第八章 粗糙集决策方法

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本讲内容

《决策理论与方法》
粗糙集理论的基本概念 完备决策系统的粗糙决策分析方法 不完备决策系统的粗糙决策分析方法 基于优势关系的粗糙决策分析方法 基于扩展优势关系的粗糙决策分析方法
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8.1粗糙集理论的基本概念

《决策理论与方法》
8.1.1知识与知识表示
(5) X Y R( X ) R(Y ),
(6)
R( X ) R(Y )
R( X ) R( X ), R( X ) R( X ) R(R( X )) R(R( X )) R( X )
(7) R(R( X )) R(R( X )) R( X ),
X粗糙集的概念可以用下面的示意图来表示：
U / c1
2 1 4 5 6 3 7 2 8 1 4 7 2 5 8 3 6
3
1
2
3
4
8
5
6
6
7
1
4
2
8
3
5
7
1
4
5
2
8
3
7
6
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R
《决策理论与方法》
8.1.2近似与粗糙集
设 X U , R 为U 上的等价关系，当 X 能表示为某 些基本范畴并时，称是 R 可定义集；否则称 X 是 R 不可定义集。 R 可定义集是论域的子集，它可在知识 库中精确地定义，而 R 不可定义集不能在这个知识
POSC ( D) POSC a ( D)
S (U , C D,V , f ), 若
则称属性 a 为 C 中 D 可省略，否则
属性 a 为
C 中 D 不可省略的。 C 的
定义 8.1.9 对于一给定的决策系统，条件属性集
D
约简是 C 的一个非空子集 P 。若满足
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a A
Va ,
Va
是属性 a 的值域； f
:U A V
为信息
函数，它为每个对象的每个属性赋予一个属性值 当信息系统中属性 A C D, 其中 C 为条件属性集，
D 为决策属性集时，信息系统也称为决策系统。
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《决策理论与方法》
例8-1-1 设决策系统如下表所示，对象为8部小汽车，条件
POSC c3 ( D) POSC ( D) POSC c1 ,c2 ( D) x1 , x4 POSC ( D) POSC c3 ,c2 ( D) POSC ( D)
i
定义8.1.12 当 为一个决策规则时，且 和 分别为
C, D A C 基本公式和 D 基本公式，
时，则
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决策规则 称为 CD 基本决策规则。 定义8.1.18 当且仅当对于 (C , D) 中任何一 CD 决策规则
, , 蕴含 时，则 CD 决策算法中的 CD
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（1）a P, a 都是 D 不可省略的 （ 2）
POSP ( D) POSC ( D)
则称 P 是 C 的一个约简。
C 中所有不可 C 中所有约简的集合记作 REDD (C )，
省略属性的集合称 C 的核，记为

CORE D (C )
8.1.5决策规则和算法
决策表中的每一个对象都可以看作是一条决策规
分别为条件属性集和决策属性集，属性子集 的属性重要度定义为
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C C
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C,D (C) C (D) C C (D)
特别当 C a 时，属性 a C 关于 D 的重要性为
C,D (a) C (D) C a (D)
决策规则 是 S 中相容的，否则是不相容的。 定义8.1.19 如果一个决策表中所有的决策规则都是相 容的，则决策表是相容的，否则是不相容的。
定义8.1.20 任何一个决策系统可以看做是一组“ if
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《决策理论与方法》
… then…”的决策规则，当条件能唯一确定决策时， 该条规则为确定性决策规则，否则为不确定性决策 规则。
定地划入 U / D 类的对象集合。
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定义 8.1.6 决策属性 D 对条件属性 C 的依赖度定义为
k C ( D) POSC ( D) U
依赖度表示在条件属性集下能够确切划入决策分类 U / D 的对象占论域中的总对象数的比率，表达了决 策属性对条件属性的依赖程度。 定义8.1.7 设有决策系统 S (U , C D,V , f ) 其中 C , D
R( X Y ) R( X ) R(Y )
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(3) R( X Y ) R( X ) R(Y ),
R( X Y ) R( X ) R(Y )
(4) R( X Y ) R( X ) R(Y ), R( X Y ) R( X ) R(Y )
X i Yj
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该规则的确定性因子为 ：
( X i ,Y j )
Yj X i Xi
当 ( X i , Y j ) 1 是确定性规则；当 0 ( X i , Y j ) 1 是不 确定性规则。

8.1.6算例分析
考察下面决策系统进行属性约简及获取决策规则。
定义8.1.5 设有决策系统
S (U , C D,V , f ), 其中 C , D
分别为条件属性集和决策属性集，则决策属性 D 在 条件属性 C 下的正域（简称 D 的 C 正域）定义为
POS C ( D) C ( X )
X U / D
D的C
正域是中通过用分类 U / C 表达的知识能够确

