常微分方程常用数值解法.

第一章绪论

1.1 引言

常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。

研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。

由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。

本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。从而得到常微分方程的常用数值解法。

1.2 常微分方程的概念

1.常微分方程的定义

含有未知量的等式称为方程，它表达了未知量所必须满足的某些条件。一般说来，凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，则称为常微分方程；如果未知函数依赖于两个或多个的自变量，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程。

在在一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶数。如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的，则称它为线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。

本论文主要介绍常微分方程，也简称微分方程。

以y 错误!未找到引用源。为未知函数，x 错误!未找到引用源。为自变量的一阶常微分方程的一般形式可表示为微分方程，

,0),,(,=y y x F (1.2.1) 将（1.2.1）中,y 错误!未找到引用源。解出，则得到方程

),,(,y x f y = (1.2.2)

或

,0),(),(=+dy y x N dx y x M (1.2.3)

也称（1.2.1）为一阶隐式微分方程，（1.2.2）为一阶显式微分方程，（1.2.3）为一阶微分方程的微分形式。

错误!未找到引用源。阶隐式方程的一般形式为

,0),,,,()(,=n y y y x F (1.2.4)

错误!未找到引用源。阶显式方程的一般形式

),,,,,()1(,)(-=n n y y y x f y (1.2.5)

方程（1.2.4）中，如果函数错误!未找到引用源。对未知函数错误!未找到引用源。和它的各阶导数)1(,,,,-n y y y 错误!未找到引用源。都是一次的，则称其为线性常微分方程，否则，称其为非线性微分方程。

以y 错误!未找到引用源。为未知函数，错误!未找到引用源。为自变量的n 错误!未找到引用源。阶线性微分方程具有如下形式：

),()()()(,1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =++++-- (1.2.6)

2.常微分方程的解

设函数)(x y ϕ=是定义在区间错误!未找到引用源。上的错误!未找到引用源。阶可微导数。如果把错误!未找到引用源。代入方程（1.2.4）后能使其成为恒等式，即

()()()()(),,',..,0,n F x x x x x I ϕϕϕ≡∈

则称错误!未找到引用源。是微分方程（1.2.4）在区间错误!未找到引用源。上的一个解。

例如，kx e y -=是微分方程0=+ky dx

dy 在()+∞∞-,的一个解.x y tan =是微分方程21'y y +=在区间⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2,2ππ的一个解. 如果关系式()0,=y x F 决定的隐函数)(x y ϕ=是方程（1.2.4）的解，则我们称()0,=y x F 是（1.2.4）的隐式解。例如一阶微分方程

0=+ydy xdx

有隐式解

.022=-+c y x

我们把含有n 个相互独立的任意常数n c c c ,...,21的解

),..,,,(21n c c c x y ϕ=

称为n 阶微分方程（1.2.4）的通解。

在通解之中当一组任意常数确定时，所得到确定的解称为特解。例如，x c x c y sin cos 21+=是二阶线性方程0''=+y y 的通解，而x x y x y sin cos ,sin +==都是其特解，其中21,c c 是任意常数。一般地，方程的特解可由其通解中任意常

数取确定的常数导出，且方程的通解不一定表示方程的所有解。

3.常微分方程初值问题

为了确定微分方程的一个特解，我们可以给出这个微分方程的所满足的定解条件，常见的定解条件是初始条件，即方程（1.2.4）在某一点0x 所满足的条件： ()()()()().,...,'',000000n n y x y y x y y x y === （1.2.7） 微分方程（1.2.4）连同初始条件（1.2.7）一起称为初始值问题。

一阶常微分方程初值问题是求解函数)(x y ，且满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=.

)(,),,(αy a y b x a y x f dx dy （1.2.8）

其中),(y x f 错误!未找到引用源。为已知函数，αy 为给定的初值。

定理1.2.1 假设),(y x f 错误!未找到引用源。在矩形区域

{}),(],,[),(+∞-∞∈∈=Ωy b a x y x 内连续，且关于变元y Lipschitz 连续，即存在正常数L ，使得对任意],[b a x ∈及，成立不等式 ,),(),(2121y y L y x f y x f -≤- (1.2.9) 其中常数错误!未找到引用源。称为Lipschitz 常数,则处置问题存在惟一解()],[b a C x y ∈，()x y 连续依赖于初值.αy

由常微分方程的基本理论，我们有：

换句话说，若是()x y η如下初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+=≤≤=.

)(,),,(ηαy a y b x a y x f dx dy (1.2.10)

的解错误!未找到引用源。，则

()()].,[,lim 0

b a x x y x y ∈=→ηη错误!未找到引用源。 因此问题（1.2.8）是适定的。

定理1.2.2 当假定函数),(y x f 错误!未找到引用源。满足定理1.2.1中的