第七章 3

[(ε1,ε2,,εn )A] B=(ε1,ε2,,εn )(AB),
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其中A ,B均为矩阵并且是可以相乘的. 在(2)式两端同时右乘A -1,便得 (ε1, ε2 ,, εn ) = (ε '1, ε '2 ,, ε 'n ) A1. 这说明由基ε'1,ε'2,,ε' n到基ε1,ε2,,ε n的过渡矩阵恰 是由基ε1,ε2,,εn到基ε'1,ε'2,,ε'n的过渡矩阵的逆矩阵. 下面研究同一向量在两基下的坐标间的关系.设基ε1, ε2,,εn与基ε'1,ε'2,,ε'n之间的关系如(2)式,向量在这 两个基下的坐标分别为 x x' 1 1 x ' 2 , x2 . ' xn xn
k1 α1+ k2 α2 ++ ks αs .
∧ ∧ ∧
以上结果说明:向量与其坐标的对应关系保持加法, 保持数乘,从而保持线性组合的关系式. 定理3.3设V是数域F上的n维线性空间.在V的一个基 定理 ε1,ε2,,εn之下,向量组α1,α2,,αs线性相关的充分必要 ∧ ∧ ∧ 条件是它们的坐标 α1,α2 ,,α s(作为F上的n维 数组向量)线性相关. 证明 利用定理3.1及3.2,便知以下四种说法互为充 分必要条件,从而本定理成立.
又,对任意k∈ F ,有
kα = ka1ε1 + ka2ε2 ++ kanεn ,
故知k α的坐标恰是 k α .
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∧
定理3.2可推广为:在基ε1∧ 2,,ε n之下,若向量组 ,ε ∧ ∧ α1,α2 ,,α s 则对数域F上的 , α1,α2,,αs的坐标为 任意数k1, k2 ,, k s,向量k1α1+ k2α2 ++ksαs的坐标为
即有
α = a1ε1 + a2ε2 ++ anεn , β = bε1 + b2ε2 ++ bnεn. 1
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于是
α + β = (a1 + b1)ε1 + (a2 + b2 )ε2 ++ (an + bn )εn.
可见α+ β的坐标为
a1 + b 1 a + b ∧ ∧ 2 2 = α+ β . an + bn
1 0 0 ε1 = 0 ,ε2 = 1 ,ε3 = 0 0 0 1
以及在另一个基
4 0 0 ε '1 = 0 ,ε '2 = 2 ,ε '3 = 1 0 1 1
下的坐标.
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解 显然, α在基ε1,ε2 ,ε3下的坐标为(1,2,-1)T. (注意它在形式上和向量α一模一样,但在概念上不能把 空间中的向量与它们的坐标相混淆).设α在基ε'1,ε'2 ,ε'3 下的坐标为(x1 , x 2, x 3)T,则应有
§3 坐标与坐标变换
3.1 向量的坐标
第七章
在上一节中,我们已经知道: n维线性空间中任一向 量都可以由V的基唯一地线性表示.由此引出了坐标的概念. 定义3.1 设V是数域F上的n维线性空间, ε1,ε2,,εn是 定义 V的一个基.对于V中任一向量α ,有数域F中唯一的一组 数a1,a2,,an,使
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定理3.2 设V是数域F上的 n维线性空间.在基ε1,ε2,,εn 定理 ∧ ∧ 下,如果α的坐标为 α, β的坐标为 β ,则
α+ β ; ∧ 2) kα的坐标为 k α(k ∈F).
1) α+ β的坐标为 证明 设
∧
∧
a1 b 1 a ∧ b ∧ α = 2 , β = 2 , an bn
∧ ∧ ∧
g1, g2 , g3 显然线性无关,故知g1,g2,g3亦线性无关.
再由本章定理2.1知,作为3维线性空间的3个线性无关向 量, g1,g2,g3便是R[x]3的基.
