蝴蝶定理

第33讲 蝴蝶定理
精讲摘要
风华绝代之蝴蝶定理
1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：
蝴蝶定理：设M 是⨀O 中弦AB 的中点，过M 点的两条弦CD ，EF ，连结DE ，CF 交AB 于P 、Q 两点，则M 是线段PQ 的中点. 这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.
此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下： 证明：如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设OM =b ．则⨀O 的方程可写成： x 2+y 2–2by +f =0. ①
设直线CD ，EF 的方程分别为y =k 1x ，y =k 2x ， 合并为:(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ②
于是过①②的交点C ，F ．D ，E 的二次曲线系为：x 2+ y 2–2by +f +λ(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ③ 曲线③与AB 的交点P ，Q 的横坐标满足(令y =0)(1+λk 1k 2)x 2+f =0．由韦达定理x p +x q =0， 即MP +(–MQ )=0，∴ MP =MQ ．
若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的．现以椭圆为例给出证明．
如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2=0.
直线CD 的方程为y =k 1x ，直线EF 的方程为y =k 2x ，则过点C ，F ，D ，E 的二次曲线系为
b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2+λ(y – k 1x )( y – k 2x )=0，
令y =0，得(b 2–λk 1k 2)x 2+a 2h 2–b 2a 2=0．由韦达定理x p +x q =0，即MP = MQ ．命题得证．
类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.
若在蝴蝶定理的条件中把中点M 改为AB 上任一点，结论是：
=
④ (证明略)
这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA =MB 时．MP =MQ ．
A
B
F D Q
M
P C
E
A B
F
D
Q
M P
E
O
C
x y
A
B F
D Q M
P
E
O
C
x
y
A B
D
F
P M Q C
E
x
y
④式成立的条件是AB 是⨀O 的弦，M 是AB 上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立．
=
.
蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：
=
(点M 也可以是AB 延长线上的点)．
A P
M
Q B
D
E
x
y 图1
F
C
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有|MP |=|MQ |.
另一种证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，
设A (0，t )，B (0，–t )，知t ，–t 是Cy 2+Ey +F =0的两个根，所以E =0. 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.
若CD ，EF 斜率都存在，设C (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 1x 2)，E (x 3，k 2x 3)，F (x 4，k 2x 4)，P (0，p )，Q (0，q )，CE :y =
(x –x 1)+ k 1x 1，p =
(0–x 1)+ k 1x 1=
，
同理q =，所以p +q =
将y =k 1x 代入(*)得(A +Bk 1+Ck )x 2+(D +Ek 1)x +F =0，又E =0. 得x 1+x 2=, x 1x 2=，
同理 x 3+x 4=
, x 3x 4=
，所以p +q =0，即|MP |=|MQ |.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有| MP |=| MQ |.
证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为Ax 2
+Bxy +Cy 2
+Dx +Ey +F =0 (*)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线MA 的方程是
x 1+
y 1+F =0，切线MB 的方程是x 1+
y 2+F =0，得E (y 1–y 2)=0，所以E =0.（下面与定理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.
A
C
P
M Q B
D E
l
x
y 图5
F 调研精讲
答案 （I ）e =22
a b a
-；（II ）见解析 (Ⅲ)见解析．
解析 （I ）椭圆方程为22x a +2
2
()y r b -=1焦点坐标为F 1(22a b --，r )，F 2(22a b -，r )， 离心率e =22
a b a
-.
（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程y =k 1x 代入椭圆方程， 得b 2x 2+a 2(k 1x – r )2 =a 2b 2，
整理得：(b 2+a 2k 21)x 2– 2k 1a 2rx (a 2r 2– a 2b 2)=0．
根据韦达定理，得：x 1+x 2=212221
2k a r
b a k +，x 1∙x 2=22222221a r a b b a k -+，
所以1212x x x x +=22
12r b k r
- ①
将直线GH 的方程y =k 2x 代入椭圆方程，同理可得3434x x x x +=22
22r b k r
- ② (韦达定理真的“很伟大”)
由①，②得：
112
12k x x x x +=222r b r -=23434
k x x x x +，所以结论成立.
（Ⅲ）证明：设点P (p ，0)，点Q (q ，0)，由C 、P 、H 共线，得：12x p x p --=11
22
k x k x ， 解得p =
1212
1122
()k k x x k x k x --.
