高考数学一轮复习 探究课1 文
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解析 要使函数 f(x)=ln x+ 1-x有意义,则x1>-0x, ≥0, 解 得 0<x≤1,即函数定义域是(0,1]. 答案 (0,1]
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探究提高 已知函数解析式求解函数定义域的关键在于把握 函数解析式的结构特征,准确列出使得解析式的每一部分都 有意义的不等式(组),则不等式(组)的解集就是该函数的定义 域.常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子:分式、 根式、对数式.求函数定义域时要注意:(1)分式的分母不为 零;(2)偶次方根的被开方数非负;(3)对数的真数大于 0;(4) 实际问题中的自变量必须符合实际意义等.另外,还应注意 指数式与正切式中自变量取值的限制条件,如零次幂的底数 不为零;正切函数 y=tan x 中,x≠kπ+π2(k∈Z).
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热点突破Hale Waihona Puke Baidu
【训练 3】 (2014·山东实验中学诊断)下列函数:①f(x)=1x; ②f(x)= -x;③f(x)=2-x-2x;④f(x)=-tan x.其中在其定 义域内,既是奇函数又是减函数的是________(填序号).
解析 f(x)=1x在定义域上是奇函数,但不单调;f(x)= -x为 非奇非偶函数;f(x)=-tan x 在定义域上是奇函数,但不单调. 答案 ③
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核心点 3 函数性质的综合应用 【例 4】 (1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)
单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________. (2)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R,都有 fx+32=-f(x),且当 x∈0,32时,f(x)=log2(2x+1),则 f(- 2 015)+f(2 013)=________.
故 f(x)=l2o×g33xx,2+x2≥,0,x<0, 所以 f(-2)=log3[(-2)2+2]=log36>0. f(f(-2))=f(log36)=2× =2×6=12.
答案 12
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• 探究提高 本题的难点有两个,一是准确 理解分段函数的定义,自变量在不同取值范围 内对应着不同的函数解析式;二是对数与指数 的综合运算问题.
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【训练
2】
(2014·珠海模拟)函数
y
=
x+10 2x+1
的定
义
域
为
________.
解析 由x2+x+1≠ 1>0, 0, 得 x∈-12,+∞.
答案 -12,+∞
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核心点 2 基本初等函数性质的判断 【例 3】(2014·福建卷改编)已知函数 f(x)=xco2+s x1,,xx≤>00,, 给 出下列结论:①f(x)是偶函数;②f(x)是增函数;③f(x)是周期 函 数 ; ④ f(x) 的 值 域 为 [ - 1 , + ∞) . 则 上 述 结 论 正 确 的 是 ________(填序号).
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解析 ①,f -π2=cos -π2=0,而 f π2=π22+1=π2+4 4, 显然 f -π2≠f π2,所以函数 f(x)不是偶函数,①错. ②,当 x>0 时,函数 f(x)单调递增,而 f(x)=cos x 在区间 (-2π,-π)上单调递减,故函数 f(x)不是增函数,②错. ③,当 x>0 时,f(x)=x2+1∈(1,+∞),对任意的非零实数 T,f(x+T)=f(x)均不成立,故该函数不是周期函数,③错. ④,当 x>0 时,f(x)=x2+1∈(1,+∞);当 x≤0 时,f(x)= cos x∈[-1,1].故函数 f(x)的值域为[-1,1]∪(1,+∞),即[- 1,+∞),所以该项正确.
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【训练 1】 已知 f(x)=-fxc+os1π+x1,,xx>≤0,0, 则 f 43+f -43 的值等于________. 解析 f 43=12,f -43=f -13+1=f 23+2=52,f 43+ f -43=3.
• 答案 3
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• 热点二 函数性质的三个核心点 • 函数的性质是基本初等函数最核心的知识,
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•答案 ④
•探究提高 (1)函数单调性的实质就是自变量与 函数值的变化是否同向.判断函数单调性的方法 主要有:定义法、导数法和图象法,而判断复合 函数单调性主要依据——同增异减的规律.(2) 判断函数奇偶性主要是利用定义法,即先判断其
定义域是否关于原点对称,然后判断f(-x)与 f(x)的关系,若两者相等,则为偶函数;若两者 互为相反数,则为奇函数.(3)若f(x)为周期函 数,则存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对定 义域内的每一个自变量x都成立.
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• 热点一 分段函数求值问题 • 解决此类问题的关键是要根据分段函数的
定义,求解函数值时要先判断自变量的取值区 间,然后再代入相应的函数解析式求值,在求 值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值.
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【例 1】 设 f(x)=l2o×g3tx+2+1tx,,xx≥<00, 且 f(1)=6,则 f(f(- 2))的值为________. 解析 ∵1>0,∴f(1)=2×(t+1)=6, 即 t+1=3,解得 t=2.
•高考导航 函数作为高中数学的基础内容之一, 在各个知识间起到“中枢”的作用,其概念与性 质在高考中,主要考查函数的表示方法(图象、 解析式)、分段函数、单调区间、最值的求解, 函数的奇偶性和周期性的判断,以及函数性质的 综合运用等,试题的难度不大;函数的应用体现 了新高考考查应用的理念,在高考中主要体现在 函数零点个数的判断、零点取值范围、函数零点 与函数图象、方程的解等问题上.构建函数模型 解决实际问题是函数模精型品课件应用考查的热点、重
主要包括:函数的单调性、周期性、奇偶性、 有界性,以及函数图象的对称性、函数的定义 域和值域等.对于函数性质问题,重在灵活运 用,巧妙构建,便可实现函数问题的巧思妙 解.
