种属性不 能采用前面介绍的两种方法处理。 0 * ' " a j 为无法容忍下限， aj为 设给定的最优属性区间为[a j , a j ]， 无法容忍上限，则
0 ' 1 (a 0 a ) / ( a a j ij j j ), 1, bij * " * 1 (aij a j ) / (a j a j ), 0,
bij aij
2 a ij ， i 1,2, i 1
m
, m， j 1,2,
, n.
规范化可以避免各个指标的量纲的不同 这种属性数值规范化方法称为向量规范化，是归范化/标准化的一种常 用方法，其最大特点是,规范化后,各方案的统一属性值的平方和为1,因此 常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场 合. 这种变换是线性的,从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣. 向量规范化对于成本型属性和效益型属性均适用
7.1 基本原理
3、TOPSIS 方法的基本思路是： ①定义决策问题的理想化目标/理想解（Ideal Solution）：
正理想解（positive ideal solution）：又称为最优解，是一 个设想的最优的解（方案），其各个属性值（指标）都达 到各备选方案中的最好的值； 负理想解（negative ideal solution）又称为最劣解，是一个 设想的最劣的解（方案），它的各个属性值（指标）都达 到各备选方案中的最坏的值。
数据（属性值）的规范化又叫数据的预处理。 属性值具有多种类型，包括效益型（高优指标/正指标） 、成 本型（低优指标/逆指标）和区间型等。这三种属性，效益型属 性越大越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间 最佳。 在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个 作用： （1）使得任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。 （2）非量纲化，排除量纲的选用对决策或评估结果的影响。 （3）归一化，把数值均变换到[0，1]区间上。 此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解 决或部分解决某些目标的达到程度与属性值之间的非线性关 系，以及目标间的不完全补偿性。
科研经费 逾期毕业 x3 率 x4 -0.1946 0.0916 0.3777 1.2362 -1.5109 0.2274 0.6537 1.1747 -0.9095 -1.1463
=(B2-AVERAGE(B$2:B$6))/STDEV(B$2:B$6)
对例 1 表 a 中师生比数据进行最优值为给定区间[5， 6]时的变换。 然后对属性值进行向量规范化， 结果见表 d。 表 d 表 a 的数据经规范化后的属性值
采用上式进行属性规范化时， 经过变换的最差属性值不一定为 0， 最佳属性值为 1。 若 x j 为成本型属性，则
bij 1 aij / a max j
采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不一定为 1， 最差属性值为 0。
7.2 TOPSIS过程
2）最小——最大(min-max)规范化：又称为标准0-1变换，minmax标准化方法是对原始数据进行线性变换，映射在区间 [0,1]中
ij
b 高优指标/正指标： 新数据=（原数据-最小值）/（最大值-最小值） a a 低优指标/逆指标： 新数据=（最大值-原数据）/（最大值-最小值） b
2 3 4 5
5ห้องสมุดไป่ตู้
x
i 1
2 ij
也可以对上两步的同趋势化（同向化）和规范化变 换合并为一步：
Z ij
对高优指标
X ij
2 X ij i 1
n
对低优指标
Z ij
1 / X ij
2 ( 1 / X ) ij i 1 n
7.2 TOPSIS过程
3、构造加权规范阵 C ( cij )mn 设由决策人给定各属性/指标的权重向量为 T w [ w1 , w2 , , wn ] ，则 cij w j bij ， i 1,2, , m， j 1,2, , n . 确定指标权重通常有两类方法： 一类是主观方法，如专家打分法、层次分析法、经验判 断法等； 另一类是客观方法，如熵权计算法、主成分分析法等。
j
生师比 x 2 5 6 7 10 2
处理后的生师比 1 1 0.8333 0.3333 0
i 1 2 3 4 5
例 1 中的数据经标准化处理后的结果见表 c： 表 c 数据经标准化的属性值表
j
i 1 2 3 4 5
人均专著 生师比 x 2 x1 -0.9741 -0.7623 -0.3388 0.7200 1.3553 -0.3430 0 0.3430 1.3720 -1.3720
j
i
x2
5 6 7 10 2
1 2 3 4 5
权向量为 w [0.2,0.3,0.4,0.1]
7.2 TOPSIS过程
