均匀设计

两类均匀表的说明

Un表最后一行为各因素最高水平的组合，将最后 一行划去，相当于减少一个水平，此时便得到了 水平数少1的U*n表

在实际应用中，当某些因素的最高水平相遇时， 实验无法进行。如某些化学反应中，最高水平相 遇会发生爆炸

通常U*n表有更好的均匀性，应优先选用 当实验次数n给定时，通常Un表比U*n表能安排更 多的因素。故当因素个数较多，且超过U*n表的 使用范围时可使用Un表


均匀性的度量

均匀设计表的均匀度用偏差（discrepancy）来度 量，用D表示偏差 偏差值越小，表示均匀度越好 偏差可对任意均匀设计表中的任意二列、任意三 列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作 为使用列，从而形成使用表


均匀设计表的使用表
均匀设计表 U7（7 ）的使用表 因素个数 2 3 4 列号 1，3 1，2，3 1，2，3，6 D 0.2398 0.3721 0.4760

四、均匀设计的实施步骤

第一步，在确定了因素及其水平之后，根据因素 数及各因素的水平数选择合适的均匀表 第二步，根据该均匀表的使用表从中选出最合适 的列号，使得偏差最小，将因素分别安排到这些 列上，此时不需要考虑因素之间的交互作用


第三步，根据设计好的表头，将标有单个实验 因素的那些列连同其下的“水平代码”一起摘 录出来 第四步，结合实验因素各水平的具体内容，将 摘录出来的各列的“水平代码”转换成“真实 代码”（即实验因素的真实水平），并按均匀 表各行所决定的实验条件进行具体实验

用 1，3 列 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1 1
用 1，6 列
2
3
4
5
6

均匀设计表任两列组成的实验方案一般并不 等价 上图中1，3两列的点散布比较均匀，而1，6 两列的点散布并不均匀 均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不 同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加 的使用表源自香港浸会学院生物系的一项实验：
为了研究环境污染对人体的危害，考核六种金属 的含量:镉(Cd)，铜(Cu)，锌(Zn)，镍(Ni)，铬 (Cr)，铅(Pb)，每种金属含量分别取了17个水平 （百万分之一，ppm） 0.01,0.05,0.1,0.2,0.4,0.8,1,2,4,5,8,10,12,14,16,18,20
6

当实验次数固定时，随着列数（表中所安排的因 素个数）的增加，偏差增大 使用表说明，当U7（76）上在安排两个因素时， 第1、3列是最佳选择；安排四个因素，第1、2、3、 6列是最佳选择

均匀表的分类

同水平均匀表，各因素水平数相等
U5（53）、U7（74）、U9（95）、U11（116）

混合水平均匀表，各因素水平数不等，由同水平均匀表 通过拟水平法生成

适用于原因变量取值范围大，水平多（一般不少 于5）的场合 主要用于全部因素为定量因素的实验研究场合


通常是对所研究的问题中诸因素及其交互作用的 重要性一概不知的大规模（或每做一次实验，费 用十分昂贵的）实验研究的场合，通过此设计进 行因素筛选 当因素和水平的数目缩小后，再改用正交设计或 析因设计，作详细研究


在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选 取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反应时间(C)三个 因素，它们各取了7个水平如下：
原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5
均匀设计
医学统计学教研室 柳伟伟 讲师

1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出 了一个五因素的试验，希望每个因素的水平 数要多于10，而试验总数又不超过50 如果每个因素取31水平，五个因素的全部水 平组合共有315=28625151个，若用析因设计， 试验次数至少是该数目的两倍


若用正交设计，至少需要做312=961次试验
4
均匀设计表 U*7（74） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 6 1 4 7 2 5 3 5 2 7 4 1 6 3 4 7 6 5 4 3 2 1
均匀设计表 U*7（74）的使用表 因素个数 2 3 列号 1，3 2，3，4 D 0.1582 0.2132
均匀设计表 U7（74）的使用表 因素个数 2 3 4 列号 1，3 1，2，3 1，2，3，4 D 0.2398 0.3721 0.4760
均匀设计表 U*6（6 ） 实验号 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 6 5 4 3 2 1
今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用） 对老鼠寿命的影响，观测指标为老鼠身上某种细 胞的死亡率


由于U*17(175)只有5列，最多能安排五个因素，故 选择U17(178)均匀表

根据U17(178)表的使用表，将六种金属，也就是六 个因素分别安排在该表的1、2、3、5、7、8列
均匀设计表 U17（178） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 4 8 12 16 3 7 11 15 2 6 10 14 1 5 9 13 17 3 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 17 4 9 1 10 2 11 3 12 4 13 5 14 6 15 7 16 8 17 5 10 3 13 6 16 9 2 12 5 15 8 1 11 4 14 7 17 6 11 5 16 10 4 15 9 3 14 8 2 13 7 1 12 6 17 7 14 11 8 5 2 16 13 10 7 4 1 15 12 9 6 3 17 8 15 13 11 9 7 5 3 1 16 14 12 10 8 6 4 2 17
希望实验次数尽可能的少，问如何安排实验？

