§10 应力应变分析及应力应变关系

2
同样有
2 x tan 2 x y
即（10.3）式
故，主平面上的正应力达到极值
即主应力分别对应于的极大值和极小值
从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体 以主平面为单元体的各面则称为主单元体 y
y
y
主单元体的各表面上只 有正应力，没有切应力
x

P1
P2
工程力学（C）
(23)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
§10 应力应变分析及应力应变关系
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述 用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的 内力分量：FN , FS , T , M ——截面分布内力系向截 面形心简化后的等效力系 y x F
某点有一个主应力为零——该点为二向应力状态
某点有二个主应力为零——该点为单向应力状态，简 单应力状态 某点处所有截面上的正应力，其极大值为1， 极小值为3
单向、双向、三向应力状态
2 .某点单元体的最大切应力 由斜面应力公式 (10.2) 求导
x y
2 sin 2 x cos 2
y 可简化为平面单元体： y y yx y yx xy xy x x x xy x xy x yx yx z y y
x
例如当物体的表面不受力时在表面 取出的单元体
例如外力作用在板平面内的薄板内任意点 取出的单元体
1.平面应力状态的工程表示方法 应力分量的正负号规定： y 正应力 x ， y 以拉为正 y 切应力 x ， y 以使单元体顺
y
x
x
时针转动为正 x 故切应力互等定理为：
x
y
x
y
x y
2. 平面应力状态分析——解析法 若某点的应力状态已知，可求出该点任意 外法线与为n的斜截面上的应力分量。
已知：某点单元体上的应力分量 x , y , x 求该点外法线为n的斜截面——面上的正应力 ,
2
cos 2 x sin 2
（10.1）
(10.2)

y
x y
2
sin 2 x cos 2
n x
y
x
x

y
y x
x
y
§10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力
1. 主平面 主方向 主应力
在变形体内某一点处：
若某一方向的斜截面上 0 ，则该截面称为主平面 该斜截面的方向角称为主方向，记为P， 则有 (10.2) 主方向公式
切应力 。 沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dA Fn 0 dA x (dAcos ) cos x (dAcos ) sin y (dAsin ) sin x (dAsin ) cos 0
y n
x y
R
FN
T
FS
z
M
MC
为正确描述变形，应在 该截面上的每一点，描 述内力的状况。
F N 在P点取面元A，A上分布内力合力为 F FS 在 m-m截面上P点处定义： F FS FN m-m截面上P FN lim A 0 A 点的正应力 A

p

A
FS m-m截面上P点的 lim A0 A 切应力（剪应力） F m-m截面上P p lim A 0 A 点的全应力
故三个主应力分别为 1 90Mpa, 2 0, 3 10Mpa
例题
例 题 1
§10 应力应变分析与应力应变关系
60 3 求主方向： tan 2 P 80 4
P1 18.45
P 2 71.55

18.45
x

71.55
x
x
§10.5 应力圆 一点处平面应力状态的图解法。由斜面应力公式可得 y x y x y cos 2 x sin 2 (a) 2 2 y y x y sin 2 x cos 2 (b) x 2
x
x
对平面应力状态，z平 面也为一个主平面， 其上的主应力为零。
故平面应力状态有三个 主应力：
按代数值大小排列为

1 2 3
分别称为第一主应力，第二主应力，第三主应力，
对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂 直的主平面及三个主应力。 一般应力状态的分类； 某点的三个主应力全不为零——该点为三向应力状态
应力的单位：1Pa=1N/m2 1Mpa=106Pa 1Gpa=103Mpa=109Pa
2. 变形体内某一点的应力状态——应力张量的概念 正应力、切应力（或全应力）——均与过物体内部的某 一点的一个截面有关 过物体内部某点 p的所有截面上的应力分 量的总体，称为变形体在该点的应力状态 描述变形体内部某点的应力状态，应用二阶张量描述
x y x y 2 主应力公式 （10.4) x 2 2 x y x y cos2 x sin 2 由斜面应力公式（10.1） 2 2 x y d 2 sin 2 2 x cos 2 0 令 d 2
若记x=1,y=2,z=3,则
11 12 13 ~ 21 22 23 32 33 31
3.单元体的平衡条件 以单元体为分离体,过其形心C作xC,yC,zC轴：
M
zC z zx
zC
0,
M
yC
0,
M
xC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
y
x
y
x y
2 ,
(
为圆心C 以CDx为半径画出应力圆 Dx x , x R
C O
x y
2
圆心 (
0)
x y
2 )
2 2 x