由D 、Q 、G 共线，同理可得：q =1223
1223
()k k x x k x k x --.
由
11212k x x x x +=23434k x x x x +，变形得231223x x k x k x --=14
1124
x x k x k x - 【 调研1】如图，椭圆的长轴A 1A 2(=2a )与x 轴平行，短轴B 1B 2(=2b )在y 轴上，中心为M (0，r )(b >r >0)
(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (Ⅱ)直线y =k 1x 交椭圆于两点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(y 2>0)； 直线y =k 2x 交椭圆于两点G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)(y 4>0). 求证：
=
；
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)
A 1
B 1
H
G
Q
M
P D O C
x
y A 2
B 2
即12231223()k k x x k x k x --
-=1214
1124
()k k x x k x k x --，
所以| p |=| q |，即| OP |=| OQ |.
答案 （1）2
4
x +y 2=1；(2，1)；（2）见解析．
解析 （1）由已知，a =2b ．又椭圆
22x a +22y b =1(a >b >0)过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故234b
+21
4b =1，解得b 2=1. 所以椭圆E 的方程24x +y 2=1. （2）设直线l 的方程为y =1
2
x +m (m ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由方程组2
21412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，得x 2+2mx +2m 2 – 2=0 ① 方程①的判别式为∆=4(2 – m 2)， 由∆>0，即2 – m 2>0，解得m 由①得x 1+x 2= –2m ，x 1x 2=2m 2 – 2．
所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，直线OM 方程为y =1
2
-x ，
由方程组2
214
12x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭
． 所以|MC |∙|MD |=
25)(2)4
m m m -=-． |MA |∙|MB | =14
|AB |2=
14
221212()()x x y y ⎡⎤-+-⎣⎦=212125
()416x x x x ⎡⎤+-⎣⎦ 【调研2】已知椭圆E : +
=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶
点，点
在椭圆E 上．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，
直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．
=
22544(22)16m m ⎡⎤--⎣⎦=25(2)4
m -. 所以|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．
答案 （I ）
26x +23y =1；(2，1)；（II ）λ=4
5
． 解析 （Ⅰ）设短轴一端点为C (0，b )，左右焦点分别为F 1(–c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0， 则c 2+b 2=a 2；由题意，△F 1F 2C 为直角三角形， ∴ |F 1F 2|2=|F 1C |2+|F 2C |2，解得b =c =
2
a ，∴椭圆E 的方程为222x
b +22y b =1；
代入直线l ：y = – x +3，可得3x 2–12x +18–2b 2=0，
又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122 – 4×3(18 – 2b 2)=0，解得b 2=3，
∴椭圆E 的方程为26x +2
3
y =1；
由b 2=3，解得x =2，则y = – x +3=1，所以点T 的坐标为(2，1)； （Ⅱ）设P (x 0，3 – x 0)在直线l 上，由k OT =1
2
，直线l ′平行OT ， 得直线l ′的参数方程为0023x x t
y x t =+⎧⎨
=-+⎩
，
代入椭圆E 中，得：(x 0+2t )2+2(3 – x 0+t )2=6，
整理得2t 2+4t +x 2
0– 4x 0+4=0；
设两根为t A ，t B ，由韦达定理，则有t A ∙t B =20(2)2
x -；
而|PT |22=2(x 0–2)2， |P A A |， |PB B |， 且|PT |2=λ|P A |∙|PB |，
【 调研3】已知椭圆E :
+
=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个
顶点，直线l ：y = – x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于
点P ．证明：存在常数λ，使得|PT |2=λ|P A |∙|PB |，并求λ的值．
∴λ=
2||||||PT PA PB ⋅=20202(1)5(1)2
x x --=4
5
，即存在满足题意的λ值．
答案 （1）24x +22y =1；（2）（ii ）6
2
．
解析 （1）由题意得222
24222a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2
22a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，所以椭圆的方程为24x +2
2y =1．
（2）（i ）设N (x N ，0)，P (x P ，y P )，直线P A ：y =kx +m ， 因为点N 为直线P A 与x 轴的交点，所以x N =m k
-， 因为点M (0，m )为线段PN 的中点，所以2N P x x +=0，02
P
y +=m ， 得x P =
m
k
，y P =2m ， 所以点Q ,2m m k
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，所以k '=
()20m m m k
---= –3k ，故'
k k = –3为定值． （ii ）直线P A ：y =kx +m ，与椭圆方程联立2214
