离散数学-函数

第5章 函数
再证 f C是满射。 由定理4.2.7有ran f C=dom f。又因为 f 是A到B的函数， 所以dom f =A。于是ran f C=A。所以f C是B到 A的满射。 最后证f C是单射。 设y1,x1 f C，y2,x2 f C且x1=x2，由逆关系的定义有 x1,y1 f，x2,y2 f，又因为f是函数，必有y1=y2。 所以 f C是单射。 这就证明了f C是双射函数。
x2 1 合 ⑸ f：R＋→R＋，f(x)= x ，其中，R＋是正实数集
第5章 函数
解：⑴f(x)=-x2+2x-1= -(x-1)2，f 是开口向下的抛物线， 不是单调函数，所以不是单射。在 x =1处取得极大值0，所 以f 不是满射。 f 既不是单射也不是满射。
⑵ f 是单调增加函数。因此是单射，但不是满射，因为 ran f =ln 1，ln 2，…R
⑶ f是满射，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不是单射，例如f(1.5)=[1.5]=1，而f(1.2) =[1.2]=1
⑷ f是单调增加函数且ran f =R，它既是单射，也是满射， 因此它是双射。
⑸ f 不是单射也不是满射。当x→0时，f(x)→＋∞；而当 x→＋∞时，f(x)→＋∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1) =2。 因此它既不是单射也不是满射。
例如，设A=a,b,c，B=1,2,3。f：A→B为双射函数， 定义为：
f=a,2,b,3,c,1
则
f -1=2, a ,3, b ,1, c
(f -1 )-1=a,2,b,3,c,1= f
第5章 函数
5.2.2 复合函数 第4章介绍了二元关系的复合运算。在那儿，二元关系的 复合关系定义为： 设X，Y，Z是集合，R X×Y，SY×Z，集合 x,zxX∧zZ∧(y)(yY∧x,yR∧y,zS) 叫做R和S的复合关系。记为R∘S。即 R∘S=x,zxX∧zZ∧(y)(yY∧x,yR∧y,zS) 将R∘S=x,zxX∧zZ∧(y)(yY∧x,yR∧y,zS) 记为S∘R，即 S∘R=x,zxX∧zZ∧(y)(yY∧x,yR∧y,zS)
第5章 函数
【例5.2】设 N为自然数集合，下列N上的二元关系是 否为函数？
f=x,2x | xN g=x,2 | xN 解：f和g都是从自然数集合N到自然数集合N的函数， 常记为f：N→N，f(x)=2x和g：N→N，g(x)=2。 设A和B是两个任意集合，A×B任意子集是A到B的二 元关系，但不一定是A到B的函数。当A和B是有限集时， 由定理4.1.1的证明过程可以看出，A到B的二元关系共有 2|A||B|个，A到B的函数有多少个呢？以下研究这个问题。 设A和B是两个任意的集合，f |f：A→B是A到B的所 有函数构成的集合，常记为BA。读作B上A。
f =a,2,b,6 函数f是否为单射？f是否为满射？
第5章 函数
解：因为f(a)=2，f(b)=6，所以f是单射。因为 f 的值 域ran f =2,6≠2,4,6，所以f不是满射。图5.3是 f 的示意 图。
由图5.3可得出如下的结论： 若A、B是有限集， f：A→B是单射，在 f 的 示意图中，B中每个像 点是且仅是一条有向边 的终点且|A|≤|B|
【例5.4】设f：1,2,3 →a,b， f=1,a,2,a,3,b，A1=1,2，
试求A1在f下的像f(A1)和函数f的像f(A)。 解：f(A1)= f(x) |xA1=f(1), f(2)=a f(A)= f(x) |xA=f(1), f(2), f(3)=a,b
第5章 函数
定义5.1.3 设f：A→B，g：C→D，若A=C，B=D且 xA，有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为f =g。
=a,d| aA∧dD∧(b)(bB∧b=f(a)∧d=g(b))
第5章 函数
定义5.2.2 设f：A→B，g：C→D，若f(A)C，集合 a,d| aA∧dD∧(b)(bB∧b=f(a)∧d=g(b))