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3.2 基变换与坐标变换 例3.6 已知线性空间R3中的向量α =(1,2,-1)T.试求α 在基
则α的坐标可以方便地用一个n维列向量(数组向量)表达出 来:
a1 a ∧ 2 . α= an
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显然,在取定的基ε1,ε2,,ε n之下, V中向量与其 ∧ 是相互唯一决定的.或者说,在取定基之下, V 坐标 α 中向量与数域V中上的n维列向量(数组向量)是一一对应 的. 例3.1 求数域F上的线性空间F2×2中向量
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ⅰ)V中向量α1, α2,, αs线性相关; ⅱ)有数域F中不全为零的数k1, k2,, ks ,使k1α1+k2α2 ++ ksαs =0;
k1α1+ k2 α2 ++ ks αs = 0, 这里,0=(0,0,,0)T;
ⅳ)数域F上的n维数组向量α1,α2 ,,α s 线性相关. 定理3.3说明:向量组与其相应的坐标组保持着线性相 关(线性无关)的一致性. 例3.5 对于线性空间R[x]3 ,证明 是一个基.
1 A= 2 2 3
在基
2 0 0 0 0 1 ε1 = , ε2 = 0 1 , ε3 = 1 0 0 0
下的坐标.
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解 因为
1 A = ε1 + 3ε2 + 2ε3, 2
1 ( ,3,2)T. 所以A在基ε1,ε2 ,ε 3下的坐标为 2 我们已经知道了在取定基之下,向量与坐标的一一对 应关系.下面的三个定理将进一步揭示这种对应关系的深 刻内涵. 定理3.1 在n维线性空间中,对于任一基,向量α为 定理 零向量的充分必要条件是α的坐标为(0,0,,0)T. 定理3.1的成立是明显的.它表明:向量与其坐标保持 着为零(或非零)的一致性.
∧
α = (2, 1 ,0,3) .
T
∧
请读者记住,基与坐标都是严格有序的概念. . 例3.2 线性空间R[x]3中的向量
f (x) = 2x x + 3
2
在基1,x, x2下的坐标为
(3 1 2)T. , ,
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一般地,线性空间R[x]n中向量
f (x) = an1xn1 + an2 xn2 ++ a1x + a0
线性代数
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教学目的: 教学目的:通过本节的教学使学生深刻理解向量空间 的基,向量的坐标的含义,正确理解一个线性空间两个基 之间的关系,一个向量在不同基下坐标的关系. 教学要求: 教学要求:教学中要清楚讲解坐标,过渡矩阵,基变 换公式,坐标变换公式.使学生正确理解其深刻内涵,培养 学生抽象思维能力和分析问题的能力.会求一个向量在某一 个基下的坐标;掌握坐标变换公式;熟练掌握验证一组向 量是线性空间基的方法,熟练求出线性空间一组基到另一 组基的过渡矩阵. 教学重点: 教学重点: 过渡矩阵,基变换公式,坐标变换公式. 线性空间中的向量组与其坐标向量组的关 教学难点: 教学难点: 系,正确理解他们有相同的线性相关性. 教学时间:2学时. 教学时间
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于是有
' x1 ' ' ' ' x2 α = (ε1, ε2 ,, εn ) ' xn ' x1 ' x2 . = (ε1, ε2 ,, εn ) A ' xn
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根据向量在取定基下坐标的唯一性,得
' x1 x1 ' x 2 = Ax2 . ' xn xn
(3)
或写成
' x1 x1 ' x x2 = A-1 2 . ' xn xn
(3)'
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(3)或(3)′叫做坐标变换公式.我们看到:从本质 坐标变换公式. 坐标变换公式 上说,是基变换决定了坐标变换.总结以上结果得到下面 定理. 定理3.4 设n维线性空间V中,向量α在基ε1,ε2,,ε n 定理 及ε'1,ε'2,,ε'n之下的坐标分别为( x1 , x2,, xn)T及( x1′,x2′, , x n′)T .如果两基间的变换公式如(2),则坐标变换公式为 (3)或(3)′. 例3.7 在线性空间R3中,求出由基
α = a1ε1 + a2ε2 ++ anεn.
