求解积分因子的方法整理

求解积分因子的方法整理

一、恰当微分方程与积分因子

1、对于一阶微分方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 （1） 其左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分，即 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)

则称方程（1）为恰当微分方程。容易得到方程（1）的通解为u(x,y)=c (这里的c 为任意常数)。可是若（1）不是恰当微分方程，如果存在连续可微的函数

u=u(x,y) ≠0,使得

u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=0为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程（1）的积分因子。

2、恰当微分方程的判定 对于一阶微分方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 它为恰当微分方程的必要条件为： 二、几种常见的积分因子的类型及求法

1、存在只与x 有关的积分因子 （1）充要条件：

()M N y

x

x N

ψ∂∂∂∂-= （2）形式：u=()x dx e ψ⎰ 2、存在只与y 有关的积分因子

（1）充要条件：()M N y

x

y M

ϕ∂∂∂∂-=-

（2）形式：()y dy e ϕ⎰

这里的

().()x y ψϕ分别是只关于x 、y 的函数。

3、方程（1）有形如u(x,y)=F(x,y)的积分因子，充要条件：

4、方程（1）有形如u[p(x)+f(x)g(y)+q(y)]的积分因子，充要条件：

它的积分因子为：

5、方程（1）有形如u[f(x)g(y)+q(y)]的积分因子，充要条件：

它的积分因子为：

6、方程（1）有形如的积分因子，充要条件：

其中

7、方程（1）有形如的积分因子，充要条件：

它的积分因子为：

8、方程有形如的积分因子，充要条件：

它的积分因子为：

其中这里的

结束语：

对于一阶微分方程，不同的形式有不同的积分因子，积分银子一般不会太容易求得，很多时候需要根据方程的特点进行判断，以上的一些情况是参考了一些文献后，整理而得到的一些特殊情况，对求解一些特殊方程有很大的帮助。

参考文献：

1、新丽、王建新 .一类积分因子存在的充要条件.科学与技术工程.第11卷.第16期.2011.6

2、星海等.三类复合型积分因子的充要条件及其应用.师学院学报.第32卷.第2期.2010.4

3、高正晖.一阶微分方程三类积分因子的计算.师学院学报.2002