信号与系统第5章 拉普拉斯变换与系统函数

e
0 ∞
t st
1 e dt s
1 e dt s
Re s Re s
e
t
(t )e dt
Байду номын сангаасe
t st
图5-1
f1(t)、f2(t)的双边拉普拉斯变换及其收敛域
5.2.3 拉普拉斯反变换
双边拉普拉斯变换的反变换表达式 的推导要用到复变函数的很多知识，这 里不予细述，感兴趣的读者可参看相关 书籍。 反变换的表达式为 ∞ 1 st x(t ) X ( s)e ds （5-9） 2πj ∞
实际上，基于傅里叶变换的频域分 析技术使我们能够用正弦激励的稳态响 应来了解系统对非周期信号的响应，物 理概念非常清晰，因此在信号分析、系 统频率响应、系统带宽等问题上，成为 不可或缺的必要分析工具。
但是，任何一种分析工具都存在其局 限性，基于傅里叶变换的频域分析技术也 是如此。 具体来说，它还存在着如下的不足。
如果这一收敛域包含了j轴，也即 0 ，则傅里叶变换 X ( j ) 成为拉普 拉斯变换X(s)当 s j 轴的一个特殊情况， 即 X (j) X (s) s j （5-5）
【例5-1】 求 x(t ) (t ) 的拉普拉斯变换。 解 ∞
而前已得到 显然
1 X ( s ) (t )e d t s 0
（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果 信号，即t的指数函数et和t的正幂函数t （＞0），傅里叶变换不存在。一个典 型的例子是工程中极为常见的斜坡信号 t· ε(t)。
（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时 域输出时，由于傅里叶反变换涉及的是沿 虚轴即j轴的无穷积分，往往遇到数学上 的困难。
第5章 拉普拉斯变换与系统函数
5.1
引 言
5.2
拉普拉斯变换
5.3
拉普拉斯变换的进一步讨论
5.4
单边拉普拉斯变换用于线性系统分析
5.5
系统函数
5.6
模拟滤波器设计简介
5.1 引 言
在前面几章中，我们介绍了信号与 系统分析中的时域分析技术与频域分析 技术，这两种分析工具是日常应用中最 为常用的，尤其是频域分析技术。
称
X (s)
∞ ∞

x(t )e dt
st
（5-6）
为x(t)的双边拉普拉斯变换，符号同前， 也为L x(t )。
【例5-2】 设信号可表达为
t e f (t ) t e
t ≥0 t 0
求其双边拉普拉斯变换。
t f ( t ) e (t ) 的双边拉普拉斯 【例5-3】 因果信号 1 变换与单边拉普拉斯变换相同，均为 F (s) s ， 收敛域也相同，均为 Re s ，即右半平面（ 包括大半或小半，视 而定）。
X ( j )
∞

0
x(t )e jt dt
（5-1）
式（5-1）的正确性仍以右端积分的 存在为前提。 但对实际工程中遇到的两类指数阶 n αt 信号，即 t (t )（n＞0）和 e (t ) （＞0），上述积分不可积，因此傅里叶 分析技术将不再有效。
究其原因，是因为上述两类信号当 t ∞时，信号幅度不衰减，反而增长， 也即信号不收敛。
由式（5-2）可见，显然收敛因子 e t t 中的 越大越正，就越能保证 x(t )e 的 傅里叶变换存在。 记 的最小值为 ，则当 Re s 时，式（5-3）右端的积分收敛。 因此，称x(t)的拉普拉斯变换的收敛 域为 Re s （5-4）
（3）在线性系统的瞬变响应分析问题上， 通常存在着非零初始条件，这时，傅里 叶分析技术将遇到很大的困难。
（4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统 综合工具，也即不能用频域分析工具按给定 的指标要求确定系统结构与参数。
5.2 拉普拉斯变换
5.2.1 概念的引入
在工程中遇到的实际信号通常为因果 信号，时间起点t=0作为所考虑问题有意义 的参考起点，因此总可假设t＜0时的信号 恒为零，这样，傅里叶变换成为
st
X (j) πδ() j
1

X (j) X (s) s j
5.2.2 双边拉普拉斯变换
在实际应用中，通常使用单边拉普 拉斯变换。 为了概念的完整性，这一小节对双 边拉普拉斯变换及其收敛域做一介绍。 这一知识在数字信号处理课程中讨 论z变换时将会用到。
定义：对于信号x(t)（ ∞ t ∞），
t f ( t ) e (t ) 与非因 【例5-4】 因果信号 1 果信号 f2 (t ) et (t ) 具有相同的双边 拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。
F1 (s)
F2 (s)
∞ ∞
∞ ∞
e
t
(t )e dt
st
st
∞ 0
∞

0
x(t )e( j )t dt（5-2）
Im s ， 令 s j ，即 Re s ， 式（5-2）成为
x(t )e
t

∞

0
x(t )e dt X (s)
st

（5-3）
这样，式（5-3）将x(t)变换成了复平面S 上的一个函数X(s)，称之为x(t)的拉普拉斯（ Laplace）变换。符号为L x(t ) 。
式中， 的取值应位于X(s)的收敛 域内，即满足 。
式（5-9）通常称为反演公式，X(s) 称为象函数，x(t)称为原函数。反变换的 符号为 L 1 X (s) 。
利用反演公式，可分别求出x(t)的因 果部分与非因果部分。 因此，反演公式同样适用于单边拉 普拉斯反变换。
为克服这一问题，引入收敛因子 e t （ 为实常数），构成 x(t )e t ，这样如 t x ( t )e 取得足够大，就可使 在t ∞ t 时趋于零，使 x(t )e 满足绝对可积的条 件，从而使其存在傅里叶变换
x(t )e t
∞

0
x(t )e t e jt dt