对数随机系数自回归模型AR_1_参数矩估计的渐近正态性_杜秀丽

Du Xiuli
(School of Mathemati cs and Computer Science, Nanjing Normal University , 210097 , Nanjing , PRC) Abstract :Following the discussion of moment-estimator of the parameters and the properties of the weak consistency , This paper proved the properties of the asymptotic normality of parameters by discussing the properties of covariance function. Key words:doubly time series model , Log stochastic coefficient AR model, moment-estimator , asymptotic normality
定理 2.1 已知一维时间序列{xt }满足模型(1.1), 且 a
+
δ2 2
<0
,
若
‖xt
‖4
=o
1
n4
成
收稿日期 :2001-03-01 . 基金项目 :南京师范大学校青年科学基金项目资助(1999SXX001BQ93). 作者简介 :杜秀丽 , 1974 — , 女 , 理学硕士 , 南京师范大学数学与计算机科学学院助教 , 专业方向 :时间序列分析 .
对于对数自回归模型[ 1]
xt = φtxt -1 +εt ln φ2t = a +et
(1 .1)
其中{εt}、{et}为相互独立的 i .i .d .G auss 白噪声序列 , 且 E(εt )=0 、E(ε2t)= σ2 、E(et)=0 、
E(e2t)= δ2 , 我们已知它有平稳解的充分必要条件为
t =1
2
=
1 n2
E
n-1 n -1
xtxt+1 xsxs+1
s =1 t =1
=
∑ ∑ ∑ 1
n2
n-1 t =1
x2t x2t +1
+
2 n2
n-1 t =1
n-1
Extxt +1xsxs+1 .
s =t+1
因为
xt +1
= φt +1 xt
+εt+1
且
a
+
δ2 2
<0 ,所以
xs
=(φsφs-1 …φt +1)xt
[ 摘要] 在已知对数随机系数自回归时序模型 AR(1)的参数矩估计及 其相容性的基础 上 , 通过对其协方 差函 数渐近性质的研究 , 证明了该矩估计的渐近正态性 . [ 关键词] 双重时序模型 , 对数随机系数自回归 AR 模型 , 矩估计 , 渐近正态性 [ 中图分类号] O211.61, [ 文献标识码] A , [ 文章编号] 1001-4616(2002)04-0023-04
同理可得 lnR 2(0)=lnR2(0)+R21(0)(R 2(0)-R 2(0))+o((R 2(0)-R2(0))2),
所以 ln
R2(1) R2(0)
n
※∞
ln
R R
2 2
( (10) )+
R R
22( (11) )-RR22( (00) )=
a
+ δ42 .
即 a -a 可写成 R(0)-R(0), R(1)-R(1)的线性组合 , 同理 σ2 -σ2 也可写成 R(0)-
+ … + φsεs-1
+εs .
∑ ∑ ∑ ∑ 所以 ER2(1)=E
1 n2
n-1
φ2t+1
t =1
x4t
+n12
n-1 t =1
Ex2t ε2t+1
+n22
n-1 t =1
n-1
Ext(φt +1 xt
s =t+1
+εt+1)xs(φs+1 xs
+
∑ ∑ ∑ ∑ εs+1)=
1 n2
n -1 t =1
证明方法参见文献[ 3] .
定理 2 .4 设{xt }如模型(1.1)所描述 , 其中{εt}和{et}的假定如上所述 , 若 a +δ2 <0 ,
∑ 则对模型(1.1)所给出的矩估计
, 我们有
n
1 2
※
{a
※
-a }
d
N 0,B
＊ 1
B′
.其中
※
a
={a
,
σ2}′
-2(1 -λ) 2(1 -λ)
E φs+1Eφ3t+1
‖ xt ‖44
λs-t -1
+σ4(Eφt)2
1 -λs-t (1 -λ)2
,
Eεt +1 xt φs+1 x2s =2 σ2 Eφs+1(Eφ2s)s-t -1 · R(1)=2σ4(Eφt)2 1λs--t -λ1 .