2y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2– 4=0，
所以∆=16k 2m 2– 4(2k 2+1)(2m 2– 4)=32k 2 – 8m 2+16>0 ① x 1+x 2=2
421kmx k -+，y 1+y 2=2221
m
k +， 所以A 222
264(21)21k m m k m k k k ⎛⎫
+--
⎪++⎝⎭
，， 直线QM : y = –3kx +m 与椭圆方程联立22314
2y kx m
x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
【调研4】已知椭圆C :+=1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线 交C 于另一点Q ，延长Q 交C 于点B ．
（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k '，证明为定值；
（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．
A
Q
M
P
O
N
x
y B
得(18k 2+1) x 2– 12kmx +2m 2– 4=0，所以x 1+x 2=
2
12181km k +，y 1+y 2=22181
m
k +， 所以B ()()2222
4916,181181m k k m m k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭
，k AB =B A B A y y x x --=2614k k +=32k +1
4k ， 因为点P 在椭圆上，所以2
24
m k +242m =1，得m 2=22481k k + ②
将②代入①得(4k 2+1)2>0恒成立， 所以k 2≥0，所以k ≥0，所以k AB =3
2
k +1
4k
≥
(当且仅当k
时取“=”)，
所以当k
时，k AB
． 分析：该题中的椭圆C 的方程易知为24x +2
2
y =1；第(Ⅱ)小题中由已知|AP | ∙ |QB | =|AQ | ∙ |PB |，
即
||||AP PB =||
||
AQ QB ，说明Q 点在极点P 关于椭圆C 对应的极线上，其方程为44x +2y =1，即x +2y =1．
答案 （1）
24x +2
2
y =1；（2）见解析； 解析 (1)由题意：
2222222211⎧=⎪
⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c a
b c a b
，解得a 2=4，b 2
=2，所求椭圆方程为24x +22y =1.
(2)方法一:
设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，记λ=
||||AP PB =||
||
AQ QB ，则λ>0且λ≠1. 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP = – λPB ，AQ =λQB ， 于是 4=
121λλ--x x ，1=121λλ--y y ，x =121λλ++x x ，y =12
1λλ
++y y . 从而 222
12
2
1λλ--x x =4x ① 2221221λλ--y y =y ②
【 调研5】设椭圆C :+=1(a >b >0)过点M (，1)，且左焦点为F 1(
，0)，
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点P (4，1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|
| ∙ |
| =|
| ∙ |
|，证明：点Q 总在某定直线上.
又点A 、B 在椭圆C 上，即 x 21+2y 21=4 ③
x 22+2y 2
2=4 ④
①+②×2并结合③，④得4s +2y =4 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上 方法二:
设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且
||||PA AQ =||
||
PB QB . 又P ，A ，Q ，B 四点共线，可设PA =λAQ ，PB =λBQ (λ≠0，±1)，于是
x 1=41λλ--x ，y 1=11λλ--y
① x 2=
41λλ++x ，y 2=11λλ
++y
② 由于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，
将①，②分别代入C 的方程x 2+2y 2
=4，整理得
(x 2+2y 2– 4)λ2 – 4(2x +y –2)λ+14=0 ③ (x 2+2y 2– 4)λ2 + 4(2x +y –2)λ+14=0 ④
④–③得 8(2x +y –2)λ=0
∵ λ≠0，∴2x +y –2=0 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上. A N
M
T
O
F x
y
B
蝴蝶定理的推广 1．椭圆
+
=1(a >b >0)的左右顶点为A ，B ，T 为定直线
x =t (t ≠0)上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点C (
，0)．
2．如图，过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 和形内定点(x 0，y 0)的直线交曲线于A ，B ，T 为定直线l ：mx 0x +ny 0y =1上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点(x 0，y 0)．
证明：连结MN 交AB 于点C ，过点C 作l 的平行线交圆锥曲线于点P ，Q ，又设直线AB 交l 于点D ．
先证点C 为PQ 的中点．设C (x C ，y C )，因C 在过点(x 0，y 0)的直线上，所以可设x C =tx 0，y C =ty 0，由于直线PQ 与直线l ：mx 0x +ny 0y =1平行，且过点C (tx 0，ty 0)，故直线PQ 方
A
N
M T O
F x
y
B
D
l P
Q C
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程为mx 0x +ny 0y =t (mx +ny )，联立mx 2+ny 2=1得
m (mx +ny )x 2– 2mx 0t (mx +ny )x +t 2(mx +ny )2–ny =0，
由根与系数关系得x P + x Q =2tx 0=2x C ，据此知C 即PQ 的中点. 由圆锥曲线的蝴蝶定理知| CE | = | CF |，因此==
=
，
即
=
，注意到x A = –x B 化简得x C =
.