称为函数g在函数f左边的复合关系，记为g∘f。 定理5.2.3 设f：A→B，g：C→D，f(A)C， 则函数g在函
第5章 函数
定义5.1.5 设f：A→B，若yran f，存在惟一的xA， 使得f(x)=y，则称f为单射。
设f是A到B的函数，由定义不难看出，如果对于x1A， x2A，f(x1)=y1，f(x2)=y2。
①当y1=y2时，一定有x1=x2，则f是单射函数。 ②当x1≠x2时，一定有y1≠y2，则f是单射函数。 【例5.5】设f：a,b→2,4,6，定义
是满射，也不是单射，因而不是双射。逆关系 gC=a,1,a, 2,b,3
不是B到 A的函数。
第5章 函数
定理5.2.2 设f：A→B为双射函数，f -1：B→A是f的反 函数，则(f -1)-1=f。
证明：由定理5.2.1和定义5.2.1知 (f -1)-1：A→B，且为 双射。
xA，设 f (x)=y，则 f -1(y)= x，(f -1)-1(x)= y= f(x)， 所以(f -1)-1= f。
第5章 函数
前者叫做R和S的复合关系。为了与前者区别，后者叫做 二元关系S在二元关系R左边的复合关系，简称为S和R的左复 合关系。
前面已经讲过，函数是满足一定条件的二元关系，当然 它可以进行左复合运算。函数的左复合关系描述为：
设f：A→B，g：C→D，若f(A)C，集合 g∘f=a,d| aA∧dD∧(b)(bB∧a,bf∧b,dg)
第5章 函数
定义5.1.6 设f：A→B，若f既是单射，又是满射，则 称f为双射。
例如：A=1,2,3，B=a,b,c，f =1,a,2,c,3,b， f是A到B的双射函数，图5.4是f的示意图。
第5章 函数
若A、B是有限集，f：A→B是双射，则 f一定是满射。 故B中每个元素至少是一个有向边的终点；f 也是单射，故 B中每个像点是且仅是一条有向边的终点。所以，在双射函 数的示意图中，B中每一个元素是且仅是一条有向边的终点。
例如，函数f：N→N，f(x)= x3 函数g：1,2,3 →N，g(x)=x3
虽然函数f和g有相同的表达式x3，但是它们是两个不 同的函数。
如果把f和g看成二元关系， fN×N，用列举法表示为： 0,0,1,1,2,8,3,27, 4,64, … g1,2,3 ×N，用列举法表示为： 0,0,1,1,2,8,3,27
第5章 函数
定义5.1.7
⑴设 f：A→B，若yB，xA，都有 f(x)=y，则称 f
为常函数。
⑵设IA是A上的恒等关系，它是A到A的函数，IA叫做 A上的恒等函数。常记为y=IA(x)。
⑶设A是任意集合，A′A，xA，定义：A→0,1
如下：
1
xA (x) 0
x A x A A
xA (x) 叫做A′的特征函数。 ⑷设R是A上的等价关系，[x]R是 x形成的R等价类， A/R是A关于R的商集，f：A→A/R，定义为：f(x)=[x]R，称f 为A到商集A/R的自然函数或自然映射。
第5章 函数
例如，设A=a,b,c，A′=b，B′=a,b，则 A′的特征函数 xA′=a,0,b,1,c,0。 B′的特征函数 xB′=a,1,b,1,c,0。 显然A的每一个子集都对应一个特征函数。 又例如，设A=a,b,c，A上的等价关系R为：
R=a,a,b,b,b,c,c,b,c,c， 商集A/R=a,b,c
第5章 函数
【例5.3】设 A=1,2,3，B=a,b，求BA。 解：由A到B的函数有以下8个：
f0=1,a,2,a,3,a f1=1,a,2,a,3,b f2=1,a,2,b,3,a f3=1,a,2,b,3,b f4=1,b,2,a,3,a f5=1,b,2,a,3,b f6=1,b,2,b,3,a f7=1,b,2,b,3,b BA= f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7 A到B的函数共8个，8=23=|B||A|。 当A和B都是有限集时，这个结论可以推广。一般地
f：A→A/R f(a)=a f(b)=f(c)=b,c 不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关 系确定的自然映射是双射，而其它的自然映射一般地说 是满射。
