线性规划和灰色模型介绍

minZ=-x1 +2x 2 -3x 3 x1 x 2 x 3 7 x -x x 2 1 2 3 3x1 -x 2 -2x 3 5 x1 0,x 2 0,x 3 符号不受限制
解： 令 x3 =x 4 -x5 ,其中 x 4 0, x5 0.
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标准型线性规划的解的概念
考虑一个标准的线性规划问题：
minZ CX
s.t
AX b X0
其中Ｃ为n维行向量， Ｘ是n维列向量， ｂ是m维列向量，
Ａ是m×n阶矩阵，假定满足m≤n，且Ｒ(Ａ)=m，
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minZ CX (4)
AX b X0
(5) (6)
线性规划问题解的概念： (1) 可行解。满足约束条件的解 X=(x1,x 2 ,, x n )T 可行解集 D= X / AX=b ,X 0 称为线性规划问题的可行域。 (2) 最优解。使目标函数达到最优值的的可行解称为最优解，
工具，功能十分强大， LINGO内置了一种建立最优化模型的语言， 可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求
解并分析结果。
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Lingo优化软件简介
参照数学模型，在Lingo的模型窗口中输入模型代码 例：
Max z 98x1 277 x2 x 0.3x1 x2 2 x2
n ai xi ( , )b s.t. i 1 x 0, i 1,2,, n i
通常称
x1 ,x 2 ,, x n为决策变量， c1,c2 ,,cn 为价值系数， a11 ,a12 ,,a mn 为消耗系数, b1 ,b2 ,, bm 为资源限制系数。
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3.线性规划的标准形式
标准线性规划模型（标准形式）：
minZ=c1 x1 +c2 x 2 + +c n x n
（1）
s.t
a11 x1 +a12 x 2 + +a1n x n =b1 a x +a x + +a x =b 2n n 2 21 1 22 2 a m1 x1 +a m2 x 2 + +a mn x n =b m x ,x , x 0 1 2 n
最优解常用 X *表示。
(3) 基。若Ｂ是Ａ中m×m阶非奇异矩阵，即|Ｂ|≠0，则称Ｂ是线性
规划问题的一个基。
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基向量，基变量 若Ｂ是线性规划问题的一个基，那么Ｂ一定是 由m个线性无关的列向量组成，不失一般性，可设
a11 a12 a 21 a 22 B= ... ... a m1 a m2
j=1 n
minZ' =min( -Z)= -minZ= - C j x j
j=1
j=1
n
原目标函数 maxZ minZ' = - C j x j 。 (2) 线性不等式与线性等式：
a x
ij j=1
n
j
bi
a x +x
ij j j=1
n
n+i
=bi
其中 x n+i 为非负松弛变量，
a
j=1
n
kj
x j bk
a
j=1
n
kj
x j - x n+k =bk
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其中 x n+k 为非负剩余变量。
Leabharlann Baidu 矩阵格式：
minZ=CX AX=b X 0
其中
a11 a 21 A= ... a m1
a12 a 22 ... am2
... a 1n ... a 2n ... ... 为m×n阶矩阵 ... amn
minZ= x1 -2x 2 +3x 4 -3x 5 x1 x 2 x 4 -x 5 x 6 =7 x -x x -x -x 7 =2 1 2 4 5 5 3x1 -x 2 -2x 4 +2x 5 x1 ,x 2 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ,x 7 0
30x1 20x 2 160 5x x 15 1 2 x1 4 x1 0, x 2 0
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称之为上述问题的数学模型。
2.线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下， 变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每
周可提供的资源总量如下表所示：
每吨产品的消耗
甲 维生素（公斤） 设备（台班） 30 5 乙 20 1 160 15
每周资源总量
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元。但根据 市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨。问该厂应如何
（ 2）
（ 3）
其中 b=(b1 ,b2 ,, bm )T 0
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紧凑格式：
minZ= C j x j
n a ij x j =bi , i=1,2, ,m j=1 x 0, j=1,2, ,n j
j=1
n
s.t.
向量格式：
s.t.
minZ=CX n Pj x j =b j=1 x 0, j=1,2, ,n j
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一、线性规划模型
1.线性规划问题及其数学模型
☆问题的提出：在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的 资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。

