传递函数 (3)
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m
m1
G ( s) 称为系统或环节的传递函数
另可表示成
C (s) G(s) R(s)
控制系统传递函数的定义：
在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号 的拉氏变换之比，表示为
C (s) b0 s m b1s m1 ...... bm1s bm G( s ) R(s) a0 s n a1s n1 ...... an1s an
(4)传递函数是在零初始条件下得到的，常用于分 析系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态的过 渡过程。 (5)传递函数不能表明系统的物理结构（物理性质 不同的系统，可以有相同的传递函数）。
(6)传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应，因此 系统的脉冲响应即为系统传递函数的拉氏反变换。
传递函数的信息关系
(a0 s a1s
n
n 1 m 1
...... an1s an )C ( s) ...... bm1s bm ) R( s)
(b0 s b1s
m
从而，输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换 U(s)比为:
C (s) b0 s b1s ...... bm1s bm G( s ) R(s) a0 s n a1s n1 ...... an1s an
经拉氏变换
m Y ( s) s2 F (s) kY ( s)f Y ( s) s
Y ( s) 1 G ( s) F ( s) ms2 fs k
整理成
例 RLC电路
ur
uC
利用电路基本知识有：
di 1 L Ri dt C
idi u
r
1 C
idi u
C
进行拉氏变换得：
1 LsI ( s) RI ( s ) I ( s) U r ( s) Cs
消除中间变量
1 I ( s) U C ( s) Cs
( LCs2 RCs 1) UC (s) Ur ( s)
U C ( s) 1 G ( s) 2 U r ( s) LCs RCs 1
若系统的输入和输出以及他们的各阶导数在 t=0时皆为零， 且有n>=m，令所有的初始条件全为零，即
c(0) c (0) ...... c (0) 0
(1) (1) ( n)
r (0) r (0) ...... r
( m)
(0) 0
对方程两端逐项进行拉普拉斯变换。则有：
2.1.4
(3)传递函数的零极点形式
( s z1 )( s z 2 )......( s z m ) C ( s) * G( s) K R( s ) ( s p1 )( s p 2 )......( s p n ) b0 n m, K a0
*
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)传递函数的时间常数及静态增益形式
nm
在该定义下，系统的输出可以表示为变换域中传递函 数与控制输入的乘积，即
C (s) G(s) R(s)
传递函数的不同形式 (1) 传递函数的多项式形式
C (s) b0 s m b1s m1 ...... bm1s bm G( s ) R(s) a0 s n a1s n1 ...... an1s an nm
(1) 确定了输入信号U(s)与输出信号Y(s) 之间的传递关系信息。 (2) 确定了系统的固有特性信息(由分母多项 式描述)。 (3) 确定了系统与外界联系方式信息(由分子 多项式表示)。
2.1.3传递函数的求法
方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比
(1)传递函数是线性定常微分方程的拉普拉斯变换 结果，相关的概念只能应用于线性定常系统。 (2)传递函数只取决于系统的结构和参数，与系统 的输入或驱动函数无关。线性定常系统的输入与输出 的因果关系可用传递函数联系。
(3)传递函数一般是复变量S的有理真分式，所有 的系数均为实常数。由于实际系统总是存在能量或物 质的传递和交换，受其限制，传递函数分子多项式的 阶次m总是小于或等于分母多项式的阶次n。
2.1
传 递 函 数
1、传递函数是在变换域中描述系统的一 种数学模型。它是以参数来表示系统结构的， 故又称为系统的参数模型。 2、传递函数是基于拉氏变换得到的，可以 简化计算。
2.1.1 传递函数的定义
n阶线性定常系统的一般表达式（n>m）
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) ...... an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) ...... bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
(1s 1)( 2 s 1)......( m s 1) C ( s) G( s) K R( s ) (T1s 1)(T2 s 1)......(Tn s 1) bm n m, K an
其中传递函数中 K*为根轨迹增益或传递系数；传递函 数分子多项式方程 零点
(s z1 )(s z 2 )......(s z m )
的m个根，称为传递函数的零点。
其中传递函数分母多项式方程 极点
(s p1 )(s p2 )......(s pn )
称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动 态品质。特征多项式的n个根，称为传递函数的极点。
2.1.2 传递函数的特点:
方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组,消去中间变量 整理成传递函数的形式
1 直接利用微分方程求取传递函数
例 弹簧阻尼系统
M：质量 f：粘性摩擦系数 k：弹簧刚度
fy
f
ky
F（t） F（t）
弹簧-质量-阻尼系统
由牛顿第二定律