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第5章 函数
5.2反函数和复合函数
5.2.1 反函数 定理5.2.1 设 f：A→B是双射函数，则 f 的逆关系f C 是B到 A的双射函数。 证明：先证逆关系 f C是B到 A的函数。 因为 f 是函数，所以 f C是B到 A的二元关系。以下证 明B到 A的二元关系f C是B到 A的函数。 ⑴yB，因为 f：A→B是满射，所以，xA，使 x,y f，由逆关系的定义得， y,x f C。 ⑵设y1,x1 fC，y2,x2 fC，y1=y2，由逆关系的定 义知，x1,y1 f，x2,y2 f，因为f是单射，所以x1=x2 故 f C是B到 A的函数。
说，若|A|=m，|B|=n，则|BA|=nm=|B||A|。
第5章 函数
定义5.1.2 设A和B是两个任意的集合，f：A→B， A1A，集合f(x) |xA1称为集合A1在f下的像，记为f(A1)。 集合A在f下的像 f(A)= f(x) |xA称为函数f的像。显然， 函数f的像f(A)就是二元关系f的值域，即f(A)=ran f。
按二元关系相等的条件衡量，它们也是不等的。函 数相等和二元关系相等是一致的。
第5章 函数
定义5.1.4 设f：A→B，若f的值域ran f =B，则称f为满射。 设f是A到B的函数，由定义不难看出，如果yB，都存 在xA，使得f(x)=y，则f是满射函数。 例如，A=a,b,c,d，B=1,2,3，f是由A到B的函数， 定义为：f =a,1,b,1,c,3,d,2 因为ran f=f(A)=1,2,3=B，所以f是满射。图5.2是f的示 意图。由图5.2可得出如下的结论： 若A、B是有限集，f：A→B 是满射，在f的示意图中，B中每 个元素至少是一个有向边的终点 且|A|≥|B|
由函数的定义可以看出，函数是一种特殊的二元关 系。若f是A到B的函数。它与一般二元关系的区别如下：
①函数的定义中强调A中的每一个元素x有像，所以 A=dom f。 这称为像的存在性。
②函数的定义中还强调像y是唯一的，称做像的惟一 性。像的惟一性可以描述为：设f(x1)=y1且f(x2)=y2。如果 x1=x2，那么y1=y2。或者，如果y1≠y2，那么x1≠x2。
第5章 函数
5.1 函数的基本概念 5.2 反函数和复合函数 5.3 集合的基数
第5章 函数
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第5章 函数
第5章 函 数
5.1函数的基本概念
定义5.1.1设A和B是两个任意集合，f是A到B的二元关 系，如果对于A中的每一个元素x，都存在B中惟一元素y， 使得x,yf，则称f是A到B的函数或映射。记为f：A→B。 x,yf，常记为y=f(x)，x称为自变元或像源，y称为在f作 用下x的函数值或像。
第5章 函数
定义5.2.1 设f：A→B是双射函数，f的逆关系f C是B到 A 的双射函数。称双射函数f C为f的反函数，记为：f -1。
例如，设A=1,2,3，B=a,b,c。 f=1, a ,2, c ,3, b
显然，f是A到B的双射函数。f的逆关系 f C=a,1,c,2,b,3
是B到A的双射函数，记为f -1，f –1是 f 的反函数。 又如 g=1, a ,2, a ,3,b也是A到B的函数，但g不
数f左边的复合关系g∘f是A到D的函数。
证明：aA，因为f是A到B函数，必存在惟一的bB， 使得a,bf。即b=f(a)。而b=f(a)f(A)C，故bC。又因为 g是C到D函数，必存在惟一的dD，使得b,dg。即d=g(b)。 故由定义5.2.2，a,dg∘f，即g∘f(a) = d。
若A、B是有限集，f：A→B是双射，则 f 一定是满射， 所以|A|≥|B|；f 也是单射，所以|A|≤|B|。于是|A|=|B|。
第5章 函数
【例5.6】判断下列函数是否为单射、满射或双射。 为什么？
⑴ f：R→R，f(x)= - x2+2x-1，其中，R是实数集合 ⑵ f：I＋→R，f(x)=ln x，其中，I＋是正整数集合 ⑶ f：R→I，f(x)=[x]，其中，[x]是不大于x的最大整 数 ⑷ f：R→R，f(x)= 2x+1