椭圆与双曲线的小结(焦点问题)复习

a , 0
x轴， 实轴长2a y轴， 虚轴长2b
c , 0 ,
c a 2 b2
c , 0 ,
e 1
yb x a
c a 2 b2
离心率
渐近线方程
0 e 1
焦点位置
材料一： 找出下列椭圆或双曲线的焦点坐标.
x2 y2 分析：将原方程变为标 准方程 1 25 9 a 2 25 , b 2 9 , 即c 2 a 2 b2 16
为此椭圆或双曲线的焦 点三角形 .
设F1 , F2为 椭 圆 或 双 曲 线 的 两 焦 个点， P是 椭 圆 或
2 y 已 知F1，F2是 椭 圆x 1的 两 个 焦 点 ， P在 材料二： 49 24 椭圆上且满足 PF1 PF2 48， 则F1 PF2 ____ . 90 2 2 y 类比： 已 知F1，F2是 双 曲 线x 1的 两 个 焦 点 ， P在 9 16 双曲线上且满足 F1 PF2 60， 则 PF1 PF2 ____ 64 . 2
y
y
. F
1
0
. F
2
x
. F
1
o
. F
2
x
椭圆、双曲线的方程(各取一种情况）、性质的对比. 椭圆
几何条件 标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 与两个定点的距离的和 等于常数.
双曲线
与两个定点的距离的差 的绝对值等于常数.
a , 0 , 0 , b
x轴， 长轴长2a y轴， 短轴长2b
y
.
P
.
2
P
y
. F
1
0
. F
x
F1
.
o
. F
2
x
2 y 已 知 F1，F2是 椭 圆x 2 2 1 a b 0的 两 个 探索： a b 焦点， P是 椭 圆 上 一 点 (长 轴 端 点 除 外 ) ， 设F1 PF2 ， 2
2b 2 则 PF1 PF2 __________ 1 cos __ .
2 y 已 知 F1，F2是 双 曲 线x 2 y 2 1 a 0 , b 0 类比： P a b 的两个焦点， P 是双曲线上一点 ( 实轴 端 点 除 外 ), 2
.
2b 2 设F1PF2 ，则PF1 PF _________ 1 cos . F2 F 0 1 2
焦点坐标为0 ， 13 ， 0， 13 .



x2 y2 已知方程 1 探索： 2 m m 1
⑴表示焦点在x轴上的双曲线，求m的范围. 分析：
2 m 0 , m 1时双曲线焦点在 x 轴上. m 1 0
⑵表示焦点在x轴上的椭圆 ，求m的范围.
2 m 0 3 m 1时椭圆焦点在 分析： x 轴上. m 1 0 , 2 2 m m 1 判断焦点位置
共同点： 化为标准方程，观察x 2 , y 2的系数. 差异： 椭圆看大小，双曲线看符号.
焦点三角形
长轴或实轴端点除外 ， 则 称PF1F2 双曲线上一点
为此椭圆或双曲线的焦 点三角形 .
设F1 , F2为 椭 圆 或 双 曲 线 的 两 焦 个点， P是 椭 圆 或
焦点三角形
长轴或实轴端点除外 ， 则 称PF1F2 双曲线上一点
1 9 x 2 25y 2 225 0
4 ， 4 ， 焦点坐标为 0 ， 0.
y2 x2 分析：将原方程变为标 准方程 1 4 9 a 2 4 , b 2 9 , 即c 2 a 2 b 2 13
2 4 x 2 9 y 2 36 0
2 2 64 256 2 b PF PF 分析： 由探索1可知 1 2 1 cos 1 cos60 3
S F1PF2
3 64 3 256 1 1 . PF1 PF2 sinF1 PF2 3 2 3 2 2
2
2 y 已知F1，F2是双曲线 x 1的两个焦点， 类比： 9 16 P是双曲线上任意一点，若 PF1 PF2 64 ，则 3
y x 1 2 由 2 ， 得 3 x 4x 0. பைடு நூலகம் x 2 y 2 x1 x 2 4 , x1 x 2 0 . 3
.
F 0 B
.
A x
AB 1 k 2 x 1 x 2
1 k 2
x1 x 2 2 4 x1 x 2
.
.
共同点： 都是在PF1F 2中利用余弦定理求解. 差异：椭圆 PF1 PF2 2a ；
双曲线 PF1 PF2 2a .
x
焦点弦
2 x 已 知斜 率为 1 的 直线 l 过 椭圆 y 2 1的 右焦 点， 材料三： 2 交 椭圆 于 A、B两 点， 求 弦 AB的 长. 分析： 右焦点 F 1 ， 0 ， l 方程为 y x 1 ， y 设A、B坐标分别为 A x1 , y1 , B x 2 , y2 .

4 2 3
三、小结提高
椭圆、双 曲线的方 程、性质
焦点位置
焦点
访谈核心
焦点三角形
焦点弦
知识•方法•思想
探索： 以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，和该焦
点相应准线是何位置关系？
类比： 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和该
焦点相应准线是何位置关系？
2 y x 已知 F ， F 是椭圆 1的两个焦点，P是 探索2： 1 2 100 64 椭圆上任一点，且F1 PF2 600，求F1 PF2的面积 . 2
则SPF1F2
16 3 ______ . 3