限制性三体问题及应用
超越费马猜想的终极难题：18个积分远超人类运算极限,或永恒无解
蕴含18个积分的超级运动方程说起《三体》，馒头老师回想到，在这本书的第一部当中，玩家通过模拟游戏，建立各种模型，以解析三体世界里三颗恒星的运行规律，从中遇到了很多宏伟却悲壮的景象。
（在三体世界，三颗飞星表示三颗恒星都远离行星，会出现大严寒。
）（在三体世界，三日凌空产生的高温，足以蒸发行星表面的一切。
）当然还有更恐怖的景象，比如：（在三体世界，三日连珠指三颗恒星与行星位于同一直线，产生叠加引力。
）（在三体世界，飞星不动是最大的灾难，意为行星飞向并坠入恒星。
）（洛希极限：当小天体临近大天体，会被大天体的引力撕裂，洛希极限为两者距离的临界值。
）当游戏进行到第192关后，玩家们发现绞尽脑汁，也无法解答这三颗恒星的运动规律，只好得出了三体问题无解这一结论。
其实不仅仅是科幻小说，在现实中，三体问题经过科学家们几百年前赴后继的摸索，同样是一道无解难题。
有关三体问题，馒头老师还要从老熟人希尔伯特说起……什么是三体问题？1900年，希尔伯特在他著名的演讲中，提出了23个困难的数学问题，以及两个典型的数学案例：一个是鼎鼎有名的费马猜想，另外一个，恰恰就是N体问题的特例——三体问题。
时过境迁，费马猜想在二十多年前已经被英国数学家怀尔斯证明，而三体问题却成为了数学大厦上，一块挥之不去的乌云。
三体问题实际上是天体力学中的基本力学模型，探究三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律。
科学家们经过长期研究得出结论，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下，运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。
这就显而易见了，3*3*2=3*6*1=18，至少要有18个积分，才能得到三体问题的完全解。
而截至目前，科学家们绞尽脑汁也只能得到16个积分，三体问题仍是未解之谜。
但是，没有什么困难可以让我们的科学家们轻言放弃。
三体问题的数学推断对于三体问题这一庞然大物，科学家们决定采用微分方程的定性理论，来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质。
第七章限制性三体问题
π2月球质量与地月质量的比值0.01215
第5页/共27页
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d 2r dt 2
I
d 2r dt 2
R
2ω dr dt
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
第11页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
第12页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
第13页/共27页
3/2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
第17页/共27页
2.1 雅可比积分
1 2
dv2 dt
1 2
2
d dt
(x2
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
d dt
1
2
v2
1 2
2 (x2
y2)
1
1 r1
2
1 r2
0
动能
旋转 势能
势能
机械能
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
matlab中crtbp函数的用法
matlab中crtbp函数的用法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：MATLAB是一种强大的计算工具，在工程和科学领域拥有广泛的应用。
在使用MATLAB进行动力学仿真时，经常会用到在空间中存在多个天体的情况。
为了模拟这种情况，MATLAB提供了一个重要的函数——crtbp函数。
crtbp函数的全称是Circular Restricted Three Body Problem，即圆限制性三体问题。
这个函数是用来解决在环绕两个天体旋转的半径相等、角速度相等的惯性系中的一个质点的运动问题。
在地球和月球之间飞行的航天器就是一个广为人知的实例。
这个系统中，地球和月球是两个主天体，航天器是一个小的质点，它在重力场中受到地球和月球的引力。