另一方面，将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 2+ny 2=1得(mx +ny )x 2– x =0
∴x A x B =，即x =；
将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 0x +ny 0y =1得x D =
，因此可得x C =
=x 0，
又C (x C ，y C )在直线x 0y –y 0x =0上，∴ y C =y 0，故直线MN 恒过定点(x 0，y 0)． 值得说明的是，对于抛物线也有类似的结论，证明方法类似，读者不妨自行研究． 蝴蝶定理推论性质1： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线
±
=1的弦CD ，EF 是其焦点轴，
则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.
特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.
证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与FD 交直线AB 于P ，Q ，则|MP |=|MQ |.
过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得=
==，
设M (m ，0)，H (n ，0)，焦点轴长为2a ，则有=
，得mn =a 2.
A C O
P M
Q B
D E l
H
x
y 图3
G F 蝴蝶定理推论性质2：
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.
性质2：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：x = –m 上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.
蝴蝶定理推论性质3：
直线l ：x =
，过点M (m ，0)作椭圆、双曲线
±=1的
弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则
=
.
证明：如图，由定理1，定理2及性质1得：
.
A C O
P M Q B
D E l I
x
y
G F 蝴蝶定理推论性质4： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线
±
=1的弦CD 、EF ，则
直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =
上.
证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：=
=
=
，由性质3
得，点I 在直线l ：x =上，所以点G 在直线l ：x =
上.
A C O
P M Q B
D
E l
H x y
图5
G F
蝴蝶定理推论性质5：
直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=. 蝴蝶定理推论性质6：
过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x = –m 上.
O
F
G
M
D
E
x
y
图6
l
C 蝴蝶定理推论性质7： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线
±
=1的弦CD ，则以C ，
D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ：x =
上.
证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM
交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与G 重合， G 在直线l 上.
蝴蝶定理推论性质8：
过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： x = – m 上. O
P
G M D
E
x
y
l C
Q
蝴蝶定理推论性质9：
直线l ：x =
，过点M (m ，0)做椭圆、双曲线
±
=1
的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为E 、G ，在焦点轴所在直线上的射影为Q 、P ，则
=
.
蝴蝶定理推论性质10：
直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则=.
蝴蝶定理推论性质12：
在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则
=
.
【 调研6】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆
+
=1的左、右顶点为A 、B ，右
焦点为F ．设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0．
（1）设动点P 满足PF 2–PB 2=4，求点P 的轨迹；
（2）设x 1=2，x 2=，求点T 的坐标；
（3）设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．
A
N
M
T
O
F x
y
B
蝴蝶定理推论性质11：
在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则
=
.
证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，由定理1得：|MP |=|MQ |， 所以=
=
=
.
