直角三角形知识点回顾

直角三角形知识点回顾-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

知识点回顾

知识点一：直角三角形的概念与性质

1．有一个角是的三角形叫做直角三角形；

2．直角三角形的两个锐角；

3．直角三角形斜边上的中线等于的一半.

例1．（2009湖北省荆门市）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB =

（）

A、40°

B、30°

C、20°

D、10°

解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，

∴∠B=90°－50°=40°

由折叠得∠DA′C=∠A=50°，

∵∠DA′C=∠B+∠A′DB

∴∠A′DB=50°－40°=10°，选D.

例2．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积是

cm2.

解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm.

∴直角三角形的面积是

2

1×24×10=120cm2.

同步检测一：

1．（2009年湖南省郴州市）如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度．

2．如图3，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，若

BC

= .

A'

B

D

A

C

（图1）

A

B

E D C

（图3）

知识点二：勾股定理

直角三角形 的平方和等于 的平方．

例3．（2009年四川省宜宾市）已知：如图4，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积和为 ． 解：过点E 作ED ⊥AB 于点D ，可证得ED =2

1AB ， ∴ED AB S ABE ⨯⨯=∆2

1=4

1AB 2， 同理AHC S ∆=4

1AC 2，BFC S ∆=4

1BC 2，

从而图中阴影部分的面积和为4

1（AB 2+ AC 2+ BC 2） =4

1（AB 2+ AB 2）=2

9.

例4．（2009年湖南省衡阳市）如图5，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 （ ）

A 、1

B 、3

4 C 、2

3

D 、2

解：Rt △DAB 中，BD =54322=+， 设AG =x ，则BG=4－x

由折叠得A ′D =AD =3，A ′G =AG =x ，∠DA ′G =∠A =90°， ∴A ′B =BD －A ′D =5－3=2，∠GA ′B =90°， 从而Rt △GA ′B 中，x 2+22=（4－x ）2. 解得x =2

3，选C. 同步检测二：

3．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 .

4．（2009年四川省达州市）如图6是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、 2、3，则最大正方形E 的面积是 （ ）

（图5）

A

B C

D

A′

G

（图4）

B

H

F E

A

C

（图6）

A 、13

B 、26

C 、47

D 、94★5．（2009年黑龙江省哈尔滨市）若正方形ABCD 的边长为4，

E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点

F ，且BF ＝AE ，求BM 的长. 知识点三：直角三角形的判定方法

1．根据定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形；

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C =90°.

例5．（2009年湖南省衡阳市）如图7，A 、B 、C 分别表示三个

村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义 新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位 置应在 （ ） A 、AB 中点 B 、

BC 中点

C 、AC 中点

D 、∠C 的平分线与AB 的交点

解：显然到A 、B 、C 三个村庄距离相等的点P 应该是AB 、BC 、AC 三边垂直平分线的交点.

又∵BC 2+AC 2=6002+8002=1000000；AB 2=10002=1000000 ∴BC 2+AC 2=AB 2， ∴∠ACB =90°,

由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P 的位置应在AB 的中点处，选A.

例6．如图8，点P 是等边△ABC 内的一点，分别连接PA 、PB 、PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接CQ .

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若PA ∶PB ∶PC =3∶4∶5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由. （1）答：AP =CQ

证：∵△ABC 为等边三角形 ∴AB =BC ，∠ABC =60°

B

A

C （图7）

（图8）