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• 核心点1 已知函数解析式求函数定义域
【例 2】 (2015·南京、盐城模拟)函数 f(x)=ln x+ 1-x的定 义域为________.
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探究提高 已知函数解析式求解函数定义域的关键在于把握 函数解析式的结构特征,准确列出使得解析式的每一部分都 有意义的不等式(组),则不等式(组)的解集就是该函数的定义 域.常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子:分式、 根式、对数式.求函数定义域时要注意:(1)分式的分母不为 零;(2)偶次方根的被开方数非负;(3)对数的真数大于 0;(4) 实际问题中的自变量必须符合实际意义等.另外,还应注意 指数式与正切式中自变量取值的限制条件,如零次幂的底数 不为零;正切函数 y=tan x 中,x≠kπ+π2(k∈Z).
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【训练 3】 (2014·山东实验中学诊断)下列函数:①f(x)=1x; ②f(x)= -x;③f(x)=2-x-2x;④f(x)=-tan x.其中在其定 义域内,既是奇函数又是减函数的是________(填序号).
解析 f(x)=1x在定义域上是奇函数,但不单调;f(x)= -x为 非奇非偶函数;f(x)=-tan x 在定义域上是奇函数,但不单调. 答案 ③
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核心点 3 函数性质的综合应用 【例 4】 (1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)
单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________. (2)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R,都有 fx+32=-f(x),且当 x∈0,32时,f(x)=log2(2x+1),则 f(- 2 015)+f(2 013)=________.
故 f(x)=l2o×g33xx,2+x2≥,0,x<0, 所以 f(-2)=log3[(-2)2+2]=log36>0. f(f(-2))=f(log36)=2× =2×6=12.
答案 12
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• 探究提高 本题的难点有两个,一是准确 理解分段函数的定义,自变量在不同取值范围 内对应着不同的函数解析式;二是对数与指数 的综合运算问题.
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【训练
2】
(2014·珠海模拟)函数
y
=
x+10 2x+1
的定
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域
为
________.
解析 由x2+x+1≠ 1>0, 0, 得 x∈-12,+∞.
答案 -12,+∞
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核心点 2 基本初等函数性质的判断 【例 3】(2014·福建卷改编)已知函数 f(x)=xco2+s x1,,xx≤>00,, 给 出下列结论:①f(x)是偶函数;②f(x)是增函数;③f(x)是周期 函 数 ; ④ f(x) 的 值 域 为 [ - 1 , + ∞) . 则 上 述 结 论 正 确 的 是 ________(填序号).
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解析 ①,f -π2=cos -π2=0,而 f π2=π22+1=π2+4 4, 显然 f -π2≠f π2,所以函数 f(x)不是偶函数,①错. ②,当 x>0 时,函数 f(x)单调递增,而 f(x)=cos x 在区间 (-2π,-π)上单调递减,故函数 f(x)不是增函数,②错. ③,当 x>0 时,f(x)=x2+1∈(1,+∞),对任意的非零实数 T,f(x+T)=f(x)均不成立,故该函数不是周期函数,③错. ④,当 x>0 时,f(x)=x2+1∈(1,+∞);当 x≤0 时,f(x)= cos x∈[-1,1].故函数 f(x)的值域为[-1,1]∪(1,+∞),即[- 1,+∞),所以该项正确.
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【训练 1】 已知 f(x)=-fxc+os1π+x1,,xx>≤0,0, 则 f 43+f -43 的值等于________. 解析 f 43=12,f -43=f -13+1=f 23+2=52,f 43+ f -43=3.
• 答案 3
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• 热点二 函数性质的三个核心点 • 函数的性质是基本初等函数最核心的知识,
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•探究提高 (1)函数单调性的实质就是自变量与 函数值的变化是否同向.判断函数单调性的方法 主要有:定义法、导数法和图象法,而判断复合 函数单调性主要依据——同增异减的规律.(2) 判断函数奇偶性主要是利用定义法,即先判断其
定义域是否关于原点对称,然后判断f(-x)与 f(x)的关系,若两者相等,则为偶函数;若两者 互为相反数,则为奇函数.(3)若f(x)为周期函 数,则存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对定 义域内的每一个自变量x都成立.
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• 热点一 分段函数求值问题 • 解决此类问题的关键是要根据分段函数的
定义,求解函数值时要先判断自变量的取值区 间,然后再代入相应的函数解析式求值,在求 值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值.
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【例 1】 设 f(x)=l2o×g3tx+2+1tx,,xx≥<00, 且 f(1)=6,则 f(f(- 2))的值为________. 解析 ∵1>0,∴f(1)=2×(t+1)=6, 即 t+1=3,解得 t=2.
•高考导航 函数作为高中数学的基础内容之一, 在各个知识间起到“中枢”的作用,其概念与性 质在高考中,主要考查函数的表示方法(图象、 解析式)、分段函数、单调区间、最值的求解, 函数的奇偶性和周期性的判断,以及函数性质的 综合运用等,试题的难度不大;函数的应用体现 了新高考考查应用的理念,在高考中主要体现在 函数零点个数的判断、零点取值范围、函数零点 与函数图象、方程的解等问题上.构建函数模型 解决实际问题是函数模精型品课件应用考查的热点、重
主要包括:函数的单调性、周期性、奇偶性、 有界性,以及函数图象的对称性、函数的定义 域和值域等.对于函数性质问题,重在灵活运 用,巧妙构建,便可实现函数问题的巧思妙 解.
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• 核心点1 已知函数解析式求函数定义域
【例 2】 (2015·南京、盐城模拟)函数 f(x)=ln x+ 1-x的定 义域为________.