d 2 y (t ) m F (t ) ky f y 2 dt
m1
G ( s) 称为系统或环节的传递函数
另可表示成
C (s) G(s) R(s)
控制系统传递函数的定义：
在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号 的拉氏变换之比，表示为
C (s) b0 s m b1s m1 ...... bm1s bm G( s ) R(s) a0 s n a1s n1 ...... an1s an
(4)传递函数是在零初始条件下得到的，常用于分 析系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态的过 渡过程。 (5)传递函数不能表明系统的物理结构（物理性质 不同的系统，可以有相同的传递函数）。
(6)传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应，因此 系统的脉冲响应即为系统传递函数的拉氏反变换。
传递函数的信息关系
(a0 s a1s
n
n 1 m 1
...... an1s an )C ( s) ...... bm1s bm ) R( s)
(b0 s b1s
m
从而，输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换 U(s)比为:
C (s) b0 s b1s ...... bm1s bm G( s ) R(s) a0 s n a1s n1 ...... an1s an
经拉氏变换
m Y ( s) s2 F (s) kY ( s)f Y ( s) s
Y ( s) 1 G ( s) F ( s) ms2 fs k
整理成
例 RLC电路
ur
uC
利用电路基本知识有：
di 1 L Ri dt C
idi u
r
1 C
idi u
C
进行拉氏变换得：
1 LsI ( s) RI ( s ) I ( s) U r ( s) Cs
消除中间变量
1 I ( s) U C ( s) Cs
( LCs2 RCs 1) UC (s) Ur ( s)
U C ( s) 1 G ( s) 2 U r ( s) LCs RCs 1
若系统的输入和输出以及他们的各阶导数在 t=0时皆为零， 且有n>=m，令所有的初始条件全为零，即
c(0) c (0) ...... c (0) 0
(1) (1) ( n)
r (0) r (0) ...... r
( m)
(0) 0
对方程两端逐项进行拉普拉斯变换。则有：
2.1.4
(3)传递函数的零极点形式
( s z1 )( s z 2 )......( s z m ) C ( s) * G( s) K R( s ) ( s p1 )( s p 2 )......( s p n ) b0 n m, K a0
*
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)传递函数的时间常数及静态增益形式
nm
在该定义下，系统的输出可以表示为变换域中传递函 数与控制输入的乘积，即
C (s) G(s) R(s)
传递函数的不同形式 (1) 传递函数的多项式形式
C (s) b0 s m b1s m1 ...... bm1s bm G( s ) R(s) a0 s n a1s n1 ...... an1s an nm
(1) 确定了输入信号U(s)与输出信号Y(s) 之间的传递关系信息。 (2) 确定了系统的固有特性信息(由分母多项 式描述)。 (3) 确定了系统与外界联系方式信息(由分子 多项式表示)。
2.1.3传递函数的求法
方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比
(1)传递函数是线性定常微分方程的拉普拉斯变换 结果，相关的概念只能应用于线性定常系统。 (2)传递函数只取决于系统的结构和参数，与系统 的输入或驱动函数无关。线性定常系统的输入与输出 的因果关系可用传递函数联系。
(3)传递函数一般是复变量S的有理真分式，所有 的系数均为实常数。由于实际系统总是存在能量或物 质的传递和交换，受其限制，传递函数分子多项式的 阶次m总是小于或等于分母多项式的阶次n。
2.1
传 递 函 数
1、传递函数是在变换域中描述系统的一 种数学模型。它是以参数来表示系统结构的， 故又称为系统的参数模型。 2、传递函数是基于拉氏变换得到的，可以 简化计算。
2.1.1 传递函数的定义
n阶线性定常系统的一般表达式（n>m）
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) ...... an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) ...... bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
(1s 1)( 2 s 1)......( m s 1) C ( s) G( s) K R( s ) (T1s 1)(T2 s 1)......(Tn s 1) bm n m, K an
其中传递函数中 K*为根轨迹增益或传递系数；传递函 数分子多项式方程 零点
(s z1 )(s z 2 )......(s z m )
的m个根，称为传递函数的零点。
其中传递函数分母多项式方程 极点
(s p1 )(s p2 )......(s pn )
称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动 态品质。特征多项式的n个根，称为传递函数的极点。
2.1.2 传递函数的特点:
方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组,消去中间变量 整理成传递函数的形式
1 直接利用微分方程求取传递函数
例 弹簧阻尼系统
M：质量 f：粘性摩擦系数 k：弹簧刚度
fy
f
ky
F（t） F（t）
弹簧-质量-阻尼系统
由牛顿第二定律
d 2 y (t ) m F (t ) ky f y 2 dt