在MATLAB中，使用crtbp函数可以方便地模拟这种情况。
这个函数的语法如下：```matlab[T,Y] = crtbp(tspan, y0);```tspan是仿真的时间区间，y0是初始条件。
T是仿真的时间点，Y 是对应的状态变量矩阵。
状态变量矩阵的每一行是一个时间点的状态变量，包括位置和速度。
在使用crtbp函数时，需要先定义两个主天体的质量和半径。
然后，需要设置初始条件y0，包括质点的初始位置和速度。
接着，调用crtbp函数进行仿真，得到时间和状态变量的矩阵。
可以用绘图函数将仿真结果可视化，分析质点的轨迹和运动规律。
这个函数的灵活性和便捷性使得它在航天器轨道设计、实时飞行控制等方面得到了广泛的应用。
通过对crtbp函数的调用，工程师和科学家能够更好地理解和预测天体运动的规律，为航天器的设计和控制提供有力的支持。
MATLAB中的crtbp函数是一个非常有用的工具，可以帮助用户解决圆限制性三体问题，模拟多天体系统的运动。
通过灵活的参数设置和强大的计算能力，crtbp函数将为工程师和科学家们在空间探索和飞行控制领域带来更多的启发和帮助。
第二篇示例：MATLAB中的crtbp函数是一个非常实用的工具，用于求解三体问题中贝瑞·曼恩核。
受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用
收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ５—１ 。 ２
基 金项 目 ： 西 省 白然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ５ １２ ） 江 西 省 教 育 厅 科 技 项 Ｆ（ Ｊ ８ ７ ） 江 ０ １０ ５ ； １ＧＪ ３７ 。 ０ 作 者简 介 ： 云 辉 （９７一） 男 ， 师 ， 士 。 易 １７ ， 讲 硕
一
）～ ） ＋ ＝０ （ ） 。 Ｙ＋（ （ ） ２ ） ＋（ ） ＝０ ㈩ （ ｎ＋ ）
： ：。
，
（
） ＋（ 。
２ ：
＋
这 里 （
） ＝ （ Ｆ ） Ｉ 。 Ｆ， …
＝
一
０（ ， 方 程 （ ） （ ）式 得 （ Ｙ ， ） 解 ２ 、３ ， ） 即可 得 受 摄 动
第３ ５卷 第 １ 期 ２ １ 年 ２月 ０１
南 昌 大 学 学报 （ 科 版 ） 理 Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ａ ｅ ａ ｇ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｅ ｔ ｅ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ １ ３ ．１ Ｆｅ ２ ｂ． ０１１
摘
要 ： 用 著 名 的 霍 尔 维 茨 （ ｕｗｔ） 理 ， 到 ｒ受 摄 圆型 限 制 性 三 体 问 题 平 动 点 稳 定 的一 个判 别 条 件 ， 应 用 利 Ｈ ｒｉ 定 ｓ 得 并
它 讨 论 了与 速 度 有 关 的外 力摄 动 对 圆型 限制 性 三 体 问题 三 角 平 动 点 稳 定 性 影 响 ， 进 了文 Ｉ 的 主要 结 论 。 改 ２中
Ｙ
十 二＝ ＋ ， ２ Ｆ
（） １
后 的平动点 （ ， ） ， 。 一 易知 系统 （ ）的平动点 （ ， ）特征 方程为 １ Ｙ
限制性三体问题和拉格朗日点的研究
摘要：详细分析并得出了限制性三体问题中的力学模型，并绘制了势能分布图。
提出了一种迭代计算拉格朗日点附近物体运动轨迹的方法。
结合得到的势能分布图，对每个拉格朗日点的特性进行了详细的描述。
关键词：拉格朗日点限制性三体问题力学特性限制性三体问题和拉格朗日点的研究文/仲泽昂在宇宙中，三体问题是一种广泛存在的相互作用系统。
早在十八世纪就由牛顿、拉格朗日等人开始了对它的研究。
而在很多情况下，例如考虑发射人造卫星，计算质量较小的卫星（如木星周围的特洛伊群小行星带）的轨迹时，就可以假定其中一个质点的质量相对于另两个可忽略不计，即以限制性三体问题为模型进行简化。
而拉格朗日点是限制性三体问题的解。
其解共有五个，前三个由欧拉算出，后两个由拉格朗日算出。
其中有两个是稳定的解，即在受外力后有回到原来的相对位置的趋势。
在这五个点上的质点将总是相对于另两个静止，这作为一特性已被广泛应用在天文学、航空航天等领域。
以日地系统为例，L1 点位于地球和太阳中间，适合停留空间太阳望远镜等设备，方便对太阳的直接观测。
L2点处背离太阳和其他干扰，可以实现低损伤，低油耗的停留，适宜停驻空间天文台，在深空天体特别是红外波段的观测中有着无可比拟的优势。
