高等数学_第二章导数与微分习题课讲解

解：因为 f ( x)在x 1处可导，所以 f ( x) 在x 1处连续；
lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
即 lim 2 1＝ lim ax b a b
x1 1 x 2
x 1
b 1 a.
f(1)

lim
1处可导，

ax

b,当x

1
试确定 a, b的值。
分析 此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以 a ,b 为未知量的方程。由已知条件 f ( x) 在分段点 x 1 处可导， 得一个方程 f(1) f(1)；又由函数在一点可导必要条件: f ( x)在 x 1处连续，得第二个方程 f (1 0) f (1 0) 。 解此联立方程组，可求出 a ,b 。
e
1 x 1 x

1
2
1 x (1 x) (1 x)
1 x
(1 x)2

1
1 x
e 1 x
(1 x)(1 x)3
【例7】求星形线

x
y

a a
cos 3 sin3
t在
t
t
3
4
处的导数
dy dx
|
t

3
4
。
解：
dx dt
|
t

3
4

解：方程两边对 x 求导得
3x2 3 y2 y 3cos x 6 y 0
将 x 0 代入上方程，得 3 y 2 (0) y(0) 3 6 y(0) 0 （1）
将 x 0代入原方程，得 y(0) 0
将（2）代入（1）中得
y(0)

1 2
。
（2）
【例9】求函数
二、极限、连续、可导与可微的关系
f (x)在x0处可导 f (x)在x0处连续
f (x)在x0处可微
lim f ( x)存 在
x x0
三、求导法则
1．四则运算求导法则
（1） [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x)
（2） [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) f ( x) g( x)
yx
sin x
所以 y x(sin x)cosx ( 1 sin x lnsin x cos x cot x) x
【例11】设 y
x( x 5) ( x 2 1)3
，求 y。
分析 y是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、
乘方形成的，应用对数求导法。
解：函数两边取对数得方程
项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出 y。
5．参数方程求导
参数方程
x

y
(t), (t),
( t ) 确定可导函数 y f ( x) ，则
dy (t) dx (t)
(t) (t)
d2y dx2

d( )
(t )
dx

3. f ( x)在 x0处可导的充分必要条件：
f ( x)在 x0处可导 f( x0 )与 f ( x0 )都存在， 且 f ( x0 ) f ( x0 ) 。
4. f ( x)在 x0处的可微定义： y Ax 0(x) dy Ax f ( x0 )x
x
,
0 ,
x 0 ，求 f ( )及 f (0) 。
x0
2
分析 当 x 0时，f ( x)是可导函数，且 f ( x)可利用求导公式
及求导法则求出，故求 f ( )应选用“先求f ( x) ，后求f ( x)
和
x


2
处函数值”的方法。而x

0
是分段函数的分段点，
2
因而应用导数定义求。
1 f ( y)
或
dy dx

1 dx
。
dy
3．复合函数求导法则 设 y f (u)及 u g( x)都是可导函数，则复合函数 y f (g(x)) 也是可导函数且 y( x) f [ g( x) ] g( x) 。
4．隐函数求导法则
由方程F( x, y) 0确定了y f ( x)，方程两端对 x 求导，在 求导过程中牢记 y是 x 的函数 ( y f (x)) ，方程中含有 y 的
d dx
(t)

d dt
(t)
dt dx

1 f (t)
【14】 求 y x ln x 的 n 阶导数.
解： y ln x 1 y 1 x 1 x
y (4) (1)(2)x 3 …
y x 2
y (n) (1)(2)((n 2)) x (n1) (1)n2 (n 2)! x (n1)
记
f
(n) (x)
dny dxn
。
五、典型例题
sin x, x 0
【例1】设 f
(x)
ln(1
x), x

，问 0
f(0),
f(0),
f
(0)是否存在？
分析 计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有
左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。
解：
f(0)

（3）

f (x) g( x)


f ( x) g( x) f ( x) g( x) g2(x)
(g( x) 0)
2．反函数求导法则
设 x f ( y) 在 I y 区间内单调、可导且 f ( y) 0，则其反
函数 y
f 1 ( x)在对应的 I x 内也可导，且[ f 1 ( x)]
d( )
(t )
dt
.
dt dx
d

