离散数学-集合论

即A∪B={x|xA∨xB} ③ 称属于A,但不属于B的元素组成的集合为A与B的相对补集
记为A-B,即A-B={x|xA∧xB} ④ 称属于A而不属于B,或属于B而不属于A的元素组成的集合为A
与B的对称差集,记为A⊕B 即A⊕B={x|(xA∧xB)∨(xB∧xA)} ⑤ 设E为全集, AE, 称E-A为A的绝对补集,记作～A 即～A={x|xA}.
公理集合论体系(属于数理逻辑范畴)
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3.1 集合及其运算
1. 集合及其表示法 用大写英文字母A,B,C,…表示集合
并用x∈A表示x是集合A中的元素,读作“x属于A” 用xA表示x不是A中的元素,读作“x不属于A”. 一般,集合有两种表示法:列举法和描述元素性质法 列举法 A={a,b,c,d,e}; B={书,笔记本,铅笔,课桌,黑板}; C={0,1,-3,6}; D={北京,天坛,故宫,地球,宇宙}. 描述元素性质法 Σ={x|x是英文字母}; Z={x|x是整数};
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集合的运算
例3.1.1 设A={a,b,c,d,e}
B={a,c,e,g}
E={a,b,c,d,e,f,g,h}
则:A∪B={a,b,c,d,e,g} A∩B={a,c,e}
A-B={b,d}
B-A={g}
A⊕B={b,d,g}=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)
～A={f,g,h}
～B={b,d,f,h}.
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集合的运算
集合运算的Venn图表示：
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基本恒等式
5. 集合运算的基本恒等式及其应用 定理3.1.1 设A,B,C是任意集合,E为全集,则有如下恒等式：
①幂等律 A∪A=A;A∩A=A. ②交换律 A∪B=B∪A;A∩B=B∩A. ③结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C);(A∩B)∩C=A∩(B∩C). ④分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
离散数学
Discrete Mathematics
计算机学院 软件与理论教研室（313）
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第二部分
集合论
Set ,Relation and Mapping
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第三章 集合、关系与映射
关系即二元关系,它是集合直乘积的子集
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C). ⑤德摩根律
绝对形式 ～(A∪B)=～A∩～B;～(A∩B)=～A∪～B. 相对形式 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C);
例如：若A={1,2,4},B={1,2,3,4,5},则AB, 而且AB.
☺ 对任意集合A有:AA(自反性) ☺ 对任意集合A,B,C,若AB且BC,则AC(传递性)
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空集与全集
定义3.1.3.设A,B为集合,若AB且BA,则称A与B相等,记作 A=B.
定义3.1.4.称不拥有任何元素的集合为空集,记作. 空集是任意集合的子集合,是任意非空集合的真子集合
{x|x是非负偶数}={0,2,4,6,8,10,…,2n,…};
{x|x是实数}不能转换为列举法表示.
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集合及Hale Waihona Puke Baidu表示法
一些常用集合的表示法: N={x|x是自然数}={0,1,2,…,n,…} Z={x|x为整数}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Z+={x|x∈Z∧x＞0}={1,2,3,…,n,…} Q={x|x是有理数} R={x|x为实数} 还有： P表示素数集合 O表示奇数集合 E表示偶数集合
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集合间的包含与相等
2.定义3.1.1.设A,B为集合，若B中的元素都是A中的元素,则称 B是A的子集,记作BA,称A包含B,或B包含于A,
并以B A表示B不是A的子集.
即BA∀x(x∈B→x∈A)
B Ax(x∈B∧xA).
定义3.1.2.设A,B为集合,若集合AB且A≠B,则称A为B的真子 集,记作AB. 即AB∀x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA).
❖ 和 {}的关系是？ 空集是任意集合的子集,可以形象地说:是“最小”的集合.
但没有最大的集合. 在讨论某些具体问题时,往往使用一个在相对的意义下是“最
大”的集合”.
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空集与全集
定义3.1.5.如果限定所讨论的集合都是某一集合E的 子集,则称E为全集
全集是一个相对的概念,不同的实际问题可以定 义不同的全集. 例如当被讨论的集合仅仅是{0,2,4},{6},{6,8} 时,全集可设为{0,2,4,6,8} 或{x|x是10以内的自然数}等
映射是特殊的二元关系 19世纪末著名德国数学家康托(G.cantor) 集合已经发展成为数学及其他各学科不可缺少的描述工具
成为数学中最为基本的概念
集合论分为两种体系
朴素集合论体系(康托集合论体系).
❖ 康托从抽象原则出发
概括出:满足某性质的个体放在一起组成集合
❖ 隐含矛盾,即罗素(Russell)悖论.
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集合的幂集
3.定义3.1.6. 设A为一个集合,称由A的所有子集组成的集合为 A的幂集,记作P(A),即P(A)={X|XA}.
如：设A={1,2,3} 则P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},1,3},{2,3},A}. 若|A|=n,则P(A)的元素个数|P(A)|=2n.
元素个数有限的集合称有穷集,对其子集有一种编码方法:设 A={a1,a2,a3}则A2=A010={a2},A5=A101={a1,a3}.
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集合的运算
4.定义3.1.7. 设A,B为两个集合. ① 称由A与B的公共元素组成的集合为A与B的交集,记作A∩B
即A∩B={x|xA∧xB} ② 称由A与B的全体元素组成的集合为A与B的并集,记作A∪B
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集合及其表示法
需要注意以下几点：
集合中的元素各不相同
如{1,2,3,4}与{1,1,2,3,4,4}是相同的集合
都是含元素1,2,3,4的集合
集合中的元素不规定次序
如：{1,2,3,4}={4,2,3,1}.
有些集合的两种表示法能互相转换,有些则不能
如：{x|x是英文字母}={a,b,c,d,e,f,g,…,x,y,z};