在本文中，我们将会对限制性三体问题进行力学分析，求出势能模型，并使用MATLAB 对限制性三体问题的模型画图。
通过分析各个特征点的周围势能的分布情况，以及所处的位置情况，对拉格朗日点的特性进行分析。
一、限制性三体问题的势能模型在限制性三体问题中，将质量较小的研究对象的质量计为m ，体系中另外两个质点的质量分别为M 1，M 2。
由限制性三体问题定义有：以M 1，M 2为参考系，对于研究对象m ，由万有引力提供向心力，且受系统转动而产生的惯性力。
系统将在同一平面内做角速度为ω的转动，其转动圆心为M 1，M 2的质心[1]。
设万有引力常量为r ，与M 1，M 2的质心间的距离为。
由牛顿第二定律，可得：上式中，第一项为M 1和m 之间的引力，第二项为M 2和m 之间的引力，第三项为旋转过程中m 所受的离心力。
中学物理解答限制性三体问题的讨论
中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。
它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。
回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。
这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。
这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。
三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。
总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
难倒了无数科学家的三体问题
◆ 贺飞鸿、丛 越/文三体文明存在吗？在距离地球4光年之外的半人马座上，有一个由三颗恒星和一颗行星所组成的恒星系统。
这三颗恒星的质量以及彼此之间的距离基本相等，在互相的引力作用下，它们的运行轨迹几乎不可预测。
但三颗恒星的光和热在其行星上孕育了一种高级智慧文明——三体文明。
由于三颗恒星运行轨道不稳定，无法计算，三体行星上便出现了两种纪年方法：恒纪元和乱纪元。
当行星围绕着三颗恒星中的某一颗恒星运行时，温度适宜，这便是恒纪元，只有在恒纪元，三体人才能繁衍生息，发展文明；当行星同时受到三颗恒星的引力作用时，温度可能极冷也可能极热，这便是乱纪元，乱纪元时候，三体智慧生命只能进入休眠状态以保存自己，即便如此，乱纪元也已经让他们的文明百余次毁灭于大火或冰冻中。
三体世界本来拥有12颗行星，但在漫长的时间里有11颗被恒星吞噬，三体人居住的第12颗行星也即将被恒星吞噬。
他们终于明白三体问题不可解，只有飞向宇宙寻找新家园，才能让三体文明持续下去。
终于有一天，三体人探知到了地球的存在，认定地球是一个他们可以长久居住的乐土。
于是，三体人的星际舰队便以相当于光速的十分之一的速度向地球进发。
地球人也通过望远镜探知到了三体舰队的存在，地球陷入一片恐慌之中……以上是我国当代知名科幻作家刘慈欣科幻小说《三体》中的内容。
最近几年来，《三体》系列红遍大江南北，被视为中国科幻文学的里程碑之作。
伴随着《三体》小说的热销，三体问题也为众多的读者所熟知。
刘慈欣在小说里构造出了一个复杂而迷人的宇宙体系，但是，这样一个忽然很规律、忽然很紊乱的三体系统在宇宙中是不存在的，即使存在，也会很快崩溃。
所谓的行星，要么飞离恒星要么飞向恒星。
如果要像三体中说的那样时近时远，还能让一个文明产生，几乎是完全不可能的。
不过，小说中提到三体问题，倒还真是人类科学家数百年来面临的一个巨大难题。
难倒牛顿的世纪难题自从牛顿提出万有引力定律以来，人们就很容易计算出宇宙中两个天体在引力作用下的运动情况，得到天体的运行轨道。
天体的中三体问题（推荐5篇）
天体的中三体问题（推荐5篇）第一篇：天体的中三体问题天体中的三体问题韩博伟谈三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。
先说一下什么叫三体。
用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。
参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。
在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。
用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。
