离散数学_集合与关系_关系

其加法和乘法运算定义如下
00 0
, ,
01 10 11 1 0 1 1 0 0 0 0
1 1 1
例如
( 1 0 0 ) ( 0 1 ) (1 1 1 ) ( 0 0 0 ) ( 1 1 ) 1
23
• 关系矩阵的乘积 对两个关系矩阵求其乘积时，其运算法则与一般 矩阵的乘法是相同的，但其中的加法运算和乘法运 算应改为布尔加和布尔乘。
定义3-18 设 A 、B 都是有限集， A { a1 , a 2 ,, a n } ,
nm
的关系矩阵。 例 1 中由 A 到 B 的关系 可以用
矩阵 M 称为

1 rij 0
若 a i b j 若a i b j
1
5
7
一个
4 3
M
的矩阵来表示。
2 0 3 0 4 0 8 0
主要内容如下：
笛卡尔积与关系
关系的表示 偏序关系
等价关系
关系的复合运算
关系的性质与闭包
2
笛卡尔积与关系
一、有序n元组与笛卡尔积
1. 有序n元组
定义3-13 由n个具有给定次序的个体 a1 , a 2 , , a n 组成的
序列称为有序n元组，记作（ a1 , a 2 , , a n）。
3
定义3-14 设( a1 , a 2 , , a n ) 和(b1 , b2 , Leabharlann Baidu , bn )是两
21
3. 求复合关系的几种方法
（1）根据复合关系的定义求复合关系
例6中求复合关系采用的就是这种方法。
又例如 下面的关系图给出了从集合A到B的关系 1 和从B到C的关系 2
1 2 {( 2,2), ( 2,3), ( 3,1)}
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（2）运用关系矩阵的运算求复合关系 •布尔运算
24
• 复合关系的关系矩阵
定理3-5 设A、B、C均是有限集， 1 是一由A
到B的关系, 2 是一由B到C的关系，它们的关系
矩阵分别为 M 1和 M 2 ，则复合关系 1 2 的
关系矩阵
M 1 2 M 1 M 2
25
例8
， ， } C {1,2,3} A {1,2,3,4 } B { 2,3,4 1 {(1,2), ( 2,4), ( 3,3), ( 4,2)} A到B的关系 B到C的关系 2 {( 2,1), ( 3,2 ), ( 4,1), ( 4,3 )} 则 1 2 {(1,1), ( 2,1), ( 2,3 ), ( 3,2 ), ( 4,1)} 设有集合
笛卡尔积
A A 我们常记作 A 2 2 A {( a i , a j ) | a i A, a j A }
5
例2
设 A {0,1} 则 A 2 A A {( 0 ,0 ), ( 0, 1 ), (1, 0 ), (1, 1)}
二、关系
1. 关系的定义
定义3-16
笛卡尔积
1 2 {(1,2), ( 2,4), ( 3,3), (1,3), ( 4,2)} 1 2 {( 2,4)} 1 2 {(1,2), ( 3,3)} 若 1和 2都是由集合 A 到 B 的关系， 则 1 A B， 2 A B。 于是 1 2 A B， 1 2 A B， 1 2 A B 因此 1 2， 1 2和 1 2也都是由 A 到 B 的关系。
分别定义为：
1 {( a, b ) | a b 6} {( 2,4), ( 3,3), ( 4,2)}
2 {( b, c ) | b整除c } {( 2,6), ( 3,3), ( 3,6)}
于是复合关系
1 2 {( 3,3), ( 3,6), ( 4,6)}
{( 0,0 ), ( 0,2 ), ( 0,4 ), (1,0 ), (1,2 ), ( 2,0 )}
试构造出
的关系矩阵
0 2 4
0 1 1 1 M 1 1 1 0 2 1 0 0
15
2. 设 A {1,2,3,4,5,6 } ，A上的关系
1
2 的复合关系是一个由A到C的关系，
用 1 2 表示，定义为：当且仅当存在元素 使得 a b ， 时，有 a( )c 。 b c 2 1 2 1 这种由
b B，
1和 2 求复合关系 1 2 的运算称为
关系的复合运算。 20
例4
设
1是由 A {1,2,3,4, }到B { 2,3,4} 的关系。 2 是由 B 到 C { 3,5,6} 的关系。
表示，定义为 A B {( a , b ) 例1 设 A {0,1}, b {a , b, c}
| a A, b B}
则 A B {( 0, a ), ( 0, b ), ( 0, c ), (1, a ), (1, b ), (1, c )}
但 B A {( a ,0 ), (b ,0 ), ( c ,0 ), ( a ,1), (b ,1), ( c ,1)}
A B 的任意一个子集
称为是由A到B的一个二元关系，当A B 时， 称 是A上的二元关系。
6
若 若
( a , b ) ，则称a与b有关系 ，又记作 ab。 ( a , b ) ，则称a与b没有关系 ，又记作 a b。
7
1. 设 则
A {0,1}
,
则 1 2 {( 2,4 ), ( 2,8 ), ( 3,9 )} ； 1 2 ；
1 2 {( 2,4), ( 2,8)}