有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。 有限资源的合理配置有两类问题：

如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大；
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用Lingo编程语言建立模型
应用Lingo编程语言语句不多，语法简洁；
适合大规模数学规划问题； 模型易于扩展； 初始化语句与其他部分分开； 集合的概念很有特色，可表达模型的实际事物；
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例：模型如下
Max z=5*x1+7*x2+3*x3 s.t. y1+y2+y3<=2; x1<=7*y1; x2<=5*y2; x3<=9*y3; 3*x1+4*x2+2*x3<=30+M*y; 4*x1+6*x2+2*x3<=40+M*(1-y); x1,x2,x3 >=0; y1, y2, y3 =1 or 0; y=1 or 0;
x1 x2 100
2 1 2
Max =98*x1+277*x2-x1^2-0.3*x1*x2-2*x2^2; X1+x<100; x1<=2*x2; X1>=0; X2>=0;
x1 2 x2
x1 0 x2 0
然后点击工具条上的执行按钮
即可
执行结果：
变量个数 模型类型 求解状态 目标值 约束个数
在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经
营活动，使所消耗的资源数最少。
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线性规划模型的基本假设
1.线性 目标函数和约束条件
2.可分性 活动对资源的可分性 3.可加性 活动所耗资源的可加性，资源总需要量为多种活动所需 资源数量的总和。 4.明确性 目标的明确性 5.单一性 期望值的单一性 6.独立性 变量是独立的表示各种作业对资源都是互竟关系，没有 互助关系 7.非负性
C=(c1 ,c2 ,,cn ) 为价值向量，
X=(x1,x2 ,, xn )T 为决策变量向量， b=(b1,b2 ,, bm )T为资源向量。
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(3) 右端项为负 约束两端乘以（－1） (4) 非负变量与符号不受限制的变量 若 xi的符号不受限制，则可引进非负变量xi1,xi2，令 xi = xi1-xi2，这样就可以使线性规划里所有的变量都转化为有非负限 制的变量。 例7，将下述线性规划问题化为标准型
T
其中 C=(c1 ,c2 ,,cn )称为价值向量， X=(x1 ,x2 ,, x n ) 为决
策变量向量， Pj =(a1j ,a 2j ,,a mj ) 为决策变量xj所对应的消耗系数 向量，b=(b1 ,b2 ,, bm ) 为资源向量。
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T
T
非标准形式线性规划问题的标准化
（1）极大化与极小化 ： n 若 maxZ= C j x j ，令 Z' = -Z ，则有
性不等式来表达。
（4）要求目标函数实现极大化（max）或极小化（min）。
满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题
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线性规划的模型的一般形式:
目标函数
max(min)Z=c1x1 +c2 x 2 ++cn x n
max(min) z ci xi
i 1
n
a11x1 a12 x 2 a1n x n ( , )b1 a x a x a x ( , )b 21 1 22 2 2n n 2 约束条件 a x a x a x ( , )b mn n m m1 1 m2 2 x1 ,x 2 , x n 0
非零系数个数
迭代次数 使用的内存
计算时间
约束中的松弛变量 和剩余变量
影子价格：当对应约 束有微小变动时,目标 函数的变化率
•
注意：
（1）每条语句后必须使用分号“；”结束。问题模型必须由Model命令开头， 并以END结束。 （2）用MODEL命令来作为输入问题模型的开始，格式为《MODEL：starement( 语句）。 （3）目标函数必须由“min”或“max”开头 （4）如果说明一个变量X是整型，可以用函数：@GIN( X); 如果说明一个变量X是0-1型，可以用函数：@BIN( X);
（简称基可行解）。与基本可行解对应的基称为可行基。
基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数目，因此可行基
的数目也要少于基的数目。
当基本可行解中有一个或多个基变量是取零值时，称此解为 退化的基本可行解。
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4.线性规划模型的求解方法
• 1）单纯形法 ——适合较为简单的问题 单纯形法是求解标准形式线性规划的常用方法，这种 方法的基本思想是：迭代过程——找出一个基可行解 后，判断其是否为最优解；若它不是最优解，再用迭 代的方法找出另一个使目标函数值更优的基可行解。 经过有限次迭代后，找出最优解或判定出问题有无最 优解为目标。
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• 2）借助软件
• Mathematica软件、MATLAB软件、Lingo软件、excel • LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交 互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo
System Inc.）推出的，是用来求解线性和非线性优化问题的简易
安排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？
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每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 设备（台班） 单位利润（万元） 30 5 5 乙 20 1 ２
每周资源总量 160 15
定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。 数学模型为
maxZ=5x1 +2x 2
s.t. （subject to) (such that)
称
... a1m ... a 2m =(P1 ,P2 , , Pm ) ... ... ... a mm
p j =(a1j ,a 2j ,a mj ), (j=1,2,m) 为基向量，
与基向量 Pj 相对应的变量 x j , (j=1,2,m) 称为基变量。 基的个数 一个线性规划的基通常不是唯一的，但是基的个数
也不会超过 C m 个。一旦线性规划的基确定了，那么相应的基向量、基 n 变量和非基变量也就确定了。
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(4) 基本解。设B是线性规划的一个基，若令n-m个非基变量等于0，则
所得的方程组ＡＸ=b的解称为线性规划问题的一个基本解（简称基解）。 有一个基就可以求得一个基本解。 由基的有限性可知，基本解的个数也不会超过 个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基本解不一定是可行的。 (5) 基本可行解。满足非负条件的基本解称为基本可行解