第二章 2.1.1 离散型随机变量.

2.1.1离散型随机变量

明目标、知重点

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.

2.了解随机变量与函数的区别与联系．

1．随机试验

一般地，一个试验如果满足下列条件：

(1)试验可以在相同的情形下重复进行；

(2)试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．

这种试验就是一个随机试验．

2．随机变量

在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．3．离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

[情境导学]

在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件．

(1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？

(2)如何比较两个选手的射击情况？

(3)如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识．

探究点一随机变量的概念

思考1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？

答掷一枚硬币，可能出现正面向上、正面向下两种结果，我们可以分别用1和0表示，这样就可以用数字来表示试验结果，数字随试验结果的变化而变化，这就是随机变量．

思考2随机变量和函数有类似的地方吗？

答随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数，两种映射间试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广．

例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．

(1)上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；

(2)2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；

(3)2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；

(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．

解(1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．

(2)D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．

(3)在《拉呱》节目播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多，也可能少，因此是随机变量．

(4)体积为1 000 cm 3的球半径长为定值，故不是随机变量．

反思与感悟 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．

跟踪训练1 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)某人射击一次命中的环数；

(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；

(3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；

(4)某个人的属相．

解 (1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果都是随机的，是随机变量．

(3)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1,2,3,4,5,6，因此是随机变量．

(4)属相是人出生时便确定的，不是随机变量．

探究点二 离散型随机变量的概念

思考1 阅读教材45页上半页，回答什么是离散型随机变量？

答 所有取值都可以一一列出的随机变量叫离散型随机变量．

思考2 电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？为什么？

答 不是，因为电灯泡的寿命X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．

思考3 你能构造一种对应关系，使思考2中关于电灯泡的寿命的变量对应着一个离散型随机变量吗？

答 如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1 000小时，那么就可以定义如下的随机变量：

Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

0，寿命<1 000小时；1，寿命≥1 000小时. 与电灯泡的寿命X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．

例2 ①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内

被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()

A．①②③④B．①②④

C．①③④D．②③④

答案 B

解析③中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量．反思与感悟该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)白炽灯的寿命ξ；

(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；

(4)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．

解(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．

(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．

(4)是离散型随机变量．从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：

3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．

探究点三离散型随机变量的应用

例3(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(2)抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？

解(1)ξ可取3,4,5.

ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；

ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；

ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.

(2)因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，

由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．

所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．