圆的半径： R
Dy y , x


应力圆的物理意义： 圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上 的正应力和切应力 角以逆时针为正 y
2
1
3 P 3所在平面
3 P1 所在平面
3
P 2 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向 的角平分线方向。 3 = ？ 思考题：最大切应力所在 1 平面上的正应力是多少？ max 2
例题
例 题 1
§10 应力应变分析与应力应变关系
已知初始单元体的应力(单位：Mpa)， 求主单元体上的应力并画出主单元体。 解： 由初始单元体上的应力分量
45º
S
P x
Pi
d ( x y ) cos 2 2 x sin 2 0 d

2 x cot 2 S tan2 P x y

上式的两个解S1， S2为切应力达到极值的平面
S与主平面P相差45º ，即P1与P2的角平分线 方向为S1和 S2的方向。切应力的极值为： Pi
x y
2 sin 2 x cos 2 0
2 x tan2 P x y
（10.3）
0~2内，得两个值 P1 和 P 2 ，且 P 2 P1 90
即这两个主平面相互垂直
主平面上的正应力称为主应力 将P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主应力为：
2
x y
2
cos 2 x sin 2
y
x
x

y
y x
x
y
x
x x

n

同理
t
x y sin 2 x cos2 2
F 0 可得：
t
y y
斜面应力公式
x y
2
x y
y
x
x
y
y x
y

( , ) 2
Dx x , x
R
C
x
x
O
x y
2

Dy y , x


因此，当 连续变化至 时，坐标 , 绕应力圆的圆心转一周. 应力圆上一点，由 Dx 绕圆心转过 面上的应力 ,
y
x
x
上两式两边平方后相加

y
2 2
x y
2
2
2
x y 2
,
2

x y
2
R
2
圆的方程：圆心 (
x y
2 x
圆的半径： R
2
同理，某点的三个主应力中，任意二个主 注意 应力都可找出一组切应力极值，分别为： 2 3 1 3 1 2 主切应力 P1 P2 P3 2 2 2 该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即
max
2
1
1 3
2 2
1
（10.5）
§10.2应力张量的表示方法（分量表示法）
1.单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体 z 单元体是变形体 的最基本模型 y x 单元体的三对表面： 正面：外法向与坐标轴同向 负面：外法向与坐标轴反向 x z y
2.应力张量的表示方法 单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力 矢量（全应力），可分解为三个分量 每对表面上的应力矢量互为反作用力，共9个分量 各应力分量的记法 z zx
0
zz zy
xy yx
yz yy yC y
xz zx
zy yz
xz xy
x
xC
切应力互等定理
ij ji
xx
yx
故应力张量为二阶对称张量
9个分量中，只有6个独立分量！
§10.3 平面应力状态分析
若某点的单元体应力状态满足： 9个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在 同一平面内——称为平面应力状态或二向应力状态
y
30
x
80
2 x
2
x 80MPa y 0 x 30MPa
代入主应力公式：
x y x y 2 2
90 2 2 MPa 40 40 30 40 50 10


2 角，对应 截
y
y

( , ) 2
Dx x , x
x
x
y
y x
y
R
C
x
x
O
x y
2

Dy y , x


从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力
, ,0 1, 2 , 3
主方向： P1 , P 2 , z 方向
zz zy
xy
该分量的指向
z
xz xy
yz
所在面的法向
xx
yx
yy
y
yy
x 两脚标相同——正应力 两脚标不同——切应力
yz zy
x
yx xy xx xz
zx
y
zz
故应力张量的分量表示为：
xx xy xz x xy xz ~ ~ y yz 或 yx yy yz yx zx zy zz zx zy z x xy xz ~ 或 yx y yz zy z zx
(
2 x y
2
0)
2 )2 x
上式在应力坐标系 中为一圆，称为应力圆(莫尔圆)
应力圆的画法： 已知某点的平面应力状态为 x , y , x y 两点连线与 x面坐标 D （ x , x ）
y
x
x
y x
y面坐标 Dy（ y , x） x
轴的交点