1、构造（同趋势化的）初始矩阵（m 个方案，n 个评价指标） 设多属性决策方案集为 D {d1 , d 2 , , d m }，衡量方案优 劣的属性变量为 x1 , , xn ，这时方案集 D 中的每 个方案 d i （ i 1, , m ） 的 n 个 指 标 值 （ 属 性 值 ） 构 成 的 向 量 是 [ai 1 , , ain ]，它作为 n维空间中的一个点，能唯一地表征方案 di 。 a11 a12 a1n 指标属性同趋化处理 a a a 可将低优指标和中性指标全 21 22 2n A ' 转化为高优指标 aij ，方法是： aij 高优指标(值越高越好 ) am1 am 2 amn '
②检测各个方案与理想解的相对接近度； ③通过把各备选方案与正理想解和负理想解做比较，找到那 个距理想解的距离最近、而距负理想解的距离最远的方案。
最理想解：由考虑的n个方案在m 个属性上的最佳属性值的集合所 构成的综合表现最佳的方案。
正理想解
属 性 2
* SB
方案 B -
SB
S* A
方案A
S-A
j
i 1
人均专著 x1 0.0638 0.1275 0.2550 0.5738 0.7651
xij
生师比 x 2 0.597 0.597 0.4975 0.199 0
科研经费 x3 0.3449 0.4139 0.4829 0.6898 0.0276
逾期毕业 率 x4 0.4546 0.5417 0.6481 0.2225 0.1741
j ij
aij a j min
max
a j min max aij j
3） 标准化z-score：新数据=（原数据-均值）/标准差
AVERAGE
a j max a j min
4）小数定标规范化：通过移动数据的小数点位置来进行标准化
x„=x/(10*j) ，其中，j是满足条件的最小整数。
1 (a j 0 aij ) / (a j 0 a j '), 1, bij * * 1 ( a a ) / ( a '' a ij j j j ), 0,
' 2， 设研究生院的生师比最佳区间为 [5,6]， a 2 " a2 12 。则例 1 中的属性“生师比”的数据处理结果 如表 b。 表 b 生师比的数据处理
STDEV
5）对数函数转换 ：y=log10(x)
以10为底的对数函数转换
6） Logistic模式：新数据=1/（1+e^(-原数据)） 7）反余切函数转换：y=atan(x)*2/PI 8）模糊量化模式：新数据=1/2+1/2sin[π/（极大值-极小值）*
（X-（极大值-极小值）/2）] X为原数据
其它.
* [a 0 , a j j]
设数据的最优区间为[5,6], a ' 2, a '' 12, 则:
处理前数据 a ij 1 5 处理后数据 bij 1
2
3 4 5
6
7 10 2
1
0.8333 0.3333 0
a j ' aij a j 0 a j 0 aij a j * , a j * aij a j '' 其他
4、确定正理想解和负理想解； 5、计算各个方案到理想解、负理想解的距离。
TOPSIS法所用的是欧氏距离
6、计算各个方案与理想解的相对接近度
相对接近度=负向距离/(正、负向距离之和) 。此时越大越好 也可以使用正向距离作为分子，此时相对接近度越小越好
7、排序，评优劣。
例 1：研究生院试评估。
第7章 逼近于理想解的排序技术TOPSIS
7.1 基本原理
7.2 TOPSIS过程
7.3 TOPSIS案例分析
7.1 基本原理
1、概念：TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution）法，即逼近于理想解的排序 技术，又称为优劣解距离法、理想解法、理想点法，由 C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出 。它是多目标决策分 析中一种常用的有效方法。TOPSIS法根据有限个评价对象与 理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中 进行相对优劣的评价。 2、适用条件：只要求各效用函数具有单调递增（或递减）性 就行。
aij 1 aij 低优指标(值越低越好 ) M M a M 中性指标 ij 并适当调整（扩大或缩小一定比例）转换数据
7.2 TOPSIS过程
2、归范化/标准化（normalization）：用向量规划化的方法求 得规范决策矩阵 设多属性决策问题的决策矩阵 A (aij )mn ，规范化决 策矩阵 B ( bij )mn ，其中
若a 'j aij a 0 j,
* 若a 0 a a j ij j, " 若a * a a j ij j,
aij 无法容忍 变换后的属性值 bij 与原属性值 a ij 之间的函数图形为一般梯形。
当属性值最优区间的上下限相等时，最优区间退化为一个点时， 函数图形退化为三角形。
为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的 教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评 估。为了取得经验，先选 5 所研究生院，收集有关数据资料进行 了试评估，下表是所给出的部分数据。
