反比例函数常见面积问题(带答案)

反比例函数常见面积问题

例1. 如图3，反比例函数x 8y -=与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。

（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求AOB ∆的面积。

例2. 如图4，x y =和)0m (mx y >=的图象与)0k (x k y >=的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为21、S S ，则1S 与2S 的关系为？

例3.如图5，已知反比例函数x 12y =的图象和一次函数7kx y -=的图象都经过点P （m ，2）。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2，求a 的值。

例4.如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数y ＝x k

（x ＞0）的图象经过点B ．

（1）求k 的值；（2）将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、NA ′BC ．设

线段MC ′、NA ′分别与函数y ＝x k

（x ＞0）的图象交于点E 、F ，求

线段EF 所在直线的解析式．

例 5.如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则 ? ．

连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点

∴

而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2

例6.直线y=6x, y=2/3x分别与双曲线y=k/x在第一象限内交于AB两点若S△oab=8则k= ？

直线L与反比例函数Y=2/X的图像在第一象限内交与AB两点交x轴的正半轴与点C，若AB：BC=(M-1)：1(M>1) S△AOB=?

例7.如图，点A是反比例函数y=-2/x,在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=4/x在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是．

分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE求解．

解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，

∵AC=CB，∴OD=OE，

设A（-a，2 /a ），则B（a，4 /a ），

故S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE

=1 /2 （2/a +4 /a ）×2a-1/ 2 a×2/ a -1/ 2 a×4/ a

=3，

故答案为：3．

例8.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=k/x（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=．？

分别过点A、E作AM、EN垂直于x轴于M、N，

则AM∥EN，∵A、E在双曲线上，∴三角形AOM与三角形OEN的面积相等，

∵四边形AOBC是平行四边形，∴AE=BE，∵AM∥EN，∴MN=NB，

∴EN=1 /2 AM，∴OM=1/ 2 ON，根据三角形的中位线，可得MN=BN，

∴OM=MN=BN，

设A（x，y），由平行四边形的面积=OB×AM=18，∴3x×y=18，xy=6，即k=6；

例9.梯形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y＝k /x （k＞0）经过A、E两点，若AC：OB=1：3，梯形AOBC面积为24，则k=（）

设△ACE的面积为S，则可得出△BOE的面积为9S，△AOE的面积为3S，△CEB的面积为3S，从而求出S，也可得出△OEB的面积，过点E作EF⊥OB，过点A作AM⊥OB于点M，设△OAM的面积为a，则△OEF的面积也为a，利用△BEF∽△BAM可得出a的值，则可得出△OEF的面积，也即可得出k的值．

解：过点E作EF⊥OB于点F，过点A作AM⊥OB于点M，

∵四边形AOBC是梯形，AC∥OB，AC：OB=1：3，∴CE：EO=1：3，AE：EB=1：3，

设△ACE的面积为S，则可得出△BOE的面积为9S，△AOE的面积为3S，△CEB的面积为3S，

又∵梯形AOBC面积为24，∴S+9S+3S+3S=24，解得：S=3/ 2 ，

设△OAM的面积为a，则△OEF的面积也为a，

故可得△AMB的面积=18-a，△EFB的面积=27/ 2 -a，

从而可得S△BEF /S△ABM =（BE /AB ）2，即(27/ 2 −a) /(18−a) =9/ 16 ，

解得：a=54 /7 ，即S△AOM=S△OEF=54 /7 ，

故可得k=2×54 /7 =108 /7 ．

例10.如图，已知动点A在函数y=4／x (x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于？

要求部分面积，得根据已知条件求出A的坐标。两块三角形都是等腰直角三角形，就是以A的横、纵坐标为直角边的两个等腰直角三角形。设A(m，n)，则D(m+n，n)，E(m，m+n)，∵A在双曲线Y=4/X上，∴mn=4，可得直线PQ解析式：Y=-m/nX+(m^2+mn+n^2)/n，令Y=0得，X=(m^2+mn+n^2)/m，OP=(m^2+mn+n^2)/m,过D作DM⊥X轴于M，则OB/PM=QE/DP=4/9，OM=OP-OM=(m^2+mn+n^2)/m-(m+n)=n^2/m∴m/n^2/m=4/9，(m/n)^2=4/9，m=2/3n，∴2/3n^2=4，n^2=6，m^2=16/n^2=8/3

S阴影=1/2m^2+1/2n^2=1/2(6+8/3)=13/3。

例11.在反比例函数y=10/x(x大于0）的图像上，有一系列点A1A2A3...An,A (n+1),若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过电A1A2A3...An,A(n+1)做x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到有依次记为S1,S2,S3...Sn,则S1=?, S1+S2+S3+...+Sn=?

解：∵点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数y=10/ x （x＞0）的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1的横坐标为2，

∴A1（2，5），A2（4，5 /2 ）∴S1=2×（5-5 /2 ）=5；

由题图象知，An（2n，10 /2n ），An+1（2n+2，10/( 2n+2）），∴S2=2×（10 /4 −10 /6 ）=5 /3 ，

∴图中阴影部分的面积知：Sn=2×（10/ 2n −10/ 2n+2 ）=10/ n(n+1) ，（n=1，2，3，…）∵1 /n(n+1) =1 /n −1 /(n+1 )，

∴S1+S2+S3+…+Sn=10（1 /2 +1 /6 +…+1/ n(n+1) ）=10（1−1 /2 +1 /2 −1 /3 +…1/ n −1 /n+1 ）=10n/ n+1 ．故答案为：10n /n+1 ．

例12.如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y=8 /x （x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为？

分析：先根据反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值得到S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=1 /2 k=4，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．解答：解：根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=1/ 2 k=4∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥轴设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3则s1=1 /2 k=4，∵OA1=A1A2=A2A3，∴s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9∴图中阴影部分的面积分别是s1=4，s2=1，s3=4 /9 ∴图中阴影部分的面积之和=4+1+4 /9 =49 /9 ．