基本不等式复习

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限定条件下求最值问题
例3：若正数x, y,满足x y 1 3xy,则xy的最小值
变式：若条件不变，求x y的最小值
例4： 若正数x, y,满足 1 9 1,求( 1)xy的最小值 xy (2) x y的最小值
变式：若正数x, y,满足9x y - xy 0,求x y的最小值
注意：”一__正__，二__定___，三_相__等__”__”
例1：已知x 0,求函数y x 4 的最小值4 x
变式1： 已知x 0,求函数y x 4 的取值范围
x “一正”
变式2： 已知x 2,求函数y x 4 的最大值 x2
“二定”
变式3： 已知x 4,求函数y x 4 的最小值 x
Fra Baidu bibliotek
x 当且仅当 x
4
x
x
,即x 2取到等号
综上：x
x 0时，函数y
x
4 的取值范围
且仅当n22m＝＋4nm＝2 1 ，即mn＝＝1214
时等号成立．
于是，m1 ＋2n≥4＋4＝8，即m1 ＋2n的最小值为 8.
5.(2011·福州模拟)已知不等式(x+y) ( 1 a ) ≥9对任意正
xy
实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
(A)2
(B)4 (C)9
(D)16
【解析】选B.∵x,y,a＞0, x y( 1 a ) 1 a y ax
∴1x＋1y＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log3a＋2 b2＝1，等号
在 a＝b＝ 3时成立，故选 B.
• 答案：B
二、填空题 3．函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A， 若点 A 在直线 mx＋ny＋1＝0 上，其中 mn>0，则m1 ＋2n的最 小值为________．
基本不等式
一、复习引入
1.重要不等式：如果 a, b R, 那么a2 b2 ___ 2ab (当且仅且_a____b_取等号)
2.基本不等式
如果 a 0,b ,0那么 a b ____ ab(当且仅
2
当_a____b__取等号)，我 们称a b 为a, b的 __
2
算__术__平__均__数_,称 ab为a, b的 _几__何__平__均__数_,
【体验高考】
1.（2011重庆）已知 a A. 7 B.4
0, b 0.，a
C .9
b2
D. 5
则
y
1 a
4 的最小值是
b（ C ）
2
2
2（. 2010浙江文）(15)若正实数x, y，满足2x y 6 xy
则xy的最小值为__1_8___
3.（2010重庆）已知 t >0,则函数y t 2 4t 1 的最小值为 -2 . t
“三相等”
例1：已知x 0,求函数y x 4 的最小值 x
引申：已知x 0,求函数y x2 4 的最小值 x
已知x
0,求函数y
x 的最大值 x2 4
已知x 2,求函数y x2 23x 4的最小值 x2
例2：已知0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值 变式：已知0 x 1 ,则函数y x(1 3x)的最大值
• [答案] 8
[解析] 函数 y＝loga(x＋3)－1 的图象经过的定点为 A(－2，－1)，
∵点 A 在直线 mx＋ny＋1＝0 上，∴2m＋n＝1. ∴m1 ＋2n＝(2m＋n)m1 ＋2n＝4＋mn ＋4nm. ∵mn>0，∴mn >0，4nm>0，∴mn ＋4nm≥2 mn ·4nm＝4，当
• 答案：D
总结：
知识点：一正、二定、三相等 思想方法：分类讨论、函数与方程， 方程与不等式互化等等
谢谢指导！
(文)(2010·天津南开区模拟)设 a>0，b>0， 3是 a 与 b
的等差中项，ax＝by＝3，则1x＋1y的最大值等于(
)
1 A.2
B．1
3 C.2
D．2
解析：由条件知 a＋b＝2 3，x＝loga3，y＝logb3，
4取．值（范2围01是0山a东）若1 对任.意
x
0，
x2
x 3
x
1
a
恒成立，则 a 的
5
5(文)(2010·重庆理)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，
则 x＋2y 的最小值是( B )
A．3
B．4
9
11
C.2
D. 2
分析：要求x＋2 y的最值，观察条件等式中含有
x＋2y和2xy，而2xy＝x(2y)，
xy
xy
1a 2 a.
由题意得 1 a 2 a 9,（ a 1）2 9,
∴ +a 1≥3或 +a1≤-3(舍去),∴a≥4.
例1：已知x 0,求函数y x 4 的最小值4 x
变式1： 已知x 0,求函数y x 4 的取值范围 x
解：x 0,所以y x 4 2 x 4 4
y 成等比数列，则a＋cdb2的最小值是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
• 分析：利用等差、等比数列的性质可将a、 b、c、d的表达式转化为只含xy的表达式， 然后变形应用基本不等式求解．
解析：由等差、等比数列的性质得 a＋cdb2＝x＋xyy2＝xy＋yx＋2≥2 yx·xy＋2＝4.仅当 x＝y 时 取等号．
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2，
∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0
解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去)
等号成立时，x＝2y，∴2x＋x2＝8，
∵x>0，∴x＝2，∴y＝1. ∴x＋2y 的最小值为 4.
6 已知 x>0、y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、
该定理可以叙述为：
两个正数的算术平均_不___小__于__它们的 几 何 平 均
3.利用基本不等式求最值
(1)如果两个正数的积是定值，那么它们的 __和__有最 小 值（简记：积__定__和__最_小__） (2)如果两个正数的和是定值，那么它们的 积有最__大__ 值（简记：和__定__积__最__大）
x
x
(当且仅当x 4 ,即x 2取到等号)
x
x 0,函数y x 4 的最小值为4 x
“一正”
变式1： 已知x
0, 求函数y
x
4
的取值范围
x
解 ：x
0, 所以y x 当 且 仅 当x
4 x
4
2 ,即x
x 4 4 x
2取到等号
x
当x 0时, y x 4 ( x 1 ) 2 ( x) ( 4 ) 4