(
(t
)
)
(t) . 1
dt dx
四、高阶导数定义及求导
dt
若函数 f ( x)的导函数 f ( x)仍然是可导函数，则将 f ( x)的
导函数叫做函数
f
( x) 的二阶导数。记作 f
( x)

y
d2y dx2
依此类推，函数 f (n1) ( x)的导函数叫做 f ( x)的n 阶导数。
x 1
f ( x) f (1)
2 /(1 x2 ) 1
(1 x2 ) /(1 x2 )
lim
lim
1
x1
x 1
x1
x 1
x1
f(1)

lim
x1
f ( x) f (1)
ax b 1
ax a
lim
lim
x1
x1 x 1
解：
当x
0
时，
f ( x) (sin2 x
x )
x sin2x sin2 x2
x

f
(
2
)


4
2
当
x

0
时， f
(0)

lim
f
( x)
f
(0)

lim
1 x
sin2
x
0

1
x0
x
x0
x
【例3】设
f (x)
2 1 x2
,当x
1
，已知
f
(x)
在x
第二章 导数与微分习题课
一、导数与微分的基本概念
1．导数定义:
f
(
x0
)

lim
x0
y x
lim h0
f ( x0 h) h
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
2．导数的几何意义:
f ( x0 )为曲线 y f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ))的切线斜率。
解：先求切点坐标. 将 y 0 代入曲线方程得 x 1
所以切点坐标为 1，0
再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对x求导，得
e xy y xy 2 y 0 将x 1, y 0代入上式, 得y 1 1
则所求切线方程为 y x 1
解：y earctan x
1
1 e arctan x
1
1 ( x )2 2 x
2 x(1 x)
1 x
【例6】设 y e 1 x ，求 y 。
1 x
解： y e 1 x (
1 x ) e
1 x
1 x
1 x
2
1 (1 x ) 1 x 1 x 1 x
x1 x 1
a
f(1) f(1)
a 1;b 2
【例
4】已知
sin x ,
f (x)

x,
x 0, x 0,
，求 f ( x) 。
解： 当 x 0 时，f ( x) (sin x) cos x ；
当 x 0 时， f ( x) ( x) 1 ；
当
x

0
时，
f(0)

lim
x0
f (x) x
f (0) lim
x0
x 1 x
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
sin x
lim
x x0
1
所以 f (0) 1
综上，
f
(
x)

cos 1,
x
,
x 0, x 0,
【例5】设 y earctan x ，求 y。
y

arctan
1 1

x x
的微分。
解：
y

1
1 1
x
2
1 1
x x

1 x
1 x2 1 x 1 x 1

21

x2
1 x2
1
1 x2
所以
dy ydx 1 dx 1 x2
【例10】设 y x(sin x)cosx，求 y。
分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。 解：应用对数求导法。函数两边取对数得
ln y ln x cos x lnsin x
方程两边对 x 求导得
y 1 sin x ln sin x cos x cos x
3a
cos 2
t
s in t
|
t

3
4


3a 22
dy dt
|
t

3
4

3a
sin2
t
cos
t
|
t

3
4


3a 22
dy
故
dy dx
|
t

3
4

dt dx
|
t

3
4

3a cos2 t sint 3a sin2 t cos t
|
t

3
4
1
dt
【例8】设y y( x)是由方程 x 3 y 3 sin3x 6 y 0所确定， 求 y(0) 。
【例13】
已知

x y

f (t) tf (t)
f
ห้องสมุดไป่ตู้(t)
,
设f
(t )存在且不为零,
求
d2 dx
y
2
解： 因为
dy dx
yt xt


f (t) tf (t ) f (t )
f (t) t
所以
d2y dx2

d dx
( dy ) dx

lim
x0
f (0 x) x
f (0)
sin x
lim
1
x x0
f(0)

lim
x0
f (0 x) x
f (0)
ln(1 x)
lim
1
x0
x
f(0) f(0) 1, f (0) 1.
【例2】设
f
(x)


1 x
sin2
ln y 1 ln x 1 ln(x 5) 3 ln(x 2 1)
2
2
2
方程两边对 x 求导得
y 1
1
3x
y

2x
2( x 5)
x2 1
所以
y
x( x 5) ( x3 1)3

1 2x

1 2( x 5)

x
3 2
1

【例12】设曲线方程e xy 2x y 3, 求此曲线上纵坐标 y 0 处的切线方程.