高考数学——行列式在高中几何中的应用

求异面直线 与 的距离．
解：建立如图所示的空间直
角坐标系 ，
则 ，
，
分别在异面直线 与 各取一点 、 ，
异面直线 与 的距离为
三、利用三阶行列式求平面方程
定理：过三点 、 、
的平面 的方程为：
．
定理：若平面 的方程为： ，
则平面外一点 到平面 的距离为：
．
【例3】已知正方形 的边长为 ， 平面 ， ， 、 分别是 、 的中点，求点 到平面 的距离．
二、利用三阶行列式求法向量
1．定义：设平面 内不共线的两个的向量的坐标为 ，
，则行列式
叫平面 的一个法向量，记为 ．
例：直棱柱 中， ，
， 为棱 的中点．求平面 的一个法向量．
如图，建立空间直角坐标
系 ，则
，
，
， ， ，
， ，取面 内两个不共线向量 ， ，
则平面 的一个法向量为：
；
2．应用举例
（1）证明线面平行：平面
阶行列式的定义：符号
叫做 阶行列式．其中 表示行列式中第 行第 列上的元素，即第一下标表示行数，第二下标表示列数．如 表示第 行第 列上的元素．这里只介绍三阶行列式的运算规定以及应用．
二阶行列式的定义：符号
三阶行列式的定义：符号
叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．
下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．
行列式在高中几何中的应用
——三阶行列式的应用
向量作为沟通代数与几何的桥梁被引入高中数学，大大简化了几何问题运算量；在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。行列式在求法向量时比较简洁，明快，并且三阶行列式还可以求点到平面的距离，四面体，平行六面体的体积．
一、行列式的定义
的一个非零法向量是 ，
平面 外一条直线 的一
个非零方向向量是 ，则 平面
的充要条件是 ．
（2）求二面角：面
面 ，面 的一个非
零法向量是 ，面 的一
个非零法向量是 ，则二面角 的大小为： 或 ．
【例1】正三棱柱 的侧棱长为 ，底面边长为 ， 是 的中点．
（I）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：
，则： ， ， ， ，则平面 的方程为：
即：
亦即：
所以 到平面 的距离为：
．
四、利用三阶行列式求四面体的体积
定理：记平行六面体 的一个顶点 引出的三边所对应的向量 、
、 ，则平行六面体的体积为：
．
说明：定理中的三向量只
要是平行六面体的同一顶
点引出的都可以，如 、
、 等都行．
定理：记四面体 的一个定点 引出的三边所对应的向量坐标分别为： 、
、 ，则四面体 的体积为：
．
说明：1.定理中的三向量只
要是四面体的同一顶点引出的都可以，如 、 、 等都行．
2.事实上， ，
所以 ．
【例4】已知正四棱柱 ，点 是棱 上的中点，截面 与底面 所成的角为 ， ．求三棱锥 的体积．
解：记 与 交点
为 ，由正方形
性质知 是 中点且
， 是棱
上的点，易知 ，则 ，所以 ，所以 ，
，建立如图所示的空间直角坐标系： ，则： ， ，
， ，其中向量
， ，
，于是三棱锥 的体积为：
．
说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和即可．
法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线 和 ，且他们的一个法向量为 ，因为直线 ，记垂足为 ， ，记垂足为 ，则线段 的长就是异面直线 和 的距离，
如图，记法向量 与 的夹角为 ，则
，即 ，
，
故 ．
其中 、 分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上．
【例2】已知正方体 的棱长为 ．
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系： ，则： ， ，
， ， ，
， ，则
，
，
平面 的一个法向量为：
即 ， ，
，所以 平面 ．
（Ⅱ）面 的一个法向量为：
，
面 的一个法向量为：
， ，
则 ，因此二面角 的余弦值为 ．
（3）求异面直线的公共法向量：
与 是异面直线，向量 是直线 的方向向量， 是直线 的方向向量，则异面直线 与 的一个公共法向量是：