2. 属性约简 属性约简是粗糙集理论中的核心内容之一，决
策表中的属性并不是同等重要的，甚至有些属性是 冗余的，所谓属性约简，就是保持决策表条件属性
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和决策属性之间的依赖关系不发生变化的前提下, 删 除其中不相关的或不重要的属性。 定义8.1.8 对于一给定的决策系统
R ( X ) Y U / R
R( X ) Y U / RYXΒιβλιοθήκη Y X
分别称它们为 X 的 R 下近似和 R 上近似。
下近似和上近似也可以用下面的等式表达：
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R( X ) x U

[ x] R X ,

R( X ) x U
X i 和 Yj 分 定义8.1.21 在决策系统中 S (U , C D,V , f ) ，
别代表 U / C 与 U / D 中各等价类。dex( X i ) 表示对等价
类 X i 的描述， dex(Y j ) 表示 Y j 对等价类的描述。
决策规则为：
dex( X i ) dex(Yi ),
c1 空间、c2 颜色、 属性： c3 价格；决策属性为销售量 d
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在此决策系统中每个属性相当于一个等价关系， 有等价关系得到的等价类为：
x , x , x , x , x , x , x , x U / c x , x , x , x , x , x , x , x U / c x , x , x , x , x , x , x , x U / C x , x , x , x , x , x , x , x U / d x , x , x , x , x , x , x , x
1.知识的含义
粗糙集方法是将数据转化为知识的一种规范的方法,

把知识视为分类的能力。
X U 称为 U 定义8.1.1 设 U 是研究对象的有限集合，
中的一个概念或范畴, U 中的一个概念族 F X 1 , X 2 ,, X n 称为关于 U 的知识，其中 X i U , X i , X i X j , i j
库中被定义。R 可定义集也称为精确集(Exact Sets),
而 R 不可定义集也称为粗糙集（Rough Sets)。
对于粗糙集可以近似地定义，我们使用粗糙集的
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《决策理论与方法》
上近似和下近似来描述。
定义8.1.3 给定知识库 K , 对于每个子集 X U 和一个
等价关系 R, 定义两个子集：
识 库就是一个系统，记为 R
U
K (U , R),
U
其中
为非空有限
集， 为
上的一簇等价关系。
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2. 知识的表示
知识的表示通过知识表达系统来完成。知识表达 系统 S 可以表达为: S (U , A,V , f ), 其中U x1 , x2 ,, xn 为对象的集合；A 为属性的非空有限集合； V 为属性值 域， V
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决策理论与方法
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《决策理论与方法》编写组
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第八章 粗糙集决策方法
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学习目的

《决策理论与方法》
了解知识、等价类、上近似、下近似、粗糙集、 属性约简和核的概念； 掌握完备决策系统和不完备决策系统的属性约简 及获取决策规则的方法； 掌握基于优势关系和扩展优势关系的属性约简及 获取决策规则的方法。
i, j 1,2,, n, X i U , 空集也认为是一个概念。
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《决策理论与方法》
定义8.1.2 设 R 是U 的一个等价关系，U
R X 1 , X 2 ,, X n
表示 R 的所有等价类 ，我们用 [ x]R 表示包含元素 x 的 R
的等价类。
U 上的一族划分称为 U 的一个知识库。一个知
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表8-1-2 决策表
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《决策理论与方法》
我们可以算出： POSC (D) x1 , x2 , x3 , x4
POSC c1 ( D) x1 , x2 , x4 POSC ( D)
POSC c2 (D) x1 , x2 , x3 , x4 POSC ( D)
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8.1.3近似精度与粗糙度
定义8.1.4 设集合 X 是论域 U 上一个关于 R 的粗糙
集，定义 X 的 R 近似精度和粗糙度分别为：
R (X )
R( X ) R( X ) ,
R ( X ) 1 R ( X )
近似精度反映根据现有知识对 X 的理解程度。显 当 R ( X ) 1 时，集合 X 相对 R 于是精 确的，当 R ( X ) 1时，集合 X 相对于 R 是粗糙的。 然
0 R ( X ) 1,
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8.1.4 属性的重要性、属性约简和核 1. 属性的重要性
则。因此，决策表实际上是一组逻辑规则的组合。
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定义8.1.10 在逻辑语言中， 蕴含
称为决策逻辑
和 分别称为决策规则的前件 语言中的决策规则，
和后件。 定义8.1.11 形式化定义 (a1 , v1 ) (a2 , v2 ) (an , vn ), 其 中 vi Va , a1 , a2 ,, an P, 且 P A, 称为 P 基本公式。

[ x] R X

BNR ( X ) R( X ) R( X ), POSR ( X ) R( X ),
，
NEGR ( X ) U R( X )
分别称为 X 的 R 边界域 、正域 和负域。
从上述定义，可得到 R 下近似和 R 上近似的性质： (1) R( X ) X R( X ) (2) R( ) R( ), R(U ) X R(U ) (3) R( X Y ) R( X ) R(Y ),