圆与圆的位置关系

第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第一部分知识梳理

一 .直线与圆的位置关系

1.直线与圆的三种位置关系

如图，设⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系：

（1）直线l和⊙O相离⇔d r

>

此时：直线和圆没有公共点．

（2）直线l和⊙O相切⇔d r

=

此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（3）直线l 和⊙O 相交 ⇔0d r ≤<

此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线．

2. 切线的判定定理

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质:

（1）与圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别:

（1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

（3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况:

（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切.

（2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系

在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含.

圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距

.

l

（1

（2

（3

设两圆的圆心距为12O O d =，半径为0r R <<，则有： （1）外离：没有公共点 ，两圆外离⇔ d R r >+ （2）外切：有唯一的公共点，两圆外切⇔d R r =+ （3）相交：有两个公共点， 两圆相交⇔R r d R r -<<+ （4）内切：有唯一的公共点，两圆内切⇔d R r =- （5）内含：没有公共点，两圆内含⇔0d R r ≤<-

（1） （2） （3） （4） （5）

2. 相切两圆的性质

连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.

3.相交两圆的性质

相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

注 ：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧.

第二部分 例题精讲

例 1 如图，已知Rt ABC ∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4

（1）圆心为点C 、半径长R 为2的圆与直线AB 有怎样的位置关系 （2）圆心为点C 、半径长R 为4的圆与直线AB 有怎样的位置关系

（3）如果以点C 为圆心的圆与直线AB 有公共点，求⊙C 的半径R 的取值范围.

出题意图：考查直线与圆的位置关系.

解析：

. 答案：

解：在Rt ABC ∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4.

由勾股定理，得AB=5. 设点C 到AB 的距离为d ，则

即

d5

2

1

4

3

2

1

⨯

=

⨯

⨯

解得 d=.

（1）∵＞2，即d＞R ∴半径长R为2的⊙C与直线AB相离.

（2）∵＜4，即d＜R，∴半径长R为4的⊙C与直线AB相交.

（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，那么⊙C与直线AB相切或相交.

∴当R≥时，⊙C与直线AB有公共点.

针对训练 1

已知Rt ABC

∆中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B.

（1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.

例 2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，

求证：直线AB是⊙O的切线．

出题意图：考查切线的判定定理.

解析：欲证AB是⊙O的切线,由于AB过圆上点C,OC的外端,只需证明OC⊥AB即可.

答案：

证明：连结0C

∵0A＝0B，CA＝CB

∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．

∴AB⊥OC．

∵直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C

∴AB是⊙O的切线．

针对训练 2

如图，AC是⊙O的弦，AC=BC=OC.

求证：AB是⊙O的切线.

例3 如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长.

出题意图：考查圆与圆的位置关系.

A C

B

解析：利用外切两圆的圆心距等于半径之和即可.

答案：解：设⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为x 厘米、y 厘米、z 厘米. ∵⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切， ∴AB ＝ x ＋y ，BC ＝y ＋z ，CA ＝z ＋x. 根据题意，得关于x 、y 、z 的方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+653x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===142z y x

∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米. 针对训练 3

如图，⊙O 的半径为5厘米，点P 是⊙O 外一点，OP=8厘米. 求：（1）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 外切，小圆⊙P 的半径是多少 （2）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 内切，大圆⊙P 的半径是多少

例4 相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，求两圆的圆心距. 出题意图： 考查相交两圆的性质.

解析：两圆相交要考虑两种情况：（1）圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条弦心距之和；（2）圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值.

答案： 解：①圆心在公共弦的两侧

12O O ∴为AB 的垂直平分线

∴AB ⊥12O O ，AC=CB ②圆心在公共弦的同侧 由①可得：

1OC =24O C = 针对训练 4

已知1O e 和2O e 相交于A 、B 两点，P 是连心线12O O 与2O e 的交点，PA 、PB 的延长线分别交1O e 于点C 、D.

求证：»

»AC BD =