一、基变换公式与过渡矩阵.
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一、基变换公式与过渡矩阵
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 ,,n及1, 2 ,, n是线性空间Vn的
1 p11
2
p12
n p1n
p21
p22
pn1 1
1
pn2
2
PT
2
.
p2n pnn n
n
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
基变换公式 在基变换公式
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
中, 矩阵P 称为由基 1,2,,n 到基 1, 2,, n的过 渡矩阵．
xn xn'
x1'
x1
x2'
P
1
x2
.
xn'
xn
思考题
证明 x3 , x3 x, x2 1, x 1是Px3的一个基,
并求多项式x2 2x 3在这个基下的坐标.
思考题解答
证明 令
k1 x3 k 2 ( x3 x) k 3 ( x2 1) k 4 ( x 1)
a1 a2 0,
则
a3 1,
a
2
a
4
2,
a3 a4 3
解之可得
a1 0,
a2 0,
a
3
1,
a4 2.
故 x2 2x 3在这个基下的坐标为(0,0,1,2)T .
2 1
2
1 2
1
1 2
o
1
1 x 2
三、小结
１．基变换公式
1 p111 p212 pn1n
2 p121 p222 pn2
n
n p1n1 p2n2 pnnn
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
２．坐标变换公式
x1 x1'
x2
P
x2
'
,
或
两个基, 且有
1 p111 p21 2 pn1 n
2 p121 p22 2 pn2
n
,
n p1n1 p2n 2 pnn n
称此公式为基变换公式．
由于
1 p111 p21 2 pn1 n
2 p121 p22 2 pn2
n
n p1n1 p2n 2 pnn n
求坐标变换公式.
2 x3 x2 x 1, 4 x3 x2 1, 2 x2 2x 2, 4 x3 3 x2 x 2,
解 将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.
因为 ( 1, 2 , 3 , 4) ( x3 , x2 , x,1)A, ( 1 , 2 , 3 , 4) ( x3 , x2 , x,1)B,
1 1 1 1 2 0 2 1
其中
A
2 1
1 1
2 1
01,
B
1 0
1 2
1 1
3 1
,
0 1 1 1 1 2 2 2
得
( 1 , 2 , 3 , 4) ( 1 , 2 , 3 , 4) A1 B.
故坐标变换公式为
x1'
x1
x2'
x3 x4
' '
B1
A
x2 x3 x4
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 0
0 1
E
B1 A
0 0 0 1 1 1 1 1
所以
x1' 0 1 1 1 x1
x x x
2 3 4
' ' '
1 0 1
1 0 1
0 0 1
0 1 1
x x x
2 3 4
.
例2 坐标变换的几何意义.
设
1
1
x1 x1'
即
x2
P
x2
'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2
.
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
(k1 k2) x3 k3 x2 (k2 k4)x (k3 k4)
0 k1 k 2 0,
k
k3 2 k4
0,
0,
k1 k2 k3 , x3 x, x2 1, x 1线性无关,是 P[ x]3的一个基.
又令
a1 x3 a2 ( x3 x) a3 ( x2 1) a4 ( x 1) x2 2x 3,
0
,
0
2
1
及
1
1 1
,
2
1 1
2
为线性空间V R2的两个基.
又设
1
21 2,
则在基 1 , 2下的坐标为
x1 1 2 x2 1
由坐标变换公式可知,在基 1, 2下的坐标为
y1 y2
1 1
1 1 1 2 1 2
1 2 1 1
y
即
1 2
1
2.
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2
.
xn xn'
xn'
xn
证明
x1
x1'
1,2,,n
x2
1, 2 ,, n
x2'
xn
xn'
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
x1
x1'
1
,
2
,,
n
x2
1
,
2
,,
n
P
x2
'.
xn
xn'
.
用初等变换计算 B1 A.