∑ ∑ 所以
n -1 n-1
2 [ 2 n t =1 s =t+1
μ= Eφt
=
e
a 2
+δ82
,
记 Un
=
n
∑ n -1 Ut , m .
t =1
∑ ∑ ∑ 则
1)若
λ<1
,
我们有
:n
1 2
Un
d
m
m
m -i
N 0 , σ2 1 + λj +2 μi 1 + λj
,
j =1
i =1
j =1
∑ 2)若 e2a+2δ2
<1 ,即
a
+δ2
<
0
,
我
们有
:n
1 2
RU(0)-RU(0) RU(1)-RU(1)
第 25 卷第 4 期 2002 年
南京师大学报(自然科学版) JOURNAL OF NANJING NORMAL UNIVERSITY(Natural Science)
Vol .25 No .4 2 002
对数随机系数自回归模型 AR (1) 参数矩估计的渐近正态性
杜秀丽
(南京师范大学数学与计算机科学学院 , 210097 , 南京)
a
+
δ2 2
<0 , 且在条件
P(φt
> 0)=
1 (a .s)下 , 它的参数矩估计为 :
a
=ln
R R
22( (10) )-δ42
,
σ2
=
R
2(0)-R
2(1)e
δ2 4
R (0)
= 1 -ea+δ22 R (0).
并已在条件 ‖xt ‖4 = o
1
n4
下证明了其为相容估计 .证明参见文献[ 1] .
-a )-(x
-a)2 2a2
+
…
+(-1)n+1
(x
-a)n na n
+
— 24 —
杜秀丽 :对数随机系数自回归模型 AR(1)参数矩估计的 渐近正态性
(-1)n+2 ((nξ+-1a))ann++11). 由 R2(1)收敛于 R2(1)的速度 , 一般展开两项即可 .
所以 lnR 2(1)=lnR2(1)+R21(1)(R 2(1)-R 2(1))+o((R 2(1)-R2(1))2),
∑ ∑ 而(2.2)式
2 n2
n -1 t =1
n -1 s =t+1
σ4(Eφt)2 (1 -λ)2
n ※∞
σ4(Eφt)2 (1 -λ)2
= R2(1),
∑ ∑ 又
1 n2
n -1
(E φ2t+1)E x 4t
t =1
=
1 n2
·
λ·
‖
xt
‖44 ·
n -1
1
t =1
n ※∞
0,
∑ 1
n2wk.baidu.com
n-1
d
N 0,
1.
n -k
∑ ∑ 这里 RU(k)为
Ut, m
的自协方差函 数 , RU(k)=
1 n
t =1
Ut , mUt+k , m
,
1 的元素 是 σij =
m +1
∑ vij (i , j =1 , 2), 其中 vij 是 2 ×2 对称矩阵 V 的元素 , 由下式确定
k =-m -1
vij
— 23 —
南京师大学报(自然科学版)
第 25 卷第 4 期(2002 年)
立 , 则有 ER 2(1) n ※ ∞ R 2(1).
证明
R(1)= Eφt · R(0)= Eφt · 1
σ2 -Eφ2t
=1
σ2 -λE
φt(其
中
λ= Eφ2t ),
∑ ∑ ∑ ER 2(1)= E
1 n
n-1
xtxt+1
关于随机系数 AR 模型 , 目前已有相当的研究成果 .近几年来 , 主要关注于一类特殊模型 的参数的平稳解的具体表示 、存在条件 、预报 , 但关于其估计方面的成果还不太多 .本文着重讨 论了对数随机系数自回归模型 AR(1)参数矩估计的渐近正态性 .
1 对数随机系数自回归模型 AR(1)参数的矩估计
[ 2] [ 苏] B B 佩特罗夫 .独立随机变量之和的极限分布[ M] .北京 :中国科学技术出版社 , 1991 . [ 3] 苗夺谦 , 常学将 .一类双重时序模型 AR(1)-MA(0)的参数矩估计及其渐近性 质[ J] .工程数学学报 , 1991,
8(3):73— 81.
The Properties of the Asymptotic Normality of the Parameter Moment-estimator on Log Stochastic Coefficient AR(1)Model
R(0), R (1)-R(1)的线性组合 .
m
j
∑ ∏ 定理 2.2 设{Ut , m}为如下定义的随机序列 Ut , m =εt +
φt -k +1 εt-j , m =1 , 2 , …
j =1 k =1
其中{εt}、{et }如模型(1 .1)中所述 , 令
λ= E φ2t
=e a+δ22 ,
∑ ∑ 2
n2
n-1 t =1
n-1 s =t+1
σ4(Eφt )2 λs-t (1 -λ)2
+
(2 .3)
∑ ∑ 2 n-1 n-1 2σ4(Eφt )2 λs-t-1
n2 t =1 s =t+1
(1 -λ)
(2 .4)
因为 0 < λ<1 , 所以 , 当 n ※ ∞时 ,(2.1), (2.3), (2.4)皆趋近于 0 .