在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。
每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。
要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。
N=2，就是二体问题。
N=3，也就是我们要说的三体问题了。
N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。
学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。
然而三体运动的情况就糟糕得多。
攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。
牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。
其实，三体运动已经是对物理实际简化得很厉害了。
比如说对质点，自转啦、形状啦我们统统不用考虑。
但是只要研究实际的地球运动，就已经比质点复杂得多。
比如说，地球别说不是点，连球形都不是，粗略看来是个赤道上胖出来一圈的椭球体。
于是，在月球引力下，地球的自转轴方向就不固定，北极星也不会永远是那一颗。
而考虑潮汐作用时，地球都不能看成是“硬”的了，地球自转也因此越来越慢。
然而即使是极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个祭坛献上了无数脑汁也未能将它攻克。
当然，努力不会完全白费的，许多有效的近似方法被鼓捣了出来。
变质量椭圆限制性三体问题
变质量椭圆限制性三体问题
变质量椭圆限制性三体问题是一个重要的天体力学问题，它涉及到三个天体的运动，其中一个天体的质量可以变化。
它是一个复杂的问题，因为它涉及到三个天体的相互作用，而且这三个天体的质量可以变化。
变质量椭圆限制性三体问题的研究始于1767年，当时爱因斯坦和拉普拉斯研究了这个问题。
他们发现，当三个天体的质量可以变化时，它们的运动会受到椭圆限制，这就是变质量椭圆限制性三体问题的名称。
变质量椭圆限制性三体问题是指三个天体在发生相互作用的情况下，由于其中一个天体的质量发生变化，导致这三个天体的运动受到限制的问题。
这种问题常用于描述星系中的小行星、恒星和黑洞的运动，也可用于描述太阳系中的行星和小行星的运动。
变质量椭圆限制性三体问题的解决方法包括计算机模拟和数值解法。
通过对三体问题进行模拟或数值解，可以得到三体系统的运动轨迹、能量分布、角动量等物理量的变化规律。
这些信息对于研究星系动力学、小行星的演化规律、太阳系的组成结构等方面具有重要意义。
圆形限制性三体问题
圆形限制性三体问题圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem，简称CRTBP）是物理学家和天文学家研究系统动力学的一个重要实例，它描述了一个受两个大质量物体（太阳和月球）的引力影响，而另一个质量很小的物体（卫星）在其中轨道运动的系统。
CRTBP可以用来描述太阳-地球-月球系统，也可以用来描述任何其他两个大质量物体和一个质量很小的物体之间的关系。
CRTBP是一个复杂的非线性系统，它描述了三个物体之间的相互作用。
这个系统的特征是，它是一个非线性系统，即每个物体的行为可以有许多不同的解，而且这些解可能会影响其他两个物体的行为。
此外，由于物体之间的相互作用，系统的力学行为可能会发生混乱的变化，这种变化被称为“混沌”。
在CRTBP中，第一个物体被称为“主体”，第二个物体被称为“助力”，而第三个物体被称为“小物体”。
主体和助力可以是任何两个质量不同的物体，如太阳和月球，或是任何其他两个质量不同的物体，比如行星和小行星。
小物体的质量必须比主体和助力的质量都要小得多，因此它的运动受到主体和助力的合力影响。
圆形限制性三体问题最早是由法国天文学家和数学家J. L. Lagrange 在18th世纪提出的，但它直到20世纪中叶才得到了广泛的应用。
当时，CRTBP被用来模拟太阳-地球-月球系统，这样就可以更准确地预测月球的运动轨道。
后来，CRTBP被广泛应用于模拟行星、小行星和其他多体系统的运动。
CRTBP的数学模型非常复杂，它涉及到多个变量，因此它的解是非常困难的。
为了解决这个问题，物理学家和天文学家们必须使用各种数学工具，如微分方程、偏微分方程和矩阵方程，来求解CRTBP。
此外，由于CRTBP的复杂性，研究者们还必须使用计算机模拟，以确定三体系统的轨道运动。
