分部积分法

x 1
x(1
xe
x
dx )
( xe
x x (1
1)e x xe
x
dx )
1 t(1
t
)
dt
ln t ln(1 t) C
x ln x ln(1 xex ) C
令 t xe x
例11 求积分 x arctan x dx. 1 x2
解 1 x2 x , 1 x2
sec3
xdx
1 2
sec
x
tan
x
1 2
ln(sec
x
tan
x)
C
例8 sinn xdx (n N )
解 sinn xdx sinn1 xd cos x
sinn1 x cos x cos2 x(n 1)sinn2 xdx
sinn1 x cos x (n 1) sinn2 xdx
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
注：本题也可令 t ln x
分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C
例6 求积分 e x sin xdx.
解 xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) f ( x)dx,
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
解（一） 令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
x2 cos x 2
x2 sin
2
xdx
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
ex2
C.
二、小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
思考题
在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？
思考题解答
注意前后几次所选的 u 应为同类型函数.
例 e x cos xdx
第一次时若选 u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
例9
arctan ex
e
x
dx
解一 令 u e x
arctan ex
e
x
dx
arctan u
u
1 u
du
arctan
ud
(
1) u
1 u
arctan
u
1 u
1
1 u2
du
1 u
arctan
u
[1 u
1
u u2
]du
1 arctan u ln u 1 ln(1 u2 ) C
u
2
t cot t cot tdt
t cot t ln sin t C ex arctan e x ln e x C
1 e2x
ex arctan e x x 1 ln(1 e2x ) C 2
例10
x1 x(1 xe
x
dx )
[分析] 需要将 xe x 作为整体来考虑
解 分子分母同乘以 e x
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
第二次时仍应选 u2 sin x
ex arctan e x x 1 ln(1 e2x ) C 2
解二 直接分部积分
arctane x e x dx
arctane xdex
ex arctane x
e
x
1
ex e2
x
dx
ex arctan e x
1
1 e
2
x
dx
对
1
1 e2
x
dx
分子分母同乘以 e x
1
ex
cos
x
2
sin xdex
1
ex
cos
x
2
ex
sin
x
2 2
ex cos xdx
ex
cos
xdx
ex
2
2
[
cos
x
sin
x]
C
类似地有
ex
sin
xdx
ex
2
2
[
sin
x
cos
x]
C
例 13 已 知 f ( x) 的 一 个 原 函 数 是 ex2 , 求
xf ( x)dx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
例7 sec3 xdx 解 sec3 xdx sec xd tan x
sec x tan x tan2 x sec xdx
sec x tan x sec xdx sec3 xdx
sec x tan x ln(sec x tan x) sec3 xdx
公式就可使被积函数降次、简化、代数化、
有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。
例5 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
注 分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置
分部积分公式的作用：当左边的积分 udv 不易求得，而右边的积分 vdu 容易求得
利用分部积分公式——化难为易
例1 求积分 x cos xdx .
分部积分法
前面我们在复合函数微分法的基 础上，得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法——分部 积分法，它是两个函数乘积的微分法 则的逆转。
一、基本内容
问题 xe xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
[1 t
1
1
t
]dt
1[ln t ln(1 t)] 2
解三 彻底换元
令 t arctan e x 则 x ln tan t
dx 1 sec2 tdt tan t
arctan ex
e
x
dx
t 1 sec2 tdt tan t tan t
t
1 sin 2
t
dt
td cot tdt
x sin x cos x C.
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是：
（1）积分容易者选为v （2）求导简单者选为u
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tan t
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t
2
2
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.这样使用一次分部积分
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）u x, e xdx dv
x2e x 2( xe x e x ) C.
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx.
(n 1) sinn xdx
sinn xdx 1 sinn1 x cos x n 1 sinn2 xdx
n
n
若设 In sinn xdx 则上述计算公式可表为
In
1 sin n1 n
x cos
x
n
n
1
I
n2
——递推公式
反复使用递推公式，最后归结为求 sin x
的一次幂或零次幂的不定积分
sec tdt
ln(sec t tan t) C ln( x 1 x2 ) C
x
arctan 1 x2
x
dx
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C .
例12 ex cos xdx
解 ex cos xdx 1 cos xdex
1 ex cos x ex sin xdx
1 1 e2x dx
ex
e
x
(1
e
2
x
dx )
令 u ex
u(1
1
u2
du )
ln u 1 ln(1 u2 ) 2
或 分子分母同乘以 e2x
1
1 e2
x
dx
e
2
x
e (1
2x
e
2
x
)
dx
1
2
e
2
x
1 (1
e
2
x
d )
(e
2
x
)
令 t e2x
1 2
t
1 来自百度文库1
t
)
dt
1 2