根据因素和水平，选取均匀设计表U*7(74)或 U7(74) 由它们的使用表中可以查到，当因素数为3时， 两个表的偏差分别为0.2132和0.3721，故应当选 用U*7(74)来安排该试验 根据U*7(74)表的使用表，将A、B、C三个因素 分别安排在该表的2、3、4列
6
均匀设计表 U*6（66） 实验号 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1
均匀设计有其独特的布（实验）点方式：

每个因素的每个水平做一次且仅做一次实验 任两个因素的实验点画在平面的格子点上，每行 每列有且仅有一个实验点 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡 性”，即对各因素，每个因素的每个水平一视同 仁
均匀设计表 U17（178）的使用表 因素个数 2 3 4 5 6 7 列号 1，6 1，5，8 1，5，7，8 1，2，5，7，8 1，2，3，5，7，8 1，2，3，4，5，7，8 D 0.1099 0.1832 0.2501 0.3111 0.3667 0.4174
用 U17（178）均匀表安排环保实验的方案及结果 实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Cd 0.01 0.05 0.1 0.2 0.4 0.8 1.0 2.0 4.0 5.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 Cu 0.2 2.0 10.0 18.0 0.1 1.0 8.0 16.0 0.05 0.8 5.0 14.0 0.01 0.4 4.0 12.0 20.0 Zn 0.8 10.0 0.01 1.0 12.0 0.05 2.0 14.0 0.1 4.0 16.0 0.2 5.0 18.0 0.4 8.0 20.0 Ni 5.0 0.1 12.0 0.8 18.0 4.0 0.05 10.0 0.4 16.0 2.0 0.01 8.0 0.2 14.0 1.0 20.0 Cr 14.0 8.0 2.0 0.4 0.05 18.0 12.0 5.0 1.0 0.2 0.01 16.0 10.0 4.0 0.8 0.1 20.0 Pb 16.0 12.0 8.0 4.0 1.0 0.4 0.1 0.01 18.0 14.0 10.0 5.0 2.0 0.8 0.2 0.02 20.0

三、均匀设计表
因素数 均匀表的代号
U7(76)
因素的水平数
实验次数
均匀设计表 U7（7 ） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 1 3 5 7 3 3 6 2 5 1 4 7 4 4 1 5 2 6 3 7 5 5 3 1 6 4 2 7 6 6 5 4 3 2 1 7


用 U*7（74）均匀表安排阿魏酸合成实验 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 原料配比 （A） 3 6 1 4 7 2 5 吡啶量 （B） 5 2 7 4 1 6 3 反应时间 （C） 7 6 5 4 3 2 1
制备阿魏酸的实验方案 实验号 1 2 3 4 5 6 7 原料配比 （A） 1.8（3） 3.0（6） 1.0（1） 2.2（4） 3.4（7） 1.4（2） 2.6（5） 吡啶量 （B） 22（5） 13（2） 28（7） 19（4） 10（1） 25（6） 16（3） 反应时间 （C） 3.5（7） 3.0（6） 2.5（5） 2.0（4） 1.5（3） 1.0（2） 0.5（1） 收率 （Y） X X X X X X X
U6（3×2）、U6（6×2）、U8（8×2）、 U10（10×5）

不带*号的均匀表（Un）
U5（53）、U7（74）、U9（95）、U11（116）

带*号的均匀表（U*n）
U*6（64）、U*7（74）、U*8（85）、U*9（94）
均匀设计表 U7（74） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 1 3 5 7 3 3 6 2 5 1 4 7 4 6 5 4 3 2 1 7
Y1
17.95 22.09 31.74 39.37 31.90 31.14 39.81 42.48 24.97 50.29 60.71 67.01 32.77 29.94 67.87 55.56 79.57
Y2
17.65 22.85 32.79 40.65 31.18 30.66 39.61 41.86 24.65 51.22 60.43 71.99 30.86 28.68 69.25 55.28 79.43
Y3
18.33 22.62 32.87 37.87 33.75 31.18 40.80 43.79 25.05 50.54 59.69 67.12 33.70 30.66 67.04 56.52 78.48

某实验考察四个因素对农作物产量的影响， 四个因素中包含两个定量因素X1、X2和两 个定性因素A、B，希望尽可能的较少实验 次数，问如何安排实验
农作物产量实验的因素水平表 水
因
平 素
1 70 1 a1 b1
2 74 2 a2 b2
3 78 3 a3 b3
4 82 4 a4
5 86 5
6 90 6
7 94
8 98
9
10
11
12
X1（平均施肥量） X2 （种前浸种时间） A（土壤类别） B（种子品种）
一、均匀设计的概念

均匀设计是基于数论理论推导出来的一种实验设 计方法，其实验点在空间具有“均匀分散性” 均匀设计与正交设计很相似，它是以比正交设计 更少的实验次数来安排多因素多水平的一种多因 素实验设计方法


利用均匀设计表安排实验
二、均匀设计的应用场合

当实验中拟考察的因素很多，因素的水平也较多 时，即使用正交设计，仍感到实验次数太多，此 时可考虑选用均匀设计