电子科技大学_电磁场与电磁波_典型例题

例 计算同轴线内外导体间单位长度电容。 解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ，则内外导体间电场分布为：
l E1 er 2 0 r
b
则内外导体间电位差为：
l b ln U E dr a 2 0 a
2 0 Q C U ln b ln a
2
er
Q 3Q V 4 a3
Q 2 E ( r ) (4 r er ) E ( r ) dS S 0 Qr E er 3 4 0 a
r3 0
4 3
2）解为球坐标系下的表达形式。
Q 0 (r a) ( 4 r 2 er ) (r a) 0 1 2 Qr E r 2 r (r 4 a3 ) (r a) ( Qr e ) (r a) 0 r 3 4 0 a 0 E 3Q 4 a3 0 0
l E er [1 (2 1 ) 0 ]r b l b U E dr ln a [1 (2 1 ) 0 ] a
[1 (2 1 ) 0 ]U ln b ln a
b

1
b
0
l
U E er (ln b ln a)r
U E1 dr E2 dr
a b
b
c

I 2 1
(ln b ln a)
I 2 2
(ln c ln b)
2 1 2U 0 I 2 ln(b / a) 1 ln(c / b) 1 2U 0 J (a r c) [ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r 2U 0 J E1 er (a r b) 1 [ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r 1U 0 J E2 er (b r c) 2 [ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
c b ( 2 ln 1 ln ) r a c 2U c b ( ln ln )r 2 1 a c E 1U c b ( 2 ln 1 ln ) r a c
D
1 2U
(a r c)
(c r b )
求：（1）E (r ) （ 2） E (r ) （3） E (r ) 分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与r有关。 解：1) 取如图所示高斯面。 在球外区域：ra
r
a

S
E (r ) dS
2
Q
r
E (r ) (4 r er )
在球内区域：ra
0
Q
0
E
Q 4 0 r
2 E2 dr
r b c r b
c
(b r c) ( a r b)
1 E1 dr E2 dr
2）由边界条件： 在 r a 面上：
在 r b 面上：
1 2U 0 S1 D1 n [ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]a
2
S
2 D dS q 2 r ( பைடு நூலகம்1 D2 ) q
1
b
例 同轴线填充两种介质，结构如图所示。两 种介质介电常数分别为 1 和 2 ，导电率分别为 1 和 2 ，设同轴线内外导体电压为U。
； J ， 求：(1)导体间的 E ， (2)分界面上自由电荷分布。
解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用 高斯定理求解。 由边界条件，边界两边电流连续。 设单位长度内从内导体流向外导体电流为 I。 则：
E dr
r r
Q

aU aU dr r2 r
例 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间 充满介电常数分别为 1 和 2的两种理想介质，分界面半径为 c。已知外导体接地，内导体电压为U。 求:(1)导体间的 E 和 D 分布； (2)同轴线单位长度的电容 2 分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可 知，在媒质两边 D连续 解：设内导体单位长度带电量为 l 由高斯定律，可以求得两边媒质中，
c b a
1
E1 D / 1 l D er 2 r E2 D / 2 c b l l c b ln ln U E1 dr E2 dr a c 21 a 2 2 c 21 2U l c b 2 ln 1 ln a c
例 球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充 满介电常数为 1和 2的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外 球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 分析：电场平行于介质分界面，由边界条件 可知，介质两边 E 相等。 解：令电场强度为 E ，由高斯定律
2
a