CRTBP在现代物理学和天文学中仍然是一个重要的研究课题，它可以用来研究太阳系中的行星、小行星、卫星和其他多体系统的运动。
三体问题——精选推荐
基本简介编辑本段三体问题三体问题研究起源编辑本段三体问题研究⽅法编辑本段三体问题三体问题中⽂名称：三体问题英语名称：three-body problemN 体问题及三体问题的概念 N 体问题：N 体问题可以⽤⼀句话写出来：在三维空间中给定N 个质点，如果在它们之间只有万有引⼒的作⽤，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。
三体问题：最简单的例⼦就是太阳系中太阳，地球和⽉球的运动。
在浩瀚的宇宙中，星球的⼤⼩可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。
如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引⼒的作⽤下产⽣的，所以我们就可以把它们的运动看成⼀个三体问题。
天体⼒学中的基本⼒学模型。
研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引⼒作⽤下的运动规律问题。
这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。
在⼀般三体问题中，每⼀个天体在其他两个天体的万有引⼒作⽤下的运动⽅程都可以表⽰成3个⼆阶的常微分⽅程，或6个⼀阶的常微分⽅程。
因此，⼀般三体问题的运动⽅程为⼗⼋阶⽅程，必须得到18个积分才能得到完全解。
然⽽，⽬前还只能得到三体问题的10个初积分，还远不能解决三体问题。
在⼆⼗世纪的第⼀次数学家⼤会(1900年)上，⼆⼗世纪伟⼤的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在⼆⼗世纪的数学发展中起了⾮常重要的作⽤。
在同⼀演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然⽽问题的解决⼜是如此的困难以⾄于必须要有全新的思想⽅法才能够实现。
为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例⼦：第⼀个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数⽅程 xn+yn=zn 在n ⼤于2时是没有整数解的；第⼆个就是所要介绍的N 体问题的特例——三体问题。
值得⼀提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。
限制性三体问题中两类特殊轨道的应用研究
限制性三体问题中两类特殊轨道的应用研究圆型限制性三体问题描述不计质量的第三体在两个相互绕圆轨道运行的大天体引力作用下的运动。
由于其具有一个运动积分和五个平动解,相空间结构相对简单,广泛的应用在天文学的各个领域,是天体力学中最为重要的模型之一。
本文分为两部分,分别从应用的角度研究了圆型限制性问题两类特殊轨道：发生Kozai效应的轨道和弹道捕获的轨道。
第一部分中,我们主要研究气体盘的引力和阻力对圆型限制性三体问题中得到的经典的Kozai效应的影响。
第二部分中,我们在圆型限制性三体问题框架下,研究了月球附近发生弹道捕获的区域-弱稳定边界的结构和性质。
如果第三体绕某个大天体运动,且其轨道平面和两个大天体平面存在比较大的倾角,则其偏心率将被周期性激发到很大的值,这种效应即为Kozai效应。
本文以大倾角双星系统中星子碰撞生长过程为背景,研究了气体盘的引力和阻力对Kozai效应的影响。
通过理论分析和数值模拟的方法,我们发现盘的引力一方面可以抑制系统内部区域的Kozai效应,而另一方面可以对Kozai效应起到增强的作用：倾角很小的系统中某些位置Kozai效应也可以发生,并且发生Kozai 效应星子的最大偏心偏心率可以激发大很高的值(-1)。
气体盘的阻力的最大作用是使发生Kozai效应的星子迅速内迁并堆积在系统内部,有利于行星形成。
另外本文在平面圆型限制性三体问题框架下研究了航天器被月球弹道捕获的轨道。
可以发生弹道捕获的区域可以用弱稳定的边界(Weak Stability Boundary, WSB)来描述。
我们发现弱稳定边界主要有五种类型,即：(1)和流形相关的边界,(2)和碰撞奇点相关的边界,(3)和l(θ)相切的轨道对应的边界,(4)零开普勒能量的轨道对应的边界。
(5)与“伪稳定轨道”相关的边界。
我们给出五种不同类型边界的分布特征。
