第二章 电磁场的基本规律 xtm2

V
EdV
0

V
dV
由于体积V是任意的， 所以有
E 0
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
15
3. 利用高斯定理计算电场强度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计 算电场强度。 具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： • 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。

V
dV
J t
恒定电流的连续性方程
恒定电流是无散场，电 流线是连续的闭合曲线， 既无起点也无终点
0 t
J 0、 J dS 0
S
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第2章
电磁场的基本规律
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2.2 真空中静电场的基本规律
静电场：由静止电荷产生的电场。
z
2.2.1 库仑定律 电场强度
电荷
（运动）
电流 磁场
电场
2.1.1 电荷与电荷密度
• 电子电荷：e =1.602 177 33×10-19 (单位：C ) 量子化概念，任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。 • 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故
可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。
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E 0
0
积分形式
微分形式

l
E dl 0
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第 2 章 电磁场的基本规律 2.2.2 静电场的散度与旋度
19
1. 静电场散度与高斯定理
静电场的散度（微分形式） (r ) E (r )
静电场的高斯定理（积分形式）
高斯定理表明：静电场是有散场，电力线起始于正电荷，终止
E (r ) 0
静电场的环路定理（积分形式） E (r ) dl 0
C
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。
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13
静电场高斯定理说明：
dS cos dS (r r ') d 3 2 R r r '
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第2章
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20
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
本节内容
2.3.1 安培力定律 磁感应强度 2.3.2 恒定磁场的散度与旋度
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
21
2.3.1 安培力定律 1. 安培力定律
磁感应强度
安培对电流的磁效应进行了大量 的实验研究，在 1821 —1825年之间， 设计并完成了电流相互作用的精巧实 验，得到了电流相互作用力公式，称 为安培力定律。 实验表明，真空中的载流回路 C1
S
r
0
a
r
0 V 1 q 4 3 2 4 r E πr 3 0 4π a 3 3 0r E （r < a） 3 0
E
a
r
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第2章
电磁场的基本规律
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环路定理说明：
由于
所以
1 r r ' 3 r r ' r r '
1 4 0
E (r )
根据上述定义，真空中静止点电
z
r
q
qR E (r ) 4π 0 R 3
R M
E
( R r r )
x
r
o
y
如果电荷是连续分布呢？
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第2章
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体密度为 (r ) 的体分布电荷产生的电场强度
(ri)ΔViRi E (r ) 3 4 π R i 0 i 1 (r ) R dV 3 4π 0 V R
内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。
Δq(r ) dq(r ) S (r ) lim ΔS 0 ΔS dS
单位: C/m2 (库/米2)
线分布：若电荷分布在细线上，仅仅考虑细线外，距….，则 Δq(r ) dq(r ) 单位: C/m (库/米) l (r ) lim Δl dl Δl 0
0

S
1 E (r ) dS
0

V
(r )dV
于负电荷。
2. 静电场旋度与环路定理 静电场的旋度（微分形式）
E (r ) 0
静电场的环路定理（积分形式） E (r ) dl 0
C
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。

(r ')(r r ')
r r '
3
V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 dV ' 4 0 dV '
1 V (r ') r r '
dV '
1 4 0
1 V (r ') r r '
电场强度可表示为一个标量位函数的负梯度，所以有
6
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物。
电流连续性方程 积分形式 微分形式
流出闭曲面S 的电流 等于体积V 内单位时 间所减少的电荷量

S
dq d J dS dt dt
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2. 磁感应强度 B
电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理 量是磁感应强度 B ，单位为T（特斯拉）。 磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用，载流回路C1 对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力。 根据安培力定律，有
单位: A （安）
电流方向: 正电荷的流动方向 常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分别状态。
J en lim i di en S 0 S dS
i di J S et lim et l 0 l dl
线电流，横截面为可忽略面积的点，故无电流密度
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电磁场的基本规律
总电荷q 为：
q
V , S ,l
v , s ,l (r )dV , S , l
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2.1.2
电流与电流密度 单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：
i lim (q t ) dq dt
t 0
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点电荷：对于总电荷为 q 的电荷集中
在很小区域 V 的情况，仅分析和计算 区域外的电场，小体积 V 中的电荷可 看作位于该区域中心、电荷为 q 的点 电荷。
x
z
r
q
o
y
点电荷的电荷密度表示： (r ) qδ(r r )
最抽象，最基本的一个电荷分布
S
( r r ') dS r r '
3
若S是封闭曲面， 则