均是由A到B的关系。
{( 2,9), ( 3,4), ( 3,8), ( 3,9)} 1
18
二、求逆关系的运算
系，定义由 B 到 A 的关系
1 1 1 0
1 1 1 0
11
例3 设 A {1,2,3,4} ，A上的关系
{( x, y ) | y是x的整数倍 }
解
则
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
可以用一个 4 4的矩阵来表示。
则ρ 的关系图如下 A B
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
1 {(i, j ) | i整除j }
2 {(i, j ) | i 是素数} j
试画出 1 和 2 的关系图。
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关系的复合运算
一、关系的并、交、补运算
例1
则
设 1
{(1,2), ( 2,4), ( 3,3)} ， 2 {(1,3), ( 2,4), ( 4,2)}
个有序n元组，若 a1 b1 , a 2 b2 , , a n bn ,则称这两 个有序n元组相等，并记作
( a1 , a 2 , , a n ) (b1 , b2 , , bn )
当n=2时，有序二元组(a,b)又称为序偶。 4
2. 笛卡尔积
(1)笛卡尔积的定义
定义3-15 设A,B为任意集合， A 和 B 的笛卡尔积用 A B
1 2 3 4
1 1 2 0 M 3 0 4 0
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1
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三、关系图表示法
关系图由结点和边组成
B {1,5,7 } , 例如 例1中的 A {2,3, 4,8}，
{( 2,5 ), ( 2,7 ), ( 3,5 ), ( 3,7 ), ( 4,5 ), ( 4,7 )}
由
：
解
的定义知
{( 2,4 ), ( 2,6 ), ( 2,10 ), ( 3,6 ), ( 5,10 )}
于是
~ {( 4,2), ( 6,2), (10,2), ( 6,3), (10,5)}
19
三、关系的复合运算
1. 复合关系的定义
定义3-20 设 1 是由A到B的关系， 2 是由B到C的 关系，则 和
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若将 A
B 看作是全集U，则
{( a, b ) | ( a, b ) 1 } 1 {( a, b ) | ( a, b ) 2 } 2
也都是由A到B的关系。
B {4,8,9} 例2 设 A { 2,3}，
这里 A B {( 2,4 ), ( 2,8 ), ( 2,9 ), ( 3,4 ), ( 3,8 ), ( 3,9 )} . 设由A到B的关系 1 {( 2,4 ), ( 2,8 )} , 2 {( 3,9)}
2 3 4
M 1 1 1 2 0 3 0 4 1 0 0 0 1 1 0 0 0
1 2 3
1 2
M 1 2 1 1 2 1 3 0 4 1
3
2 1 0 0 M 2 3 0 1 0 4 1 0 1
中的序偶来表示。
={( 王 , 语 文 ),( 王 , 数 学 ),( 张 , 语 文 ),( 张 , 英 语 ),( 李 , 数
学),(何,英语)} 10
二、矩阵表示法
B {b1 , b2 , , bm } ，由A到B的关系 可以用一个 的矩阵 M 来表示， M 的第i行第j列的元素 rij 取值如下：
1
第三章
集合与关系—关系
关系（主要是二元关系），它仍然是一种集合，但它是比 前面更为复杂的集合。它的元素是有序二元组的形式，这 些有序二元组中的两个元素来自于两个不同或者相同的集 合。因此，关系是建立在其它集合基础之上的集合。关系 中的有序二元组反映了不同集合中元素与元素之间的关系， 或者同一集合中元素之间的关系。这里讨论这些关系的表 示方法、关系的运算以及关系的性质，最后讨论集合A上 几类特殊的关系。
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
定义3-19 设 A 、 B 是任意集合， 是由 A 到 B 的关
称
~ 为关系 的逆关系。
~ {( b, a ) | ( a, b ) }
例3
当且仅当
设
A { 2,3,5}，B {4,6,10 } 定义由A到B的关系 ， ~。 a 整除 b 时，有 ab ，试求 的逆关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
例7 设 M 1和 M 2是两个关系矩阵
1 0 M1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 M2 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 0 0 0
则
1 1 M1 M 2 0 1