高中数学排列组合二项定理.

高中数学-排列组合二项定理

排列组合二项定理知识要点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理.

(1).加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有

N＝m1十m2十…十m n种不同的方法．

(2).乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…m n种不同的方法．

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．

答：从书架任取一本书，有11种不同的取法．

（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．

答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．

例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，

这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是

N=5X5X5=125．

答：可以组成125个三位数．

2. 可以有重复元素的排列.

从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共

m种）

有多少种不同放法？（解：n

二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数.

从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的

一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m

n A 表示.

⑷排列数公式： ),,()!

(!

)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=

+--=Λ

注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1

111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11

--=m n m n nA A 规定10

==n n n C C 2. 含有可重元素的排列问题.

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!

!...!!

21k n n n n n =

.

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个

数？其排列个数1!

3!3==n .

三、组合.

1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m

n m

m

m n m

n

-=+--==Λ ⑶两个公式：①;

m n n m

n C

C -= ②m n m n m n C C C

11+-=+

①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，

分二类，一类是含红球选法有1

m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元

素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C

1

-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余

n 个元素中取出m 个元素，所以共有

C m

n 种，依分类原理有m

n m n m n C C C

11+-=+.

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.