2 r (1E 2 E) q q E e 2 r 2 (1 2 )r b q 1 1 (r ) E dr ( ) r 2 (1 2 ) r b
l E1 ex 2 0 x l E2 (ex ) 2 0 ( D x) l 1 1 ( )ex E E1 E2 2 0 x D x
导线间电位差为：
D
x
P
x
U
Da
a
l Da ln E dx 0 a 0
C ln( D a) ln a
3）
1 Q ( ) 4 r 0 E 0 Q r 3 4 a 0
例 半径为a的球形电介质体，其相对介电常数 r 4 , 若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。 解：由高斯定律，可以求得
Qer S D dS Q D 4 r 2 Qer 在媒质内： E 4 r 2
U
(ln b ln a)r
er
2 Cl U (ln b ln a) 1 U 2 Wel lU 2 (ln b ln a)
p SP sp
4
在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 D 的z分量为 2 Dz 20nC / m2，极化强度P ex 9 ey 21 ez15nC / m 例 求：介质中的电场强度 E 和电位移矢量 D 。 解：由定义，知：
0 D 0E P D P Dz 1 4 P (1 ) D r Pz Dz r r 4 D P P … r 1 3 1 E D 4 0
3Qer P D 0 E 3 0 E 16 r 2 1 2 ( r Pr ) 0 体极化电荷分布: P P 2 r r 面极化电荷分布: SP P er 3Q 16 a 2 在球心点电荷处： Q Q 4 a 2 3Q
内外导体间电容为：
例 同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间部分填充介质 ，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为U。 求：导体间单位长度内的电场能量。 解：设同轴线内导体单位长度带电量为 l 由边界条件知在边界两边 E 连续。

D dS Q 1rl E (2 1 )rl 0 E Q S
两种方法求电场能量：
1 2 1 We E dV1 0 E 2 dV1 V1 2 V2 2 b 1 b 1 1 U 2l 1 U 2l 1rdr 0 (2 1 )rdr 2 a 2 2 a 2 2 (ln b ln a) r 2 (ln b ln a) r 1 U 2l 1 U 2l [1 (2 1 ) 0 ]; Wel [1 (2 1 ) 0 ] 2 (ln b ln a) 2 (ln b ln a)
典型例题
例 求无限长线电荷在真空中产生的电场。
分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与r有关。 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有
r
E
0 l E (r ) (2 rl er ) l 0 l E er 2 0 r
S

E (r ) dS
Q
例 半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。
( 2 1 1 2 )U 0 S 2 (D2 D1 ) er [ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]b 在 r c 面上： 2 1U 0 S 3 D2 er [ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]c
例 平行双线，导线半径为a，导线轴线距离为D 求：平行双线单位长度的电容。（a<<D) y 解：设导线单位长度带电分别为 l 和 l ，则易于求得，在P点处，
aU er 2 r
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
E
Q 4 0 r

2
er
1 Q U E dr ( ) Q 4 0 aU a 4 0 r a 4 0 a aU E 2 er r

a
b

S
D dS Q D
l er E l er 2 r 2 r b l U E dr (ln b ln a) a 2 2U l (ln b ln a)
U E er (ln b ln a)r b U (ln b ln r ) E dr r (ln b ln a) J E
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U， 求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等势体。
r a 时：
U E 0
r a时：
c1 1 d 2 d 2 0 r 2 dr (r dr ) 0 r c2 aU r a U r a U r a U r r 0 r 0 r 0 e e aU ( e )( ) E r r r r sin r
或应用导体系统能量求解公式
[1 (2 1 ) 0 ]U 1 l We qiU i Wel 1 lU ln b ln a 2 i 2 1 U2 [1 (2 1 ) 0 ] 2 (ln b ln a)
例 已知同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间填充介质，介质 介电常数为 ，导电率为 0 。已知内外导体间电压为U。 ;3）J ;4）Cl ; 5）Wel ;6）s 求：内外导体间的 1）E ;2） 分析：为恒定电场问题。 电荷只存在于导体表面，故可用静电场高 斯定理求解。 解法一：应用高斯定理求解。 设内导体单位长度电量为 l 则
2c 2b 2a
1 1 2 2
I I J er er S 2 r
EJ
(a r c)
a
1 1 2 2
由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：
E1
J
1

I 2 1r
er
(a r b)
E2
J
2

I 2 2 r
er
(b r c)