表 a 研究生院试评估的部分数据 人均专著 x1 （本/人） 0.1 0.2 0.4 0.9 1.2 生师比 科研经费 x 3 （万元/年） 5000 6000 7000 10000 400 逾期毕业率 x4 （%） 4.7 5.6 6.7 2.3 1.8
负理想解
Sj 为方案j与负理想解的距离 * 离理想解越近( Sj 越小)而离负理想 解越远( Sj 越大)的方案越佳。
* Sj 为方案j与理想解的距离
O
属性1
负理想解：由考虑的n个方案在m 个属性上的最差属性值的集合所 构成的综合表现最佳的方案。
4、TOPSIS法的优点：
TOPSIS法对原始数据的信息利用最为充分，其结果 能精确的反映各评价方案之间的差距， 对数据分布及样本含量，指标多少没有严格的限制， 数据计算亦简单易行。 不仅适合小样本资料，也适用于多评价对象、多指标 的大样本资料。 可得出良好的可比性评价排序结果。
常用的属性规范化方法有以下几种： 1）线性变换 原始的决策矩阵为 A (aij )mn ，变换后的决策矩阵记为
B ( bij )mn ，i 1,
min
, m ， j 1,
, n 。设 a max 是决策矩阵第 j j
列中的最大值， a j 是决策矩阵第 j 列中的最小值。若 x j 为效益 型属性，则
第二部分 常用综合评价模型
第4章 综合评价概述
第5章 层次分析法（AHP）
第6章 模糊综合评价 第7章 逼近于理想解的排序技术TOPSIS 第8章 秩和比法（ RSR ） 第9章 灰色综合评价和灰色预测
数据包络分析（DEA）；突变级数法；人工神经网 络评价（BP）；……
小结
7.2 TOPSIS过程
1、构造（同趋势化/同向化）初始矩阵 2、归范化/标准化：用向量规划化的方法求得规范决策矩阵
原始数据同趋化：目的是使各个指标的方向一致。通常采用低优指标 向高优指标转化的方法，绝对数一般采用倒数法（即1/x） ，相对数 一般采用差数法（即1-x）。
3、构造加权规范阵
9）区间型属性的变换 有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。显然这种属性不 能采用前面介绍的两种方法处理。 0 * ' " a j 为无法容忍下限， aj为 设给定的最优属性区间为[a j , a j ]， 无法容忍上限，则
0 ' 1 (a 0 a ) / ( a a j ij j j ), 1, bij * " * 1 (aij a j ) / (a j a j ), 0,
bij aij
2 a ij ， i 1,2, i 1
m
, m， j 1,2,
, n.
规范化可以避免各个指标的量纲的不同 这种属性数值规范化方法称为向量规范化，是归范化/标准化的一种常 用方法，其最大特点是,规范化后,各方案的统一属性值的平方和为1,因此 常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场 合. 这种变换是线性的,从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣. 向量规范化对于成本型属性和效益型属性均适用
7.1 基本原理
3、TOPSIS 方法的基本思路是： ①定义决策问题的理想化目标/理想解（Ideal Solution）：
正理想解（positive ideal solution）：又称为最优解，是一 个设想的最优的解（方案），其各个属性值（指标）都达 到各备选方案中的最好的值； 负理想解（negative ideal solution）又称为最劣解，是一个 设想的最劣的解（方案），它的各个属性值（指标）都达 到各备选方案中的最坏的值。
数据（属性值）的规范化又叫数据的预处理。 属性值具有多种类型，包括效益型（高优指标/正指标） 、成 本型（低优指标/逆指标）和区间型等。这三种属性，效益型属 性越大越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间 最佳。 在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个 作用： （1）使得任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。 （2）非量纲化，排除量纲的选用对决策或评估结果的影响。 （3）归一化，把数值均变换到[0，1]区间上。 此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解 决或部分解决某些目标的达到程度与属性值之间的非线性关 系，以及目标间的不完全补偿性。
科研经费 逾期毕业 x3 率 x4 -0.1946 0.0916 0.3777 1.2362 -1.5109 0.2274 0.6537 1.1747 -0.9095 -1.1463
=(B2-AVERAGE(B$2:B$6))/STDEV(B$2:B$6)
对例 1 表 a 中师生比数据进行最优值为给定区间[5， 6]时的变换。 然后对属性值进行向量规范化， 结果见表 d。 表 d 表 a 的数据经规范化后的属性值