2 0 2 1 1 1 1 1
B
A
1 0
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 ,, n下的坐标
为
( x1 , x2 ,, xn )T ,
在基
1
,
2
,,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ',, xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2,, n 1,2,,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 ,,n及1, 2 ,, n是线性空间Vn的
1 p11
2
p12
n p1n
p21
p22
pn1 1
1
pn2
2
PT
2
.
p2n pnn n
n
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
基变换公式 在基变换公式
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
中, 矩阵P 称为由基 1,2,,n 到基 1, 2,, n的过 渡矩阵．
xn xn'
x1'
x1
x2'
P
1
x2
.
xn'
xn
思考题
证明 x3 , x3 x, x2 1, x 1是Px3的一个基,
并求多项式x2 2x 3在这个基下的坐标.
思考题解答
证明 令
k1 x3 k 2 ( x3 x) k 3 ( x2 1) k 4 ( x 1)
a1 a2 0,
则
a3 1,
a
2
a
4
2,
a3 a4 3
解之可得
a1 0,
a2 0,
a
3
1,
a4 2.
故 x2 2x 3在这个基下的坐标为(0,0,1,2)T .
2 1
2
1 2
1
1 2
o
1
1 x 2
三、小结
１．基变换公式
1 p111 p212 pn1n
2 p121 p222 pn2
n
n p1n1 p2n2 pnnn
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
２．坐标变换公式
x1 x1'
x2
P
x2
'
,
或
两个基, 且有
1 p111 p21 2 pn1 n
2 p121 p22 2 pn2
n
,
n p1n1 p2n 2 pnn n
称此公式为基变换公式．
由于
1 p111 p21 2 pn1 n
2 p121 p22 2 pn2
n
n p1n1 p2n 2 pnn n
求坐标变换公式.
2 x3 x2 x 1, 4 x3 x2 1, 2 x2 2x 2, 4 x3 3 x2 x 2,
解 将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.
因为 ( 1, 2 , 3 , 4) ( x3 , x2 , x,1)A, ( 1 , 2 , 3 , 4) ( x3 , x2 , x,1)B,
1 1 1 1 2 0 2 1
其中
A
2 1
1 1
2 1
01,
B
1 0
1 2
1 1
3 1
,
0 1 1 1 1 2 2 2
得
( 1 , 2 , 3 , 4) ( 1 , 2 , 3 , 4) A1 B.
故坐标变换公式为
x1'
x1
x2'
x3 x4
' '
B1
A
x2 x3 x4
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 0
0 1
E
B1 A
0 0 0 1 1 1 1 1
所以
x1' 0 1 1 1 x1
x x x
2 3 4
' ' '
1 0 1
1 0 1
0 0 1
0 1 1
x x x
2 3 4
.
例2 坐标变换的几何意义.
设
1
1
x1 x1'
即
x2
P
x2
'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2
.
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
(k1 k2) x3 k3 x2 (k2 k4)x (k3 k4)
0 k1 k 2 0,
k
k3 2 k4
0,
0,
k1 k2 k3 , x3 x, x2 1, x 1线性无关,是 P[ x]3的一个基.
又令
a1 x3 a2 ( x3 x) a3 ( x2 1) a4 ( x 1) x2 2x 3,
0
,
0
2
1
及
1
1 1
,
2
1 1
2
为线性空间V R2的两个基.
又设
1
21 2,
则在基 1 , 2下的坐标为
x1 1 2 x2 1
由坐标变换公式可知,在基 1, 2下的坐标为
y1 y2
1 1
1 1 1 2 1 2
1 2 1 1
y
即
1 2
1
2.
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2
.
xn xn'
xn'
xn
证明
x1
x1'
1,2,,n
x2
1, 2 ,, n
x2'
xn
xn'
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
x1
x1'
1
,
2
,,
n
x2
1
,
2
,,
n
P
x2
'.
xn
xn'
.
用初等变换计算 B1 A.
2 0 2 1 1 1 1 1
B
A
1 0
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 ,, n下的坐标
为
( x1 , x2 ,, xn )T ,
在基
1
,
2
,,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ',, xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2,, n 1,2,,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'