其中弱稳定边界中心近圆形稳定结构的边界大多为和流形相关的边界,通过数值方法,我们发现月球附近稳定流形上的轨道的第一个近月点为弱稳定边界中心近圆形稳定结构的上界。
三体问题综述
－３０３－确之描述，惟此仅系特解或数字解，并非解析之普遍解。
此种特解及数字解祇能适用于某种特殊之起始条件，或仅在某一特定之时间内，始有效。
三体问题之普遍解，虽迄今尚未发现，但在较简单之特殊情形下，可以解析方法，求得令人相当满意之结果，此即所谓特殊三体问题。
假定质量为ｍ１及ｍ２之两质点，在其相互万有引力作用下共同环绕其质量中心作圆运动。
另有一质量为ｍ之质点，在ｍ１与ｍ２之万有引力场内运动。
吾人假定此第三质点之质量ｍ远小于ｍ１或ｍ２，因此其引力场甚微弱，故不致影响或干扰ｍ１及ｍ２之圆运动。
吾人更假定此第三质点ｍ之运动，仅限于ｍ１及ｍ２所在之平面内。
换言之，即三体皆在同一平面内运动，而此平面为ｍ１及ｍ２之圆运动所决定。
如此吾人乃得将此特殊三体问题，化简为一体问题，亦即ｍ在ｍ１及ｍ２共同之引力场内之运动。
则相应于旋转坐标系的运动方程有一个首次积分：式中ｖ为无限小质量体的速度，ｘ、ｙ为其坐标，ｃ为积分常数这就是著名的雅可比积分。
当无限小质量体的速度为零时，上式就成为：如ｍ为宇宙飞船或火箭，ｍ１及ｍ２各表地球与月球，则此即一典型之应用实例。
为解决此问题，吾人可以ｍ１及ｍ２之质量中心为原点，而采取随ｍ１及ｍ２作圆运动之转动坐标系。
此坐标系之角速度，即ｍ１及ｍ２环绕其质量中心之角速度。
根据前述之两体问题之普遍解，此角速度之大小为ｍ１及ｍ２之相对运动所决定。
质点ｍ在此旋转坐标系内所受之力计有：一、ｍ１及ｍ２之引力，二、因旋转而引起之离心力，三、Ｃｏｒｉｏｌｉｓ氏力（科里奥利力）。
上述之离心力与Ｃｏｒｉｏｌｉｓ氏力，皆因坐标系之旋转而引起者，乃假力。
质点ｍ所受之力既已确定，则其运动可由牛三体问题综述李银山 辽阳职业技术学院 １１１０００在古典力学中，如两体间交互作用力为连心力，或在更普遍之情形下，如两体间之作用力满足牛顿第三定律（即作用力与反作用力，大小相等而方向相反），且所受外力各与其质量成正比，则此两体问题可化简成为两个一体问题，因而得到普遍解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的 开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动 也分别是以O为焦点的开普勒运动。
以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线， m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨 道运动而绕z轴旋转。角速度:
依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。 分别以ρ,ρ1, ρ2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2 的势场下，势函数表述为：
式中,
m受到的万有引力可表述为：
其动力学方程为：
以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式： ρ 将
a
L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是 由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五 个点都称为拉格朗日点。 从Hill曲线上可以看 出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定 的平衡点。
拉格朗日平衡点的证实
拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实 了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。
2 y 2 为质点m在坐标系内的 令 v x
相对速度，能量积分为： v 2
V* E 2 m
V*为质点由m1和m2的引力场及 动坐标系的离心力场组成的相对势能: V * V
V 2 x 2 y x c c x V 2c x c2 y y y
