全国周培源大学生力学竞赛模拟试题-南航

全国周培源大学生力学竞赛

模拟试卷

（南京航空航天大学）

1. 为不使自行车在雨天行驶时车轮带起的泥水落到骑车人的身上，在车轮上方周围设有挡泥板。在设计挡泥板时，从经济角度考虑，应使挡泥板短一些，以节省材料。为方便设计，假设自行车以最大设计速度v 在水平地面上匀速行驶，车轮作纯滚动，后轮的半径为R ，需防护的区域如图中阴影线表示，该区域左边缘距后轮轴的水平距离为l ，下边缘距地面的高度等于后轮的半径R ，如图所示。不考虑空气阻力。

（1）本问题于力学中的什么问题有关？

（2）设计自行车后轮的挡泥板后缘的位置（用图示的ϕ角表示）应满足的方程。

解答：

（1）关键词：平面运动，质点动力学。 （2）以与车轴固连的oxy 坐标系为参考 系（惯性系），下面在此惯性系中讨论。

由运动学，轮的角速度为

R

v =ω 在上述惯性系中，轮作定轴转动。水滴 脱离车轮时的速度为v o

v R v o ==ω

由质点动力学，水滴脱离车轮后的运动方程为：

ϕϕsin cos R vt x -=

ϕϕcos 2

1

sin 2R gt vt y +-=

消去t 得到轨迹方程：

ϕϕϕϕϕcos cos sin 21)sin (tan 2

R v R x g R x y +⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=

代入 0,==y l x

得到ϕ应满足的方程

0cos cos sin 21)sin (tan 2

=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+ϕϕϕϕϕR v R l g R l

2. 如图所示，为了拆除废旧的烟囱，在其根部施行定向爆破时，烟囱倒塌的情形。为简化计算,假设烟囱为均质砖石结构的圆柱，且爆破后其根部可简化为铰链约束。请分析：

（1） 本问题与力学中的什么内容有关系？ （2） 若烟囱倒至θ角（θ<900）时再次发生破

坏，分析其破坏的位置和原因（不考虑轴力的影响）。 解答：

（1） 与达朗贝尔原理、动载荷和弯曲应力有关。

（2） 考虑重力和惯性力引起的弯曲正应力，以及砖石结构的力学性能，可得在

距根部1/3处最大拉应力处（面向地面一侧）先发生破坏。

３. 双杠是体操运动的重要器械，其设计应当符合力学原理。为方便设计，假设只考虑运动员作用在双杠上铅垂向下的力，且双杠的横杠为等截面直杆。 请分析：

本问题与力学中的什么内容有关系？

（1） 建立横杠的力学模型。

（2） 确定立柱的位置，用a 与L 的比值表示。

解答：

(1)与材料力学中的弯曲内力有关。 (2)可简化为如图所示的外伸梁，载荷可作用在梁上任意位置。

4．在工程中常使用组合轴提高构件强度，相同材料组合轴如图（a ）所示，若芯轴直径为d ，套管外径为D ，材料的许用切应力为[]τ。试问：

（1）用何方法可提高该组合轴的强度？若d D 2=，用此法可使外力偶矩m 的许用值[m ]提高百分之几？

（2）若d 可以调整，d 与D 的比值为多大时，对强度最有利？

解答：

（1）用预扭的方法可以提高该组合轴的强度

先给套管加一与m 反向的预扭力偶矩0m ，使套管产生一个预扭角0ϕ，然后将套管与芯轴焊成一体，并去除0m ，造成装配应力。根据芯轴与套管的最大扭

转切应力同时达到许用值[]τ的原则和超静定轴解法易得[]3

015256

D

m πτ=，该组合

轴的扭力偶矩的许用值为

（a ）

（b ）

[][][][][][]3

34120117()1()16216216p p D D m T W W T ππτττ⎧⎫⎡

⎤==+=+

-=⎨⎬⎢⎥⎣

⎦⎩⎭ （a ） 式中， [][]3

016

D T πτ=

（b ）

为该组合轴在无装配应力时的许用扭矩值。

比较式（a ）和式（b ）易得，合理利用装配应力，可使扭矩的许用值[]m 提高6.25％。

（2）设d D β=，β为待定系数。与第一问解法思路相同，预扭，产生装配应力，受m 作用后使芯轴与套管的最大扭转切应力同时到达许用值[]τ，从而得到

[][][][][]3

3412(1)16

p p D m T W W πτττββ==+=

+- （c ）

由

[]0d d τβ

=得， 3

4

β=

（d ） 将式（d ）代入式（c ）得， [][][]3

0283() 1.10525616

D m T ππ== （e ） 比较式（e ）和式（b ）可知，当d 与D 的比值β调至3/4时，对轴的强度最有利，其扭矩的许用值可提高10.5％。