三角函数的图像与性质课件

7
4
3 5 11 2
6
3
2
36
6
3
2
3
6
-1
y=sinx, x [ 0, 2 ]
作正弦函数的图象
y
1
x
o1
o
2 5
7 4 3 5 11 2
632
36
6
3
23
6
-1
y=sinx, x [ 0, 2 ]
作正弦函数的图象
y
1
x
o1
o
4
)
解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5
5
5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos
4
∵ 0 3
45
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
cos 3 <cos
5
4
即：
cos
3
5
– cos <0
4
从而
cos(
23)
5
2
2
-
o 2
-1
2

3
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 5 2
x
3
7 2
4
1、当sin x 1 时，对应x的值为多少？ 2
2、当sin x 1 时，对应x的取值为多少？ 2
3、当 2 sin x 1 时，对应 x的取值为多少？
2
2
由 y cos x sin(x )
思考(1)：
如何用几何方法在直角坐标系中作出点 C(π,sinπ) ? 33
Y
几何描
P
. C(点π,sinπ) 33
π
3
O1 M O
π
3
2π
π
X
3
思考(2): 能否借助上面作点C的方法， 在直角坐标系中作出正弦函数
y sinx,x R 的图象呢？
作正弦函数的图象
y
1
x
o1
o

2 5
易知，当x 2k (k z)时，函数取得最大值1，此时x 6k (k z)
3
当 x 2k (k z)时,函数取得最小值-1，此时x 3 6k (k z)
3
所以使函数取得最小值的x集合为x |x 3 6k , k z}
最大值的x集合为{x | x 6k , k z}
达标检测
1、比较大小
（1）cos 4 与cos5
7
8
(2) sin 5 与sin 14
8
9
2、求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最
大值是什么？
（1） y cos x 1 x R
（2） y sin 2x x R
3、求函数 y 2sin x 1 的定义域
4、求函数y 2sin( x)的单调区间
2
42
4
4
当 2k x 3 2k 即3 2k x 7 2k (k z)时，函数为增函数
2
42
4
4
函数的单调增区间为 34
2k ,
7
4
2k (k

z)
单调减区间为-

4
2k , 3
4
2k (k z)
当x=_______ 时，y 取到最小值_______ 3 奇偶性： 图像关于_______ 对称，故为__________函数 4 周期：___________ 5 单调性：单调增区间___________
单调减区间___________ 6 对称轴：___________
练一练:
y
1
-3 5 -2 3

x)

4
2 s in( x


)
4
4
令t x ,
4
则y

2 s in
t在-

2

2k
,

2

2k
(k

z)上单调递减
在2
2k , 3
2
2k (k z)上单调递增
当- 2k x 2k 即- 2k x 3 2k (k z)时，函数为减函数
单调减区间___________
6 对称轴：___________
练一练: y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2

3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
1、当cosx 1 时，x的取值为多少？ 2
2、当cosx 1 时，对应的x值为多少？ 2
3、当 2 cos x 1 时，对应的 x取值为多少？
2
2
例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
(1)
sin(


18
)
与sin(

10
)
解 ∵
：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[

2
,

2
]上是增函数
∵ ∵
sin( ) < sin( )
10
18
(2)
cos( 23 )
5
与
cos( 17
3
3
设 A [2 ,2 ]B {x | 5 4k x 4k , k z}
3
3
所以 A B [ 5 , ]
33
故此函数的单调递增区间是 [ 5 , ]
33
例5 求函数y 2sin( x)的单调区间
解：
y

2 s in(
2 5
7 4 3 5 11 2
632
36
6
3
23
6
-1
y=sinx, x [ 0, 2 ]
如何在精确度要求不太高时作出正弦函数的图象？
y 1

o
2
2
1
五点法——（0,0）

( 2 ,1)
3 2
( ,0)
2
x
3 ( 2 ,-1)
( 2 ,0)
练习： 用“五点法”画出下 y=sin2x，x∈[0，2π] 函数的简
＜
cos(
17
4
)
（2）令u=2x，使函数y=-3sinz，z∈R
当u 2k (k z)时，函数取得最大值3，得x k (k z)
2
4
当u 2k (k z)时,函数取得最小值- 3，得x k (k z)
2
4

ymax
学习目标:
1、阅读教材P26-31页，掌握正弦函数y=sinx和余弦函 数y=cosx的图象的作图方法.
2、由正弦、余弦函数的图像特征掌握正弦函数、余 弦函数的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单 调性）. 3、会利用正弦、余弦函数的图像性质解决正、余弦 函数图像的不等式和方程.
自学指导:
1、作三角函数图象的方法是什么？用描点法作正弦函数 y=sinx的图象的关键点有哪些点？ 2、由正弦函数y=sinx的图象特征，可得到哪些重要的性 质呢？ 3、由 y cos x sin(x ) ，知余弦函数图像与正弦函数 图象之间有什么关系? 2 4、从余弦函数图像特征中又可得到哪些重要性质呢？
图
思考: 如何在直角坐标系中作出正弦函数图像呢？
利用 y sin x的周期为 2
将y sin x 图象向左或向右平移
y=sinx x[0,2]
利用图象平移
y
1
y=sinx xR
y=1
4
3
2

7 2
5 2
3 2
2
2 -1

2
3 2
3
4
例3
。
求函数y

s in( 1 2
x

),x
3
[2 ,2 ]
的单调递增区间
解：令 z 1 x ，函数 y sin z 的单调递增区间是
23
[ 2k , 2k ]
2
2
由

2
2k

1 x
23


2
2k
得
5 4k x 4k , k z
5
7
x
2
2
y=-1
思考: 观察正弦函数的图像，可得到哪些重要性质？
二、正弦函数的性质
y
y=sinx (xR)
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2

3
2
2 5 2
x
3
7 2
4
1 定义域: ___________ 2 值域：当x=_______ 时，y 取到最大值_______
4
作业:
高效 P19 例5 P20 即时训练7
2

知余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
各单位长度而得到．
-
y
-
-
-
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
6 x
想一想: 余弦函数又有什么样的性质呢？
三、余弦弦函数的性质
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2

3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
1 定义域: ___________
2 值域： 当x=_______ 时，y 取到最大值_______
当x=_______ 时，y 取到最小值_______
3 奇偶性： 图像关于_______ 对称，故为__________函数
4 周期：___________
5 单调性：单调增区间___________

3, 此时x的集合为{x
|
x

-

4

k
,k

z}
ym in

3, 此时x的集合为{x
|
x


4

k
,k

z}
例2 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、
最小值时自变量x的集合
(1) y cos x x R 3
（2）y 3sin 2x，x R
解：（1）ymax 1, ymin 1