E φ2t+1
E x 4t
+
σ2 n2
n-1
E x 2t
t =1
+n22
n -1 t =1
n -1
[
s =t +1
E(φt +1 φs+1 x2t
x2s)+E(εt+1 xt
·
φs+1 x2s)]
.
把 xs 的展开式代入上式 , 则得 :
E(φt+1 φs+1 x2t x 2s)= Eφs+1[ Eφ2s] s-t-1E φ3t +1 ‖ xt ‖44 +σ2 R(1)Eφt(1 +λ+ … +λs-t -1)=
E(φt +1 x2t · φs+1 x2s)+E(εt+1 xt · φs+1 x2s)]
=
∑ ∑ 2
n2
n-1 t =1
n-1
(Eφt)(Eφ3t )‖xt
s =t+1
‖44
λs-t -1
+
(2 .1)
∑ ∑ 2
n2
n-1 t =1
n-1 s =t+1
σ4(Eφt )2 (1 -λ)2
-
(2 .2)
声 , 且 E(εt)=0 , E(ε2t)= σ2 , E(et)=0 , E(e2t )= δ2 , 若 a +δ2 <0 , 则有
∑ 1
n2
R(0)-R(0) R(1)-R(1)
d N 0,
＊ 1
.
∑ ∑ 其中 1＊是 2 ×2 对称矩阵 , 其元素为定理 2.2 中 1 相应元素的极限值 .
σ2 B=
σ2e
a 2
+δ82
.
1 +δ42ea +δ42
-
δ22e
a 2
+δ82
证明 由定理 2.1 之后说明及引理 1.1 即得 .
— 25 —
南京师大学报(自然科学版)
第 25 卷第 4 期(2002 年)
[ 参考文献]
[ 1] 华玉弟 , 杜秀丽 , 陈 浩球 .随机 AR(1)-MA(1)模型的 参数矩 估计及 其相容 性[ J] .东 南大学 学报(自然 科 学版), 2000 , 30(2):148— 153.
引理 1.1[ 2]
设 r
阶方阵Qn 为随机矩阵 , 当
n
※ ∞时 , Qn
依概率收敛
于常数阵
Q
,
又设
※
xn
※
※
※
为 r 维随机向量序列 , 当 n ※ ∞时 , x n 的分布渐近于正态分布N(0 , A), 则随机向量y n =Qn x n
的分布渐近于正态分布 N(0 , QAQ′).
2 相关定理
=Cov(U1t+, mδ[ i-1]
Uδt[+i1-, 2m]
,
U1t++δk[,
j-1] m
Uδt[+jk-+2]1, m ), 其中
δ[ i]
为 kronecker 函数 .
证明方法参见文献[ 3] 中定理 2.1 .
定理 2.3 设{xt}如模型(1.1)所描述 , 其中{εt}和{et}为相互独立的 i .i .d 的 Gauss 白噪
Ex2t · σ2
t =1
= n12(n
-1)R(0)σ2
n ※∞
0,
所以 ER2(1) n ※ ∞ R2(1), 即 R2(1)是 R2(1)的渐近无偏估计 .
证毕 .
从定理 2 .1 的结论出发 , 在 R 2(1)处对 lnR 2(1)进行泰勒展开 :
一般情况下 : lnx
=lna
+
1 a
(x
[ 责任编辑 :刘健]
(上接第 22 页)
[ 参考文献]
[ 1] 金茂源 .一类线性规划逆问题及解法[ J] .应用数学学报 , 1999, 22(2):284— 291 . [ 2] 刘家壮 .社会主义市场经济的数学问题初探[ J] .经济数学 , 1993,(1):9— 13. [ 3] Zhang Jianzhong , Lin Zhenhong .Caculating some inverse liner programming problem[ J] .Journal of Computational and