2.4倒易点阵、晶带

V c.(a b) a b c
V （2）正点阵单胞的体积和倒易点
阵单胞的体积互成倒易关系。
V
1 V
（3）倒易向量Hhkl的方向是正点阵（hkl）面网 的法线方向，所以在倒易点阵中
从原点指向阵点 hkl 的倒易矢量 Hhkl ha kb lc
必和正点阵的（hkl)面垂直，即倒易点阵的阵点方向
如何判断某晶面（h k l）是否属于[u v w]晶带？
显然如果（h k l）属于[u v w] 晶带，则晶面（h k l）的法线 方向必垂直于[u v w]。
同一晶带轴中的所有晶面的共同特点是：所有晶面 的法线都与晶带轴垂直 。
根据倒易点阵的性质，晶面（h k l）的法线方向
平行于倒易矢量 ha kb lc
❖ 倒易点阵的衍射理论是一般的衍射理论，它是了解射线在晶 体中的衍射几何和解释晶体射线衍射图谱的强有力工具，因 此学习倒易点阵可为以后的有关课程作基础准备，而在本章 中倒易点阵使晶面取向、晶带、晶面间距等问题更容易描述。
一、两向量的数量积
a
b
|
a||
b|
cos
b
a
两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个 向量在这向量的方向上的投影的乘积.
(1) a a | a|2
(2)
a
b
0
ab.
数量积也称为“点积”、“内积”. 补充知识点
二、两向量的向量积
向量a与b的向量积为
c
a
b
a
b sin
(其中 为a与b的夹角)
Fra Baidu bibliotekcr
的方向既垂直于ar
r ，又垂直于b
，指向符合
右手系.
(1)
a a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
a
b
晶面指数不同的晶体之间的区别在于晶面位向和晶面间距(即 相邻的两个平行晶面之间的距离)不同，若晶面指数确定，则 晶面的位向和面间距就确定。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的；空间任意直线的 位向可以用它的方向余弦来表示。
对立方晶系，晶面指数(h k l)已知
h : k : l cos : cos : cos
晶带轴的方向指数是 111 或者 111
相同问题：判断三条直线是否共面？
问题：求（121）和（100）决定的晶带轴与 （001）和（111）所决定的晶带轴所构成的晶
面的面指数？
（121）和（100）决定的晶带轴 01 2 （001）和（111）决定的晶带轴 11 0
所以晶面指数是（221）
倒易点阵的应用----晶面间距
C
h
k
l
cos OD； cos OD； cos OD；
OA
OB
OC
cos : cos : cos 1 : 1 : 1 A
OA OB OC
γ D
O
β
α
N BY
X
晶面指数与晶面位向间的关系
cos : cos : cos h : k : l
从立体几何可知，在立方晶系中：
cos2 cos2 cos2 1
u vw h1 k1 l1 h2 k2 l2
uuhh21
v k1 v k2
wl1 wl2
0 0
晶带定律的应用（2）
h : k : l v1 w1 : w1 u1 : u1 v1 v2 w2 w2 u2 u2 v2
hk l u1 v1 w1 u2 v2 w2
晶带定律的应用（3）
晶带定律的应用（4）
倒易点阵
❖ 人们在研究晶体对X射线或电子束的衍射效应时知道， 某晶面（h,k,l)能否产生衍射的重要条件是该面相对 于入射束的取向，以及晶面间距d(h,k,l)。
❖ 因此为了从几何上形象地描述衍射条件，人们试图 找到一种新的点阵，使该点阵的每一结点都对应着 点阵中的一定晶面，即不仅反映该晶面的取向，而 且还反映晶面间距。
ua vb wc• ha kb lc 0
上式展开就是晶体学中十分重要的晶带方程
hu + kv + lw = 0
凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶 带，故此关系式也称作晶带定律。
晶带定律的应用（1）
u : v : w k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2 l2 l2 h2 h2 k2
| a| ax2 a y2 az2
倒易点阵的数学表达形式
设V为正点阵单胞的体积
因为 (a b) // c
所以 c a b V
V c.(a b)
c 1 d(h,k ,l)
同理 b a c V
a bc V
按同样的方法可得
倒易点阵的性质
（1）正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1， 不 同名基矢的点积为0.
所以，只要晶面指数一旦确定，晶面位向即可求得。 因此，晶面（hkl）的法线矢量为：
0.
(a
0,
b
0)
补充知识点
向量的坐标表示
任给向量r，对应有点 M ,使OM r
z
如图所示：
R(0,0, z)
则有
r
xi
yj
zk
上式称为向量
r的坐标表示式
记作：r x, y, z
o x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0)
2、向量的模
设向量 r (ax ,ay ,az ) 向量模长的坐标表示式
具体来说要求从新点阵原点O至任一结点P（h,k,l) 的矢量OP正好沿正点阵中(h,k,l) 面的法线方向， 而OP的长度就等于晶面距的倒数，即
OP 1 d hkl
这样的点阵就称为倒易点阵。
❖ 倒易点阵是描述晶体结构的一种数学抽象方法，倒易点阵本 身是一种几何构图，它和空间点阵具有倒易关系。一个实在 的晶体点阵经过一定转化导出一套抽象点阵，这个抽象点阵 的每一个阵点和实在点阵中的一个点阵平面有相对应的倒易 关系。
如图：ON为晶面（hkl）的法线，ON与该晶面交于D点；OA、OB、OC
分别为（hkl）在X、Y、Z轴上的截距；ON与X、Y、Z轴之间的夹角分
别为α、β、γ；cosα、cosβ、cosγ就是法线ON的方向余弦。立方点阵中
晶胞的三个基矢相等，设其为a，则根据晶面指数的确定方法可知：
Z
OA a ；OB a ；OC a ；
hkl 和正点阵的 hkl 面垂直，即 hkl hkl
（4)倒易向量Hhkl的长度是正点阵面网 间距dhkl的倒数Hhkl =1/ dhkl。
倒易点阵的应用----晶带方程
相交于同一直线(或平行于同一直 线)的所有晶面的组合称为晶带。 该直线称为晶带轴。 属此晶带的晶面称为共带面。
如果晶带轴的方向是[u v w]， 这个晶带就叫[u v w]晶带。