第七章 协方差分析

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协方差分析的应用条件
⑴各比较组协变量X与分析指标Y存在线性 关系（按直线回归分析方法进行判断）。 ⑵各比较组的总体回归系数βi相等，即各直 线平行(绘出回归直线，看是否平行)。
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两条回归直线不平行
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结论： 本资 料不 宜做 协方 差分 析
三条回归直线基本平行
各回归系数不 为零
结论： 本资 料可 以做 协方 差分 析
第七章 协方差分析
第一节 协方差分析的意义
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在科研中，实验效应除了受到处理因 素的作用外，尚受到许多非处理因素的影 响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不 仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性 别、病情、心理、环境、社会等因素的影 响。
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药物临床疗效研究
混杂因
患者的状况（性别、年龄
研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试 验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同， 将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重 之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很 难满足试验仔猪初始重相同这一要求。
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这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重 (记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重，于是初始重不同 对仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后 的增重是应用统计方法将初始重控制一致 而得到的，故叫统计控制。统计控制是试 验控制的一种辅助手段。经过这种矫正， 试验误差将减小，对试验处理效应估计更 为准确。
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协方差分析的应用条件
⑴要求各组资料都来自正态总体，且各组的方 差相等；（t检验或方差分析的条件） ⑵各组的总体回归系数βi相等，且都不等于0 （回归方程检验）。
因此，应用协方差分析前，要对资料进行 方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同 质性检验），只有满足上述两个条件之后才能 应用，否则不宜使用。
可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可 在分析阶段）进行控制。 难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。
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常见的实例
（1）比较不同施肥量对果树单株产量的影 响，果树起始干周是混杂因素。 （2）比较两种药物治疗高血压的疗效，年 龄是一个混杂因素。 （3）研究不同饲料对动物增加体重的作用 时，动物的初始体重、进食量等因素。 （4）… …
(xx)(yy)
r
(xx)2 (yy)2
若将公式右端的分子分母同除以自由度(n1)，得
r
(xx)(yy)/(n1)
(xx)2
(yy)2
（10-1）
(n1)
(n1)
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其中
(x x)2
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
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(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y) n1
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（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
（covariance），记为COV(x,y)或 xy 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。
素
药物
病情
疗效
举
例
素心 理
其他因 素
因 .
各组间的效应进行比较，必须保持组间的 影响因素（混杂因素的比例）相同，组间 才具有可比性。
处理因素
T + S1
混杂因素
－
S2
T
e + s1 （实验组）
s2 （对照组） e
（在设计阶段控制混杂因素的方法）
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在混杂因素中，有些是难以完全控制的， 如,天气变化，饲料的进食量；有些是可以控 制的，如年龄，动物的初始体重。
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所以， 处理平均数的回归矫正和矫正平均 数的显著性检验，能够提高试验的准确性 和精确性，从而更真实地反映试验实际。 这种将回归分析与方差分析结合在一起， 对试验数据进行分析的方法，叫做协方差 分析(analysis of covariance)。
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二、估计协方差组分
在第六章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式：
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，
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协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述 如下。
一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
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但在有些情况下，即使作出很大努力也难以 使试验控制达到预期目的。例如：
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不满足条件时的处理方法 X与Y不满足线性关系时，通常情况下是 对X或Y或两者作适当的变量变换，使之符合 线性关系。
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协方差分析适用的资料
协方差分析可用于： 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、 析因设计等资料； 协变量X可以仅有一个，称一元协方差分析； 协变量也可以有多个，称多元协方差分析。
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若 y 的变异主要由x的不同造成(处理没有显 著效应)，则各矫正后的 y 间将没有显著差异(但 原y间的差异可能是显著的)。
若 y的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不 同处理的显著效应，则可y 期望各y 间将有显著差 异 (但原y间差异可能是不显著的)。此外，矫正 后的 y 和原y的大小次序也常不一致。
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在分析阶段控制混杂因素的方法： 1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料） 2、协方差分析（适用：计量资料） 3、多因素分析（适用：计量、计数资料）
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协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA)
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
协变量：在进行协方差分析时，混杂因素 统称为协变量。
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协方差分析的基本思想： 在作两组或多组均数 y1，y 2 …，y k的假
设检验前，用线性回归分析方法找出协变量 X与各组Y之间的数量关系，求得在假定X相 等时修定均数 y，'1 y '2，y '，k 然后用方差分析 比较修正均数间的差别，这就是协方差分析 的基本思想。