A P
M Q B
D
E
图8
F
C
G
I
答案 (1)x =92；(2)T (7，
10
3
) (3) 见解析． 解析 （1）设点P (x ，y )，则F (2，0)、B (3，0)、A (–3，0)． 由PF 2–PB 2=4，得(x –2)2+y 2–[(x –3)2+y 2]=4，化简得x =92
． 故所求点P 的轨迹为直线x =92
．
（2）将x 1=2，x 2=1
3
分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M (2，53
)、N (13
，209
-) 直线MTA 方程为：
0503
--y =3
23++x ，即y =13x +1， 直线NTB 方程为：
200
9---y =3133--x ，即y =56x –52． 联立方程组，解得：7103=⎧⎪
⎨=⎪⎩
x y ，
所以点T 的坐标为(7，
10
3
)． （3）设点T 的坐标为(9，m ) 直线MTA 方程为：00--y m =393++x ，即y =12m
(x +3)， 直线NTB 方程为：
00--y m =393--x ，即y =6
m
(x –3)． 分别与椭圆29x +2
5y =1联立方程组，同时考虑到x 1≠ –3，x 2≠3，
解得：M 2223(80)40(,)8080-++m m m m 、N 22
2
3(20)20(,)2020--++m m
m m ． （方法一）当x 1≠x 2时，
直线MN 方程为：2
22202040208020+++++m y m m m m m =22
22
22
3(20)
203(80)3(20)8020--+---++m x m m m m m . 令y =0，解得：x =1．此时必过点D (1，0)；
当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x =1，与x 轴交点为D (1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1，0)． (方法二)若x 1=x 2，则由
22240380-+m m =22
360
20-+m m 及m >0，得m
此时直线MN 的方程为x =1，过点D (1，0)．
若x 1≠x 2，则m ≠
，直线MD 的斜率k MD =222
408024031
80+--+m
m m m =2
1040-m
m ，
直线ND 的斜率k ND =222
20203601
20-+--+m
m m m =2
1040-m m ，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点． 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1，0)．
【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力
1．设过抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2=8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线
y 2=8px (p >0)的另一个交点为Q ，则
ABQ ABO
S S ∆∆=________.
解析：设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0)，联立得2
2y kx y px
=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 2
22,p p k
k ⎛⎫
⎪⎝⎭， 联立得2
8y kx y px
=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得Q 2
88,p p k k ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴|OP |=，|PQ ， ∴
ABQ ABO
S S ∆∆=
||
||
PQ OP =3.
2．已知椭圆
2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为1
2
，右准线方程为x =4．如图所示，椭圆C 左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线交椭圆C 于M ，N ，直线AM ，MB 交于点P ．
精讲巩固
A
N
M P
O
F
x B
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点P (4，，直线AN ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，求1
2
k k ． (3)求证点P 在一条定直线上．
解析：(1) 椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，即c a =1
2
，右准线方程为x =4，即2a c =4．
解得：a =2，c =1，∵a 2= b 2+c 2，∴b 故椭圆的标准方程为：24x +2
3
y =1．
(2)点P (4，
)，A (–2，0)，故得直线AP 方程为y (x +2)，与椭圆方程24x +23
y =1联立，求
解点M 的坐标为(0
．
那么可得MN 直线程为y =l – 3x ，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点N 的坐标为(8
5
，．
那么AN 的斜率为k 1=BM 斜率为k 2=，则12k
k =13
. (3) 设斜率存在的MN 的直线方程为y =k (x – l)， 利用设而不求的思想，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
与椭圆方程24x +2
3
y =1联立，可得：(4k 2+3) x 2 – 8k 2x +4k 2 – 12=0，
那么：x 1+x 2=
22843k k + ①， x 1x 2
=22412
43
k k -+ ② 由A ，M 的坐标可得直线AM 的方程为y =1
12
y y +(x +2) 由B ，N 的坐标可得直线BN 的方程为y =2
22
y y +(x –2) 直线AM 与直线BN 联立，可得：x =21212
122334
x x x x x x -++-
∴ x =2
12122
122
23()442x x x x x x x x -+++-+ ③
将①②代入③解得：x =4． 故点P 存在直线x =4上．
当k 不存在时，经验证，点P 在直线x =4上满足题意.
3．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1． (1)当直线BD 过点(0，1)时，求直线AC 的方程； (2)当∠ABC =60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．
解析：(1)由题意，得直线BD 的方程为y =x +1，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．
于是可设直线AC 的方程为y =–x +n ． 由2234
x y y x n
⎧+=⎪⎨
=-+⎪⎩，得4x 2– 6nx +3n 2– 4=0．
因为A ，C 在椭圆上，所以∆= –12n 2+64＞0
，解得<n
. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1+x 2=32
n
，x 1x 2=2344n -，y 1= –x 1+n ，y 2= –x 2+n .
