离散数学集合的基本概念和运算

概
据结构、操作系统、数据库、知识库、编译原
念
理、形式语言、程序设计、人工智能、信息检
与
索、CAD 等。
运
算
一、什么是集合？
-只能给予直观的描述。所谓集合（Set），
3.1
就是把人们直观的或想象中的某些确定的能 够区分的对象汇合在一起组成的一个整体。
集
-组成集合的各个对象，称为这个集合的元素
合
（Element）或成员（Member）。
3.2
集
A B (A B) (B A)
合
的
A
B
基 本
AB B A
运
算
AB
关于运算的说明
运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn}
恒等律 A A A E A
互补律 A A U A A
否定律 (A) A
3.2 集
幂等律
AA A
AA A
合 零一律 AU U A
的
基 吸收律 A (A B) A A (A B) A
本 运
德•摩根律 ( A B) A B
集
若|A|=0，则称A 为空集合（Empty
合
Set），记为；
的
若|A|为某自然数，则称A 为有限集合
基
（Finite Set）；
本 概
若|A|为无穷，则称A 为无限集合（ Infinite Set）
念
注：设A是有限集，则
P( A)

2
A
.
证明 设A= {a1, a2 , … , an},从n个元素中选
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
算
则B-A={ f }, C-A={ e ,f , g }=C
定义3.8 E为全集，A为E的子集，E-A称为A的
绝对补集，记作 ~ A。即
3.2 集
~ A E A x E且x A
合
的
基
A
本
~A
运
算
例如 设U={1，2，3，4，…，10}，
A={2，4，6，8，10} 3.2
集 合
只有两个元素，故A再没有其他的子集。
由上可知，A有四个子集：，{1}， {{2}}，{1,{2}}。
练习3 设有集合A,B,C和D, 下述论断是否
正确？说明理由。
典 （1）若AB,BC,则AC
型 解 正确。因为BC，所以集合B的每一
习 个元素也是集合C的元素，由AB知A是B的
题
一个元素，因此A也是C的一个元素，故 AC。
3.1 集
取m个元素的方法有 Cnm种，所以A的子集
合 个数为
的 基
Cn0 :
本
C
1 n
:{a1},{a2} ,…{an}
概 念
C…n2 :{a1, a2},{a1, a3} …
C
n n
:{a1, a2 , … , an}
| P(A) | Cn0 Cn1 Cn2