(r r ') dS
S
r r '
3
4 r ' 在S 里 0 r ' 在S 外
点电荷的电场穿过任意闭曲面S的通量：

S
E dS
q 4 0

r r '
S
r r '
3
dS
q 4 0
z
l
2
1

M
均匀带电直线段
l E 2 π 0
（无限长）
M
z
o
y
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
a l z Ez (0, 0, z ) 2 0 (a 2 + z 2 )3 2
a x
l
均匀带电圆环
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电偶极子的电场强度：
电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电 荷系统，其远区电场强度为
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本章讨论内容
2.1 电荷守恒定律
2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流
2.6 麦克斯韦方程组
2.7 电磁场的边界条件
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第2章
电磁场的基本规律
2
2.1 电荷守恒定律
•源量为电荷 q(r , t )和电流 I (r , t )
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电磁场的基本规律
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2. 电场强度
电场强度矢量 E —— 描述电场分布的基本物理量 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试 验电荷）受到的作用力，即 F (r ) E (r ) lim q0 0 q 0 荷q 激发的电场为
q0 ——试验正电荷
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
q1
r1
R12 q2
F12 eR
说明：
q1q2 2 4π 0 R12
q1q2 R12 3 4π 0 R12
r2
F12
o x
y
• 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比； • 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引； • F21 F12 ，满足牛顿第三定律。 • 电场力服从叠加定理
1 3( p r )r p P E (r ) 3 e 2cos e sin 5 3 r 4π 0 r r 4π 0 r p ql ——电偶极矩
z
+q
l o

r
E
－q
电偶极子
电场线 等位线
电偶极子的场图
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第 2 章 电磁场的基本规律 2.2.2 静电场的散度与旋度
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1. 静电场散度与高斯定理
静电场的散度（微分形式） (r ) E (r )
静电场的高斯定理（积分形式）
高斯定理表明：静电场是有散场，电力线起始于正电荷，终止
0

S
1 E (r ) dS
0

V
(r )dV
于负电荷。
2. 静电场旋度与环路定理 静电场的旋度（微分形式）
a
ρ0 带电球壳
O
多层同心球壳
均匀带电球体
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• 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
• 无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。
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例2.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径
为a ，电 荷密度为 0 。 解：（1）球外某点的场强 q 1 4 3 由 S E dS 0 0 3 π a 0 0 a3 E (r≥a) 3 0 r 2 （2）求球体内一点的场强 1 由 E dS 0dV
其中
0 I1dl1 R12 F12 I 2dl2 ( ) I 2dl2 B1 (r2 ) 3 C2 C C2 4π 1 R12 0 I1dl1 R12 电流I1在电流元 I 2 dl2 B1 (r2 ) 3 处产生的磁感应强度 4π C1 R12
第2章
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• 电荷密度（分布）：
体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷、点电荷 体分布：电荷连续分布于体积V 内 Δq (r ) dq (r ) (r ) lim ΔV 0 ΔV dV
单位：C/m3 (库/米3 )
面分布：若电荷分布在薄层S上，当仅考虑薄层外、距薄层的 距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层

C
l (r ) R dl 3 R
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3. 几种典型电荷分布的电场强度 均匀带电直线段的电场强度： l Er (cos 1 - cos 2 ) 4π 0 r （有限长） l Ez (sin 2 - sin 1 ) 4π 0 r
z
C1 r1
I1dl1
C2
I 2 dl2
R12
o x
r2
y
对载流回路 C2 的作用力 安培力定律 0 I 2dl2 ( I1dl1 R12 ) F12 3 满足牛顿 4π C2 C1 R12 第三定律 • 载流回路 C2 对载流回路 C1 的作用力 F21 F12

S
d
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若 q 位于 S 内部，上式中的立体角为 4 π ；若q 位于 S 外部，上
式中的立体角为零。对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出
高斯定理为


S
E dS
Q
0
如果闭合面内的电荷是密度为ρ的体分布电荷，则
S
E dS
1
0

1
V
dV
小体积元中的电荷产生的电场
z
Vi V r (r )
M
r
o x
y
面密度为 S (r ) 的面分布
电荷的电场强度
线密度为 l (r ) 的线分布
电荷的电场强度

E (r )
1 4π 0

S
S (r ) R dS 3 R
E (r )
1 4π 0