称有序数组a1,a2 ,, an为向量α在基ε1,ε2,,εn下的坐标, ∧ 记为 α.
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如果借用矩阵乘法的形式,记
a1 a 2 , a1ε1 + a2ε2 ++ anεn = (ε1, ε2 ,, εn ) an
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∧
ⅲ)有数域F中不全为零的数k1, k2 ,, ks ,使
∧ ∧
∧ ∧ ∧
g1 =1+ x, g2 =1 x, g3 =1+ x + x
2
证明 已知1, x , x2是R[x]3的基,而g1,g2,g3在基 1, x , x2下的坐标为
1 1 1 ∧ ∧ ∧ 1 , g = 1 , g = 1. g1 = 2 3 0 0 1
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则A中第i列恰是向量ε'i在基ε1,ε2, ,ε n下的坐标. 显然,矩阵A是唯一确认的,并且是可逆的.为了今后应用 的方便,我们把(1)式形式地表达为
' ' (ε1' ,ε2 ,, εn ) = (ε1, ε2 ,,εn ) A.
(2)
通常把(2)式称为基变换公式 基变换公式,其中的n阶矩阵A称 基变换公式 为由基ε1,ε2,,εn到基ε'1,ε'2,,ε'n的过渡矩阵 过渡矩阵(或 过渡矩阵 称变换矩阵 变换矩阵). 变换矩阵 (2)式是我们约定的一种记法.它形式地沿用矩阵乘法 运算规则以及(数组)向量相等(即其各"分量"相等)的 规定.可以证明,这种形式乘法还具有如下的结合律:
解毕.
上例使我们看到,同一向量在不同基下的坐标通常是 不同的.下面,我们来一般地讨论这一关系. 设V是数域F上的n维线性空间. ε1,ε2,,εn及ε'1,ε'2,, ε'n 是V的两个基.并设 ' ε1 = a11ε1 + a21ε2 ++ an1εn , ' ε2 = a12ε1 + a22ε2 ++ an2εn , (1) ' εn = a1nε1 + a2nε2 ++ annεn , 若令 a11 a12 a1n a a22 a2n 21 , A= an1 an2 ann
2 0 α = 1 3
在基
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 = , E12 = 0 0 , E21 = 1 0 , E22 = 0 1 0 0 下的坐标.
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解 给出向量α在基E11,E12,E21,E22 之下的线性表示
α = 2E11 + 0E12 + (1)E21 + 3E22 ,
则得到α在这组基下的坐标
2 0 ∧ α = . 1 3
类似可知, F2×2中向量
a 11 β = a21 a 12 a22
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在基E11,E12,E21,E22下的坐标为
β = (a11, a12 , a21, a22 )T.
注意,如果基的排列次序变为E11, E21 , E12 ,E22 ,则例 3.1中向量α的坐标中各分量亦要相应的随之改变,而有
' ' ' x1ε1 + x2ε2 + x3ε3 = α,
Байду номын сангаас
即
4 0 0 1 x1 0 + x2 2 + x3 1 = 2 . 0 1 1 1
解这个方程组得
x 1 1 4 x = 3 . 2 x3 4
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在基
1 x, x2 , , xn1 ,
下的坐标为
(a0 , a1, a2 , , an1)T.
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例3.3 设V是集合{(a,0,b) a,b∈R}对于通常数组 向量加法与数乘运算下所成的实数域R上线性空间,求V 中向量α=(2,0,-3)在基ε1=(1,0,0), ε2=(0,0,1)下的坐标 ∧ ∧ α. 2 解 由 α = 2ε1 + (3)ε2 , 既知 α = . 3 例3.4 设V是二阶实对称矩阵全体的集合对于通常矩 阵加法与矩阵数乘运算所成的实数域R上的线性空间.求V 中向量