Cn1 n
Cnn
的
- 等价条件法
基
- 反证法
本
- 并交运算法
运
算
3.1.命题演算法证 XY
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
的 ⑦A B (A B) (A B)
基 ⑧A B A B
本 运 算
⑨A B (A B) (A B) ⑩iff A B A C,then B C
A B ( A B) (B A)
三、集合包含的证明方法
证明 XY
3.2 集 合
- 命题演算法 - 包含传递法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A (B C) (A B) (A C)
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
的
①通常，用大写字母A，B，C，…表示集
基
合，用小写字母a，b，c，…表示元素。
本
②集合与元素之间的关系－“属于”关系
概
- aA aB
念
二、集合的表示
⑴列举法
3.1
- 将集合中的元素一一列举出来，或者列出
集
足够多的元素以反映集合中成员的特征，
合
并用花括号将元素括起来，其表示形如：
的
A={a1，a2，…，an}
则~ A U A 1,3,5,7,9
的
基 本
又例如 设U=I（I是整数集），
运
A i | i I,且i 0
算
则 ~ A U A i | i I且i 0
定义1.4.1 A、B为任意两个集合，所有属于A而
不属于B或属于B而不属于A的元素组成的集合，
称为A与B的对称差，记作 A B 。即
时又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交
集，记作 A B 。即
3.2 集
A B u | u A且u B
合 例1.3.2 设A={a,b,c,d}, B={d,f,a}, C={e,f,g}
的则
基 A B d, a
本 运 算
AC
BC {f}
A
B
A B
显然： A B A A B B
相等
A=BABBA
不相等
AB
真包含
ABABAB
不真包含
AB
思考： 和 的定义
注意 和 是不同层次的问题
例1 A={a, b, c, d}, B={a, e, x, y, z}, C={a, x} 则 C B，C ⊈ A，B ⊈ A， A ⊈ B
集合的包含关系具有如下几条性质：
3.1
的集合称为A的幂集，记作P(A)。
集 例3 A=，B={，a，{a}}
合
P（A）＝
的
P（B）＝｛，｛｝，｛a｝，{{a}}，{
基
，a}，｛，｛a｝｝，｛a，｛a｝｝，｛
本
，a，｛a｝｝｝
概
念
集合的基数
设A 为任一集合，用|A|(或#A)表示A中不
3.1
同元素的个数，称为集合A的基数，有：
合 S4 = { 3, 4, 5 }, S5= { 3, 5 }
的 基 本
(1) 若 XS5=, 则 X= S2 (2) 若 XS4, XS2=, 则 X= S5
运 (3) 若 XS1，X S3, 则 X= S1, S2, S4
算 (4) 若 XS3=, 则 X= S3, S5
(5) 若 XS3，X S1, 则 X与 S1, ... , S5 都不等
定义3.7 设A、B是任意两个集合，所有属于A而
不属于B的元素组成的集合，称为B对A的相对补
集，记作A-B。即
3.2
集 合
A B x | x A且xB
B
BA
A
的
基 重要性质：A B A B
本
运 例1.3.3 设A={a,b,c,d}, B={d,f,a}, C={e,f,g}
数学系学生或爱好文学或爱好体育运动 只有一、二年级的学生才爱好体育运动 除去数学和计算机系二年级学生外都不 选修离散数学
T(MR)S RS T (MF)T= MLP PFS S(MR)P
例
3.2 分别对条件(1)到(5)，确定 X 集合与下述那些集合相等。
集 S1 = { 1, 2, …, 8, 9 }, S2= { 2, 4, 6, 8 }, S3= { 1, 3, 5, 7, 9 },
{2x|x∈Z且x≤100}
(2) B={2,4,8,…,1024}
{2n|n∈N且n≤10}
集合与元素
元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于
实例 A={ x | xRx2-1=0 }, 1A, 2A
A={-1,1}
注意：对于任何集合A和元素x(可以是集合)，
xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其 一.
3.1
⑴对任意集合A，A；
集
⑵自反性：AA
合 的
⑶反对称性：若AB且BA，则A＝B
基 ⑷传递性：若AB且BC，则A C
本 概
⑸若|A|＝n，则A有2n个子集
念
空集与全集
空集 不含任何元素的集合
实例 {x | x2+1=0xR} 就是空集
定理 空集是任何集合的子集
A x (xxA) T
的
所组成，也就是说a∈A 当且仅当a 满
基
足性质P。
本
概
念
练习
3.1 1. 用列举法表示下列集合
集 合
（1）A={a|a∈P且a<20}
{2,3,5,7,11,13,17,19}
的
（2）B={a||a|<4且a为奇数}
{-3,-1,1,3}
基
本
概 2. 用描述法表示下列集合
念
(1) A={0,2,4,…,200}
第3章 集合的概念
集合的概念
集合是数学中最重要的概念，集合理论是
数学中最重要的理论。
第
十九世纪七十年代，威尔斯特拉斯、戴德
3
金、康托尔等人深入研究实数理论，建立起极
章
限论的基本定理，不仅为微积分建立起严格的
集
理论基础，也导致了集合论的诞生。
合
集合论分朴素集合论和公理化集合论。
的
集合论被广泛应用在计算机科学中，如数
某些重要结果
ABA AB AB=（后面证明） AB= AB=A
例
F:一年级大学生的集合
S：二年级大学生的集合
R：计算机系学生的集合
M：数学系学生的集合
T：选修离散数学的学生的集合
L：爱好文学学生的集合
P：爱好体育运动学生的集合
所有计算机系二年级学生都选修离散数学
数学系一年级的学生都没有选修离散数学
合 的
例1.3.1 设A={a,b,c}, B={c,d,f }, C={b,e}
基 则 A B a,b,c, d, f
本
运
A C a,b,c,e
A
B
算
B C b,c, d,e, f
A B
显然： A A B, B A B
定义3.7 设有A、B是任意两个集合，属于A同
隶属关系的层次结构
例 3.1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
一、集合之间的关系
包含（子集） A B x (xA xB)
3.1 集 合 的 基 本 概 念
不包含
A ⊈ B x (xA xB)
基 本 概 念
A={a1，a2，a3, …}
- 列举法必须把元素的全体尽列出来，不能 遗漏任何一个，并且集合中的元素没有顺 序之分且不重复。
⑵谓词表示法
- 用一个谓词来描述集合中元素具有的共同
3.
性质。
1
表示形式如A={x|P(x)}
集
意义是：
合
集合A 由且仅由满足性质P 的那些对象

2n

2A
3.1 集
练习1 设A={a,b,{c},{a},{a,b}}，试指出下 列论断是否正确？
合 (1)aA ( )
(8){b}A
( )
的 (2){a}A ( )
(9){a,b}A
( )
基 (3){a}A ( )
(10){a,b}A ( )
本 (4)A ( )
概 念
(5)A ( )
(6)bA ( )
(11)cA源自文库(12){c}A (13){c}A
() () ( )
(7){b}A ( )
(14){a,b,c}A ( )
练习2 列出集合A={1,{2}}的全部子集。
典
解 因为是任何集合的子集，所以
型 习 题
是A的子集。由A中任意一个元素所组成的 集合是A的子集，所以{1}和{{2}}是A的子 集。由A中任意两个元素所组成的集合是A 的子集，所以{1,{2}}是A的子集。因为A中