定轴转动定律 转动惯量

一半径为R，质量为m均质圆盘 均质圆盘， 例4-6 一半径为 ，质量为 均质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。 水平桌面上 。 设盘与桌面间摩擦因数为 µ ， 令圆盘最 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转， 初以角速度ω0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm= ρ red θ dr， e是盘的厚 ， 是盘的厚 度 ， 质元所受到的阻力矩 为 rµdmg 。 圆盘所受阻力矩为
§4-2 定轴转动定律 转动惯量
一、力矩
r 点的力矩： 点的力矩 F 对O点的力矩：
r M
r r r M = r ×F
大小： 大小： 说明 1、只有垂直转轴的外力分量才产生 、 沿转轴方向的力矩M 沿转轴方向的力矩 z ，而平行于转 轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被 轴承上支承力的力矩所抵消。 轴承上支承力的力矩所抵消。
二、定轴转动定律
对刚体中任一质量元 ∆ m i
r r 受外力 Fi 和内力 F内 i
r r r Fi + F内i = ∆mi ai
应用牛顿第二定律， 应用牛顿第二定律，可得
采用自然坐标系， 采用自然坐标系，上式切向分量式为
Fi sin ϕi + F内i sin θi = ∆mi ait = ∆mi ri β
Fi ri sin ϕi + F内i ri sin θi = ∆mi ri β
2
对刚体内各个质点的相应式子， 对刚体内各个质点的相应式子，相加得
Fi ri sin ϕi + ∑ F内i ri sin θ i = ∑ (∆mi ri 2 )β ∑
i i i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零， 对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
I Z = I X + IY
均质圆环， 例4-4 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 对通过直径的转轴的转动惯量。 解： (1) 圆环： 圆环： dm
(2) 圆盘： 圆盘：
O r
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
？
求均质细棒( 的转动惯量： 例4-3 求均质细棒 m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心 与棒垂直， 转轴通过中心C与棒垂直 与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端 与棒垂直。 转轴通过棒的一端O与棒垂直 与棒垂直。 解：(1) dm C dx x
ϕ
r F
r r
M = rF sin ϕ
2、 M z 、
= rF2 sin φ = F2 d
d = r sin ϕ 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂 力臂。 用线的距离，称为力臂 3、在转轴方向确定后，力对转 、在转轴方向确定后， 轴的力矩方向可用正负号表示。 轴的力矩方向可用正负号表示。 刚体所受的关于定轴的合力矩： 刚体所受的关于定轴的合力矩：
∑FБайду номын сангаас
i
内i
ri sin θ i = 0
Fi ri sin ϕi = ∑ (∆mi ri 2 )β ∑
i i
称为刚体对转轴的转动惯量。 称为刚体对转轴的转动惯量。
dω M z = Iβ = I dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时， 刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比， 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。 惯量成反比。 与平动定律比较： 与平动定律比较：
(2) O
dm dx x
可见，转动惯量因转轴位置不同而变， 可见，转动惯量因转轴位置不同而变，故必须指 明是关于某轴的转动惯量。 明是关于某轴的转动惯量。
平行轴定理（ 平行轴定理（parallel axis theorem） ） 刚体对任一转轴的转动惯量 I 等于对通过质心 的平行转轴的转动惯量 IC 加上刚体质量 m 乘以两平 的平方。 行转轴间距离 d 的平方。
3 R t= ω0 4 µg
作业：4.11、4.13、 作业：4.11、4.13、4.14
通过任一转轴A的转动惯量： 通过任一转轴 的转动惯量： 的转动惯量 （取C为坐标原点） 为坐标原点） 为坐标原点
d A C
dm dx x
= mxC = 0
正交轴定理 薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 X、Y 的 转动惯量之和， 转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于 的转动惯量， 板面的定轴 Z 的转动惯量，即：
dv F = ma = m dt
三、转动惯量
定义： 定义： 刚体为质量连续体时： 刚体为质量连续体时： 单位( 单位 SI )： ：
为质元dm到转轴的距离 到转轴的距离） （ r 为质元 到转轴的距离） 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 转动惯量 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置。 量分布以及转轴的位置。
刚体的回转半径
rG ：
2 2
I = ∑ mi ri = mrG
i
I rG = m
物体： 例4-5 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩擦 ， 定滑轮： 、 ， 阻力矩为M 轻绳不能伸长，无相对滑动。 阻力矩为 r。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。 加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩， 的摩擦阻力矩，
ω
dθ r dr R e
Mr =
∫ r µ d mg
= µ g ∫ r ρ re d θ d r
Mr =
∫ r µ d mg = µ g ∫ r ρ re d θ d r 2 = µgρ e ∫ dθ ∫ r dr = µgρeπR 3
2π R 2 0 0
3
2 M r = µ mgR m=ρeπR2 3 2 1 2 dω 由定轴转动定律： 由定轴转动定律： − µ mgR = I β = mR 3 2 dt t 0 2 1 − µg ∫ dt = R ∫ dω 0 3 2 ω0
r
问题中包括平动和转动。 问题中包括平动和转动。
FT1 − m1g = m1a m2 g − FT 2 = m2a FT 2r − FT1r − M r = Iβ
轮不打滑： 轮不打滑： 联立方程， 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a，β 。 ， 此装置称阿特伍德机 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g 阿特伍德机 可用于测量重力加速度