1906年，德国天文学家马克思· 沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星 相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的 绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星 贴近。天文学家沙利叶敏锐地意识到它可能 位于拉格朗日所求解的特解点上。果然，天 文学家很快就在木星之后60°的位置上，也 发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个 拉格朗日点上，已找到700颗小行星。 这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。 事实上，在任何双星系统、行星和太阳、 卫星和行星 的轨道面上，都存在5个拉格朗日 点。其中L1, L2, L3不稳定，而L4, L5是稳定的。 后来人们陆续发现，土卫三的L4和L5点有两个 小卫星，分别是土卫十三和土卫十四； 土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。 更多的发现无可争议地证实了拉格朗日点 的存在。
边界与零速度相对应。如令v=0，则可以得到以
E为参数的边界曲线族，称为Hill曲线。
随着E的增大，质点的运动范围从m1, m2周围的局部区域 逐渐扩大到互相连通， 当E>0时，m的运动范围不受限制。
相对平衡位置及稳定性
在（m1, m2）的万有引力场和离心力场共同作用下，质点m在动坐标面上可 能存在的平衡位置，记作（xs, ys）。在平衡位置处，质点的运动范围缩为 一个点，即Hill曲线的奇点，令动力学方程中质点的速度和加速度均为0. 得 u (x a ) u (x a ) 到(xs, ys）应满足的方程： 2 c x s 1 s 3 1 2 s 3 2 0 1s 2s
限制性三体问题
三体问题： 惯性参考系中如果有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问 题。质点间所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。在天体 力学里面，通常只考虑万有引力。N=2，就是二体问题。N=3，也就 是我们要讨论的三体问题。 三体问题是经典力学里面的天体力学的老难题，从牛顿时代起就是 物理学家和数学家的恶梦！ N=2的情况，牛顿时候已经基本解决。两个质点在一个平面上绕着共同 质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。 然而三体运动的情况分析起来却糟糕得多，虽然已经将天体简化成了质 点。就是对于极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊 松、雅可比、庞加莱等等大师们献上了无数脑汁也未能将它攻克。当然， 努力也没有完全白费的，摄动方法就是收获之一，是非常有效的解决问 题的近似方法。
ys (c2
u1
3 1s
u2
3 2s
)0
ρ1s,ρ2s为平稳位置与m1,m2的距离。显然方程存在两组解，一组在轴x的
(-∞,-a2), (-a2, a1),(a1, + ∞)三个区间内, 记为L1, L2, L3, 另一组 1s 别与m1和m2构成等边三角形。总共5个平衡位置如图所示。
能量积分结果显示质点m相对于动坐标系运动的机械能守恒。由能量积分 结果，质点速度可表述为： 2 u1 u2 1 2 2 2
m 2 2 c ( x y 2 ) 0 2
v 2 c ( x y ) E 1 2 2
总能量E确定以后，点m必须在确定的范围内运动 才能保证质点的速度平方为正值，此运动范围的
设有三个质点m, m1, m2满足m˂˂m1, m˂˂m2。m1和m2组成二体体系（m1, m2）
各自绕系统的质心O做开普勒运动。设r1, r2为点O至m1, m2的矢径，满足 mr1+mr2=0。m1作用于m2的万有引力 ,r=r2-r1，为m1至m2的矢径。
很容易得到：
u, u1*,u2*定义为：
三体问题的简化
为了解三体问题，那就考虑再简化些吧。认为其中一 个质点的质量非常小，它对其它两个质点的万有引力可以 忽略。这样一来，三体问题就简化成了“限制性三体问 题”。事实上，这样的简化等于是先解一个二体问题，然 后加入一个质量很小的质点，再求解这个质点在二体体系 中的运动方程。 然而，即使这样也还是太复杂了。需要再作简化，就 是所谓“平面限制性三体问题”，就是要求三个质点都在 同一个平面上。然而，即使是对这样极度简化的模型，也 还是没有解析通解，也就是得到一个普遍适用的公式是不 可能的。 我们下面讨论的就是平面限制性三体问题，简称限制 性三体问题。