高考理科数学大题17题解法指导

高考理科数学大题17题解法指导
总述：
我们经常讲高考是有规律的。

的确，正是固定的题目模式给了我们研究高考的方向。

因此我们打算每个题每个题给同学们讲述，让同学们逐题突破。

这种固定的题目模式我们叫做——题型。

我们每个学科先给同学们考试题型的分布和具体分数设置，然后具体逐个突破。

高考数学试卷结构：
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
从以上我们可以看出：
试卷总体分三个部分，分选择题、填空题和解答题。

两道选考，二选一做答。

所以，想要获得自己理想分数，不是指望哪个题要拿满分，而是那一些题该拿多少分，不要因小失大。

有些同学总是以为只要自己不断练习就会获得130、140这样的高分，但是如果你的分数只有90、100这样，难免好高骛远了，所以在每一次考试明确自己那个该得分，
得多少分我们都应该明白，而在哪个分数或者说要达到哪个分数我们会给出一些参考。

【十进制标准】
所谓十进制标准，就是把自己的目标设置为在自己的原有的分数上再加10分。

比如你现在90分，那么你下一次考试目标就是100了，但是当你考140的时候，目标不可能150，因为这几乎不可能！所以当分数到达普通高考极限时，你要做的就是能提一分算一分。

我们这一期来探讨一下高考数学卷的高考理科数学大题17。

我们看看2017年刚刚考完的新课标Ⅰ卷：
17．（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
【论题】根据近几年新课标卷的命题特点，基本该题考查数列、解三角或三角函数。

较稳定，估计2018年还会保持。

该题在历年高考中，不是三角（三角函数和解三角）就是数列，难度一般不大。

但在模拟考试中可能出现较难的情况，考生不必紧张。

17.解：（1）由题设得2
1sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =.
由正弦定理得
1sin sin sin 23sin A
C B A =. 故2
sin sin 3
B C =.
（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1cos()2
B C +=-. 所以2π3B C +=
，故π3
A =. 由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=，即8bc =.
由余弦定理得2
2
9b c bc +-=，即2
()39b c bc +-=，得b c +=.
故ABC △的周长为3
【我的看法】
就数十年的教学经验看，这道题出题人一般不会进行创新，很稳定。

所以在备考中需要注重基础知识的强化，细化知识点。

特点是故意加大计算量，由于一题有多种解法，命题人就会把出同学们容易想的出，而计算量非常大的方向，但是只要知道命题人考查方向，便能很快找到命题人的出题目的，得出答案。

新课标Ⅱ：
17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 17.解：
（1）由题设及2
sin 8sin
2
A B C B π
π++==得，故
sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 2
17cos B-32cosB+15=0 解得 15
cosB=cosB 17
1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==
得，故14a sin 217
ABC S c B ac ∆==
又17=22
ABC S ac ∆=
，则 由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715
362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ） 所以b=2
新课标Ⅲ：
17．（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A
A =0，a
b =2． （1）求
c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 17.解：
（1）由已知得
tanA=π
2A=3
在 △ABC 中，由余弦定理得
2222844cos
+2-24=0
3
c 6c c c c c π
=+-=-，即解得（舍去），=4 （2）有题设可得π
π
∠∠=∠-∠=
=
，所以2
6
CAD BAD BAC CAD
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π
=1sin 261
1
2
AB AD AC AD 又△ABC
的面积为⨯⨯∠=∆1
42sin 2
BAC ABD
【观点】
根据近几年新课标卷的命题特点，基本该题考查数列、解三角或三角函数。

