3.5 标准正交向量组

是 R4 的一个标准正交基
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定理2：设e1, e2, …, er 是V 的标准正交基，则 V 有 α = [α, e1] e1 + [α, e2] e2 + … + [α, er] er
证明过程与定理1类似 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar


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2 定义2：令 || x || [ x, x] x12 x2
2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：

非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
内积性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：

对称性： [x, y] = [y, x]． 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
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求标准正交基的方法——施密特正交单位化
基 正交基 标准正交基
设1 , 2 ,
, r 为向量空间V 的一个基
（1）正交化：取1 =1
1 , 2 2 2 1 1 , 1 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 3 3 1 2 [1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
5. 方阵A 为正交阵 A的行(列)向量都是单位向量且两两正交
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称[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn为向量 x 和 y 的内积
注：1.内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一
个实数．
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
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2.内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时，
[ r 1 , r ] r 1 [ r 1 , r 1 ]
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[1 , r ] [ 2 , r ] r r 1 2 [1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
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（2）单位化，取
1 2 e1 , e2 , 1 2
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四、正交矩阵 定义6：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E，称矩阵 A 为 正交矩阵，简称正交阵 注：1. 正交矩阵可逆，即A−1 = AT
2. 正交矩阵的行列式必为1或-1
3. 若A 为正交矩阵，AT也是正交矩阵
4. 若A,B 为n 阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵
从而 k1 = 0
同理可证，k2 = k3 = … = kr =0 综上所述， α1, α2, …, αr 线性无关
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三、施密特正交单位化 定义5：若两两正交的单位向量组构成向量空间的基， 则称它们为标准正交基 如：
1 0 0 0 0 1 0 0 1 ,2 ,3 ,4 0 0 1 0 0 0 0 1
内容提要

向量组的线性表示
向量组的线性相关性
向量组的秩与极大线性无关组
向量空间

标准正交向量组
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§5
一、向量的内积
标准正交向量组
x1 y1 x y x 2 , y 2 , 定义1：设有n 维向量 xn yn
称两两正交的不含零向量的向量组为正交向量组
注：零向量与任何向量都正交
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定理1：正交向量组必线性无关
证明：设α1, α2, …, αr 是正交向量组，存在k1, k2, …, kr
使得 则 即 k1α1 + k2α2 + … + kr αr = 0 [α1, k1 α1 + k2 α2 + … + kr αr]= [α1, 0] =0 k1 [α1, α1] + k2 [α1, α2] + … + kr [α1, αr]=0 k1 [α1, α1] = 0
那么 e1 , e2 ,
r , er r
, er 为V 的一个标准正交基
1 1 4 例2：设 1 2 , 2 3 , 3 1 ，把这组 1 1 0 向量正交单位化
T 1 1 =（1， 2， -1）
第二步单位化，令
1 1 1 3 1 2 1 1 1 e1 2 ，e2 1 ，e3 0 || 1 || || 2 || || 3 || 6 3 2 1 1 1
为 n 维向量 x 和 y 的夹角．
T
4 二、正交向量组
例1 ：求向量 1, 2, 2, 3 与 3,1,5,1 的夹角 18 2 cos 解： 3 26 2 .
T
定义4：当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0． 齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
x+y y y x
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三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
[ x, y] 定义3：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，称 arccos || x || || y ||
解：第一步正交化，取
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Leabharlann Baidu
1 1 1 [1 , 2 ] 4 5 2 2 1 3 2 1 [1 , 1 ] 1 6 1 3 1 4 1 1 1 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 1 5 3 3 1 2 1 2 1 2 0 [1 , 1 ] [ 2 , 2 ] 0 3 1 3 1 1