所以y 1+y 2=2n .所以AC 的中点坐标为(34n ，4
n ). 由四边形ABCD 为菱形可知，点(34n ，4
n
)在直线y =x +1上， 所以4
n
=
34
n
+1，解得n = – 2． 所以直线AC 的方程为y = – x – 2，即x +y +2=0． (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°， 所以|AB |=|BC |=|CA |．所以菱形ABCD 的面积S
|AC |2. 由(1)可得|AC |2
=(x 1 – x 2)2
+(y 1 – y 2)2
=23162n -+，所以S
–3n 2
+16) (<n
)．
所以当n =0时，菱形ABCD
的面积取得最大值
4．已知椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为1
2
，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与
直线x – y
相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A 、B ，过F 与直线l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C 、D ．与直线l 3：x =4交于P ；
①求证：直线P A 、PF 、PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；
②是否存在常数λ使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
解析：∵椭圆C ：
22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，∴e =c a =12
， A
F
C
P
O x
y
B
D
F
∵ 椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线x – y
相切，b
，则a 2= b 2+c 2=4． 故椭圆C 的方程为：24x +2
3
y =1．
(2)①证明：∵椭圆24x +2
3
y =1的左焦点F (1，0)，
当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =l ，联立直线方程和椭圆方程可得：A (1，32
)，B (1，32
-)，此时k P A 与k PB 互为相反数，则k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；
当直线AB 的斜率存在时，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0， CD 的直线程为：y =1
k
-(x –1)，
由方程组22
(1)
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=
22834k k +，x 1x 2
=22
412
34k k -+. 由直线CD 的方程中，取x =4，的y =3
k
-，∴P (4，3k
-)，
则k P A +k PB =1134y k x ---+2234y k x ---=12211233()(4)()(4)(4)(4)y x y x k k x x ---+-----=1212
1212243(5)()82164()k x x k kx x k k x x x x -+-+++-++
=22222222
2438412(5)82343484121643434k k k k k k k k k k k k k
--+-⋅++⋅++--⋅+++=2
72
7236(1)
k k k -+=2k -=2k PF . 综上，k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；
② ∵椭圆24x +2
3
y =1的左焦点F (1，0)，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0，
由方程组22
(1)
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +， x 1x 2
=22
412
34k k -+. 由弦长公式得|AB
22
12(1)
34k k ++. 同理设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD | =221
12(1)134k k
+
+⋅=2212(1)34k k ++.
∵ |AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |，∴λ=||||||||AB CD AB CD +⋅=1||AB +1||CD =223412(1)k k +++223412(1)k k ++=227(1)
12(1)k k ++=712
.
∴存在常数λ=
7
12
，使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立. 5．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C :
22x a +2
2
y b =1 (a >b >0)左、右顶点分别为A 、B ，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设Q (t ，m )是直线x =9上的点，直线QA 、QB 与椭圆C 分别交于点M 、N ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
代入椭圆方程，得(80+m 2) x 2+6x +9m 2 – 720=0 代入椭圆方程，得(20+m 2) x 2– 6x +9m 2–180=0
①若x 1=MN 方程为x =1，与x 轴交点为(1，0)． ②若m 2
≠40，直线MN 方程为y +22020m m +x A
N
M
Q
O
x
y
B
9
令y =0，解得：x =1．
综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．
6．如图，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中y 1>0，y 1y 2= – 4．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．
（1）求p 的值；
（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．
解析：（I ）易得直线AB 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2，
代入02
p
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
，得 y 1y 2= – p 2= – 4，所以p =2； （II ）点A (214y ，y 1)，B (2
24y ，y 2)，则H (–1，y 1)，直线PQ : y =12
y
-(x –1)，
代入y 2=4x ，得y 21x – (2y 21+16)+ y 21=0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则| PQ |= x 3+x 4+2=
212
14(4)
y y +. 设A ，B 到PQ 的距离分别为d 1，d 2，由PQ : y 1x +2y – y 1=0，得
d 1+d 2
32
1121121|2(2)|+--+-y y y y y y y
311221|(2)|+--+-y y y y y
3112|2|+-y y y
3114
|2|++y y
22
因此S APBQ =1
2
|PQ |∙( d 1+d 2
)=
1设函数f (x )=
25
6
(4)+x x (x >0)，则f '(x )=24274(4)(6)+-x x x ，
可得，当x ∈(0
时，f (x )单调递减；当x ∈
+∞)时，f (x )单调递增， 从而当y 1
S
．。