较稳定，估计2018年还会保持。

【一点说一下】
一点是去年（16年）三年基本考查数列，而且难度很大，17年统一考查解三角，加大计算量。

这就是命题人给我们的方向，所以复习中要加强能力计算，尽量不因计算失分。

【17题入门题目一】
17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：1=2a ，且1313a a a ，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.
（Ⅱ）记S n 为数列{}n a 的前项n 和，是否存在正整数n ，使得S 40600?n n >+
若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
17. 解：（1）设数列{}n a 公差为d,由()()2
2
3113a 22d 2212a a d =+=+得 …………2分
解得d=0或d=4 ………………4分
故n a =2或n a =4n-2 ………………6分 (2)当n a =2时，=2n S n ………7分
=2n 40600S n n <+.不存在正整数n ，使得S 40600n n >+…………8分
当n a =4n-2时，2=2n S n ……………9分 由22n 40600n >+ 解得n>30或n<-10(舍去)
此时存在正整数n 使得S 40600.n n >+且n 的最小值为31. ……………11分 综上，当n a =2时，不存在正整数n ，使得S 40600n n >+
当n a =4n-2时，存在正整数n 使得S 40600.n n >+且n 的最小值为31. ……………12分
【17题入门题目二】
17．（本小题满分12分） 已知定义在
上的函数
，满足：最大值为
2，其图像相邻两个最低点之间距离为
，且函数
的图象关于点）（0,12
π
对称. （Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）若向量((),1)6
a f x π
=-
，1(,2cos )2b x =-，3[,]42x ππ
∈-，
设函数1
()2
g x a b =⋅+
，求函数()g x 的值域.
17.解：（1）由题意可得，
，∴22T
π
ω==，………………2分 所以
，
又∵函数
的图象关于点
）（0,12
π
对称. ∴0)12
2cos(2=+⨯
ϕπ
∴
62
k ππ
ϕπ+=+，，………………3分 ∴
，
，又∵||2
π
ϕ≤
， ∴， ………………5分
∴………………6分
（2）∵
∴()2cos[(2()]2cos 2663
f x x x π
ππ
-
=-+= ………………7分 ∵((),1)6
a f x π
=-
，1(,2cos )2b x =-，3[,]42x ππ
∈-，
∴111
()()1(2cos )2622
g x a b f x x π=⋅+
=-⨯+⨯-+ 211
cos 22cos 2cos 2cos 22
x x x x =-+=-- ………………9分
令cos t x =，∵3[,]42
x ππ
∈-
，则[t ∈，………………10分 ∴函数可化为2211
()222()122
g t t t t =--
=--
又∵[t ∈ ∴当12t =时，min 1
()()12
g t g ==-，
当t =时，max 1()(2g t g ===
函数()g x 的值域为1
[]2
-+ ………………12分
【17题入门题目三】
17. （本小题满分12分）
记S n 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >, 22S =2n n n a a --（n N *∈） （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）设222
3
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前项n 和n T .
17解：(1)由22=2n n n a S a -- 得21112S =2n n n a a +++-- 相减得()2
2
1112S S =n n n n n n a a a a +++----
即()2
2
11=0n n n n a a a a ++--+ ()()()111=0n n n n n n a a a a a a +++-+-+
因为n a >0 解得1=1n n a a +- （n N *∈）
故数列{}n a 为等差数列，且公差d=1 ………………4分
2111
112S =2=2=1
a a a a ---又解得或（舍去）
故n a =n+1 ………………6分
()()()22233
3112b =212322123n n n a a n n n n +⎛⎫
=
=
- ⎪++++⎝⎭
311111
1T ...235572123n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
则 ……………10分 311n
==232323
n n ⎛⎫- ⎪
++⎝⎭ ……………12分
【17题入门题目四】
17. （本小题满分12分）
ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c a C b cos )2(cos -=．
（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若6=BC ，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC ∆的面积．
17.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由B c a C b cos )2(cos -=， 可得B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -=， ………………1分 整理得B A C
B C B cos sin 2sin cos cos sin =+，
所以B A C B cos sin 2)sin(=+，即B A A cos sin 2sin = ………………4分 因为
0sin ≠A ，所以2
1
cos =
B ，………………5分又因为π),0(∈B ，所以3
π
=
B ．………………6分 （Ⅱ）如图，延长BD 至点E ，使得BD DE =，连接AE ，CE ．………………7分 因为D 为A
C 的中点，所以四边形ABCE 为平行四边形， ………………8分 所以3
π
2=
∠BCE ，14=BE ． 在BCE ∆中，根据余弦定理，得3
π
2cos
2222⋅⋅-+=CE BC CE BC BE ，…………9分 即)2
1(62614222-⋅⋅⋅-+=CE CE 即016062=-+CE CE ，………………10分 解得10=CE
，所以10==CE AB ．………………11分
所以ABC ∆的面积3153
π
sin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
B B
C AB S ．……………12分
（Ⅱ）解法二：因为BD 是AC 边上的中线，所以)(2
1
+=，……………7分 所以22
)(4
1
BC BA BD +=
， 即BC BA BC BA BD ⋅++=24222．………………8分
所以3
π26||742
22⨯++=⨯BA ， 0=，………………
10分
解得10||=BA ，即10=AB ． ………………11分 所以ABC ∆的面积3153
π
sin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
B B
C AB S ．………………12分 （Ⅱ）解法三：设x AB =，y DA C
D ==．………………7分
在ABC ∆中，根据余弦定理，可得3
π
cos 2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC ， 即36642
2
+-=x x y ……………①． ………………7分 在BCD ∆中，根据余弦定理可得，
y
y y y DC BD BC DC BD BDC 1413
72672cos 2222222+=
⨯-+=⋅-+=∠．………………8分 在ABD ∆中，同理可得，
y
x y y x y AD BD AB AD BD BDA 1449
7272cos 22222222+-=
⨯-+=⋅-+=∠．………………9分 因为π=∠+∠BDA BDC ， 所以BDA BDC
∠-=∠cos cos ，所以)49(13222+--=+x y y ，
即6222
2
-=x y ……………②． ………………10分 由①②可得016062=-+x x ，所以10=x ，即10=AB ．………………11分 所以ABC ∆的面积3153
π
sin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
B B
C AB S ．………………12分
【17题入门题目五】
17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos 0a B b A +=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =2b =，求ABC ∆的面积S ．
17．解析：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=
∴sin sin sin cos 0A B B A += 即sin (sin cos )0B A A +=
由于B 为三角形内角，
所以sin cos 0A A +=
)04A π+
=而A 为三角形内角 ∴34
A π= (Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a c b cb A =+-
即22044(c c =+-，解得c =-(舍)或c =
∴11sin 2222S bc A ==⨯⨯=
【17题入门题目六】
（17）（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ，b c C 2cos 2=+. （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若12
b =
, 求sin C .
（17）解：
（Ⅰ）因为1=a ，b c C 2cos 2=+， 由余弦定理得222
1222b c c b b
+-⨯+=,即221b c bc +-=. ……………………2分 所以22211cos 222
b c bc A bc bc +-===. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3A π
=. …………………………………………6分
（Ⅱ）法1: 由12b =及221b c bc +-=, 得2211122c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
, ……………………7分 即24230c c --=, ………………………………………………………………8分
解得c =或c =(舍去). …………………………………………9分 由正弦定理得
sin sin c a C A =, …………………………………………10分
得sin sin 60C ︒=
=. ………………………………………12分 法2: 由12b =及正弦定理得sin sin b a B A
=, …………………………………………7分
得1sin sin 602B ︒==. …………………………………………8分 由于b a <, 则060B A ︒︒<<=,
则cos B ==. …………………………………………9分 由于180A B C ︒++=, 则120C B ︒=-. ………………………………………10分 所以()sin sin 120C B ︒=-
sin120cos cos120sin B B ︒︒=- ………………………………………11分
12=+
=
. ……………………………………………………………12分。