蝴蝶定理

第33讲 蝴蝶定理

精讲摘要

风华绝代之蝴蝶定理

1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：

蝴蝶定理：设M 是⨀O 中弦AB 的中点，过M 点的两条弦CD ，EF ，连结DE ，CF 交AB 于P 、Q 两点，则M 是线段PQ 的中点. 这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.

此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下： 证明：如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设OM =b ．则⨀O 的方程可写成： x 2+y 2–2by +f =0. ①

设直线CD ，EF 的方程分别为y =k 1x ，y =k 2x ， 合并为:(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ②

于是过①②的交点C ，F ．D ，E 的二次曲线系为：x 2+ y 2–2by +f +λ(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ③ 曲线③与AB 的交点P ，Q 的横坐标满足(令y =0)(1+λk 1k 2)x 2+f =0．由韦达定理x p +x q =0， 即MP +(–MQ )=0，∴ MP =MQ ．

若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的．现以椭圆为例给出证明．

如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2=0.

直线CD 的方程为y =k 1x ，直线EF 的方程为y =k 2x ，则过点C ，F ，D ，E 的二次曲线系为

b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2+λ(y – k 1x )( y – k 2x )=0，

令y =0，得(b 2–λk 1k 2)x 2+a 2h 2–b 2a 2=0．由韦达定理x p +x q =0，即MP = MQ ．命题得证．

类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.

若在蝴蝶定理的条件中把中点M 改为AB 上任一点，结论是：

=

④ (证明略)

这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA =MB 时．MP =MQ ．

A

B

F D Q

M

P C

E

A B

F

D

Q

M P

E

O

C

x y

A

B F

D Q M

P

E

O

C

x

y

A B

D

F

P M Q C

E

x

y

④式成立的条件是AB 是⨀O 的弦，M 是AB 上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立．

=

.

蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：

=

(点M 也可以是AB 延长线上的点)．

A P

M

Q B

D

E

x

y 图1

F

C

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有|MP |=|MQ |.

另一种证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，

设A (0，t )，B (0，–t )，知t ，–t 是Cy 2+Ey +F =0的两个根，所以E =0. 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.

若CD ，EF 斜率都存在，设C (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 1x 2)，E (x 3，k 2x 3)，F (x 4，k 2x 4)，P (0，p )，Q (0，q )，CE :y =

(x –x 1)+ k 1x 1，p =

(0–x 1)+ k 1x 1=

，

同理q =，所以p +q =

将y =k 1x 代入(*)得(A +Bk 1+Ck )x 2+(D +Ek 1)x +F =0，又E =0. 得x 1+x 2=, x 1x 2=，

同理 x 3+x 4=

, x 3x 4=

，所以p +q =0，即|MP |=|MQ |.

定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有| MP |=| MQ |.

证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为Ax 2

+Bxy +Cy 2

+Dx +Ey +F =0 (*)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线MA 的方程是

x 1+

y 1+F =0，切线MB 的方程是x 1+

y 2+F =0，得E (y 1–y 2)=0，所以E =0.（下面与定理1的证明相同，略）

特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.

A

C

P

M Q B

D E

l

x

y 图5

F 调研精讲

答案 （I ）e =22

a b a

-；（II ）见解析 (Ⅲ)见解析．

解析 （I ）椭圆方程为22x a +2

2

()y r b -=1焦点坐标为F 1(22a b --，r )，F 2(22a b -，r )， 离心率e =22

a b a

-.

（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程y =k 1x 代入椭圆方程， 得b 2x 2+a 2(k 1x – r )2 =a 2b 2，

整理得：(b 2+a 2k 21)x 2– 2k 1a 2rx (a 2r 2– a 2b 2)=0．

根据韦达定理，得：x 1+x 2=212221

2k a r

b a k +，x 1∙x 2=22222221a r a b b a k -+，

所以1212x x x x +=22

12r b k r

- ①

将直线GH 的方程y =k 2x 代入椭圆方程，同理可得3434x x x x +=22

22r b k r

- ② (韦达定理真的“很伟大”)

由①，②得：

112

12k x x x x +=222r b r -=23434

k x x x x +，所以结论成立.

（Ⅲ）证明：设点P (p ，0)，点Q (q ，0)，由C 、P 、H 共线，得：12x p x p --=11

22

k x k x ， 解得p =

1212

1122

()k k x x k x k x --.

由D 、Q 、G 共线，同理可得：q =1223

1223

()k k x x k x k x --.

由

11212k x x x x +=23434k x x x x +，变形得231223x x k x k x --=14

1124

x x k x k x - 【 调研1】如图，椭圆的长轴A 1A 2(=2a )与x 轴平行，短轴B 1B 2(=2b )在y 轴上，中心为M (0，r )(b >r >0)

(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (Ⅱ)直线y =k 1x 交椭圆于两点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(y 2>0)； 直线y =k 2x 交椭圆于两点G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)(y 4>0). 求证：

=

；

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)

A 1

B 1

H

G

Q

M

P D O C

x

y A 2

B 2