函数的凹凸性与洛比达法则在高考导数压轴题中的应用

函数的凹凸性与洛比达法则在高考导数压轴题中的应用

南昌外国语学校梁懿涛

导数题是高考数学压轴题中最赏见的形式，其涉及到函数的构造、不等式的解法、导数的运算、应用（极值与单调性）以及恒成立等诸多方面的内容，综合考察学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、运算能力、化归能力，以及函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想，对学生有极高的要求．而命题人由于教材内容的限制，给出的答案往往出人意料，显得太巧妙，太艰涩难懂，所以在高考有限的答题时间内，并不具有现实可操作性。如果利用函数的凹凸性与洛比达法则，则可以起化巧为拙，以拙胜巧之奇效！

先了解以下内容（限于篇幅，不作阐述与证明）：

定义1．函数()f x 的导数的导数(如果可导)叫做函数()f x 的二阶导数,记作y ''、()f x ''．类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数．一般地,，(n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''、(4)y ⋅⋅⋅，()n y ．

定义2．定义在区间I 的函数()f x ，对I 上中任意的1x 、2x 12x x ≠和任意的(0,1)λ∈，若都有

12[(1)]f x x λ+-<12()(1)()f x f x λ+-，则称()f x 是I 上的凹函数；若都有12[(1)]f x x λ+->

12()(1)()f x f x λ+-，则称()f x 是I 上的凸函数．如2x y =是凹函数，2log y x =是凸函数．

定理1．如果函数()f x 在区间I 上二阶可导，则()f x 在区间I 上是凹函数的充要条件是()0f x ''≥；()f x 在区间I 上是凸函数的充要条件是()0f x ''≤．

定理2．若函数()f x 和()g x 满足：（i ）00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==（或∞）；（ii ）在点0x 的空心邻域00()u x 内两者可导，且()0g x '≠；（iii ）0()lim ()x x f x A g x →'='（A 可以是实数，也可以是±∞），则0()lim ()x x f x g x →=0()lim ()

x x f x A g x →'='．这种以导数为工具研究不定式（00或∞∞

型）的极限的方法，称为洛比达法则．再用以上定理解下列高考压轴题：例1．（2011年高考全国数学新课标卷（理）21）已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()x k f x >

+-，求k 的取值范围．解：（Ⅰ）1a =，1b =．ln 1()1x f x x x =++．（过程略）（Ⅱ）因为当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，所以22ln 11

x x k x <--对0,1x x >≠恒成立．令22ln ()11x x x x ϕ=--，2222ln (1)1()2(1)

x x x x x ϕ++-'=-，令22()ln (1)1,(0,)h x x x x x =++-∈+∞，1()2ln h x x x x x '=-+，21()12ln h x x x ''=-+，322()0h x x x

'''=+>，所以()h x ''在(0,)+∞内单调递增，因为(1)0h ''=，所以(0,1)x ∈时，()0h x ''<，()h x '单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增，所以()(1)0h x h ''≥=，从而()h x 在(0,)+∞内单调递增，因为(1)0h =，所以(0,1)x ∈时，()0h x <，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x >，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增．因为22222111112ln 12ln (12ln )22ln 2lim ()lim(1)lim lim lim 011(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ→→→→→'------=-===='---，从而()0x ϕ>，从而所求0k ≤．

例2．（2010年高考全国数学大纲卷（理）22）设函数()1x f x e

-=-．（Ⅰ）证明：当x >-1时，()1

x f x x ≥+；

（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤

+，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）证明略；

（Ⅱ）（i ）当0x =时，0001

a ≤⋅+，a R ∈．（ii ）当0x >时，()010f x e >-=，10ax ∴+>恒成立，0a ∴≥，

从而0x >时，()1x f x ax ≤+11x x ax e -⇔+≤-对0x >恒成立(1)11

x x a x e ⇔-+≤-对0x >恒成立，考虑函数()1x x g x e =-，2(1)1()(1)

x x x e g x e -+'=--，令()(1)1x x x e ϕ=-+，()0x x xe ϕ'=>，()x ϕ在(0,)+∞单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，()0g x '∴<，即()g x 在(0,)+∞单调递减．3[(2)2]()(1)

x x x e x e x g x e -++''=-，令()(2)2x x x e x φ=-++，()(1)1x x x e φ'=-+，()0x x xe φ''=>，()x φ'在(0,)+∞单调递增，()(0)0x φφ''>=，()x φ在(0,)+∞单调递增，()(0)0x φφ>=，()0g x ''>，所以()g x 在

(0,)+∞上是凹函数．又0000()1lim ()lim lim lim 11(1)x x x x x x x x x g x e e e

→→→→'===='--，所以如图所示，

()g x 在(0,)+∞内的图像是一条单调递减且凹的曲线．因为直线:(1)1

y a x =-+ 过定点(0,1)，由题意知直线 恒在曲线()g x 的下方。所以只需直线 的斜率小于或等于

曲线()g x 在0x =处的切线的斜率(0)g '．

220000(1)1[(1)1]1()(0)lim lim lim lim (1)[(1)]2(1)2(1)x x x x x x x x x x x e x e x x g e e e e →→→→''-+-+'=-=-=-=-''

----0111lim 22x x e →=-=-，112a -≤-，102a <≤．综合（i ）（ii ），知102

a ≤≤．最后需要指出，函数的凹凸性与洛比达法则的运用，虽有超越高中教材之嫌，但历来高考题的命制，就是本着立足于教材，但不拘泥教材，更高于教材的原则，更何况肩负着为重点大学挑选优质生源重任的压轴题呢？同样，对高考压轴题的解法的研究，也要解放思路，挣脱现成解题方法的约束。而且对部分优秀学生来说，在高三二轮或二轮复习以后，补充这部分内容，既不会打乱高三数学复习计划，也不会增加他们的学习负担，只会起到锦上添花的效果，为他们升入重点大学打下一定的基础．