利用空间量解决立体几何中垂直问题

B
AC • AB （AB AD AA）•（AB AA） 0
又因为AB BD=B
所以AC 平面ABD
课堂小结：
1.会用平面内不共线的两向量表示同一平面内 其它向量；
2.结合空间向量基本定理合理选择基底表示空 间的向量；
3.利用向量解决垂直问题关键是利用数量积为 零来判断。
课外作业：
在一个唯一的有序实数对x、y、z，使
u r r r r pxaybzc
二、数量积的性质
rr
1)数量积性质 对于非零向量 a , b ，有：
rr r rr
(1)ae=|a|cosa,e
r r rr
(2 )a r b r r a b = 0 －－证明向量垂直的依据
(3)|a|2=aa r－r－求向量的长度(模)的依据
（1）求证：AABD； （2）当AC平面ABD时，求AAAB的值。
D' A' D A
C' B' C B
变式训练（二）
（2）已知在平行六面体ABCD-ABCD中，有AA=AB=AD，
且AAD=AAB=BAD=，求证：AC平面ABD。
D' A' D A
C'
uuur uuur uuur uuur
证明：AC AB AD AA
=而0 l·m = 0 ，l·n = 0
故 l·g = 0
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC， 求证：OC⊥AB
证明：由 O已 ABC 知 ， OBAC O
所以OABC0, OB AC0
OA(OCOB) 0
OB(OCOA) 0
A
C 所以OAOCOAOB
B
OBOCOBOA
所以OAOCOBOC 0
M u u u N r A u u B u r ＝ 1 (A u u B u r A u u C u r + A u u B u r A u u D u r － A u u B u r 2 ) 2
D ＝1 2（ 1 2a2+1 2a2-a2） =0
MNAB
同理， MNCD
例3 在平行六面体ABCDABCD中，底面是菱形，AAB AADBAD60o。
(OAOB)OC 0
BAOC 0 所以 OC AB
变式训练（一）
(1)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
求证：M N A B,M N C D 。
M B
A
N C
u M uu N u r1（ u A u C u ru A u D u r－ u A u B u r） 2
(4) cos
rr a,b
=arbr
－－求向量夹角的依据
|a||b|
2)数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
2) ab ba (交换律）
3）a(bc) abac (分配律）
注意： 数量积不满足结合律，即（ab)ca(bc)
例1：已知m, n是平面内的两条相交直线，直线 l 与 的交点为B，且l ⊥m ，l ⊥n，求证：l ⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g 垂直。
l
要证l与g垂直，只需证 l·g = 0
r
l
g
Байду номын сангаасmr
而 m , n 不平行，由共面向量 定理知，存在唯一的有序实数 对(x, y), 使得 g =x m + y n
n
n
u r ur mg
要证 l· g = 0, 只需 l ·g = xl ·m + y l ·n
B'
uuur uuur uuur BD AB AD
uuur uuur uuur
AB AB AA
C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 所以AC • BD （AB AD AA）•（AB AD） 0
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
见活页综合检测（16）
利用空间向量解决立体几何中的垂直问题
授课人：程光旭
rr
1.共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量
与向量
uurr
r a
, brr共面r的充要条件是存在实数对x,y,使
ur p
Pp xayb
2、空间向量的r 基r 本r 定理
r
如果三个向量 a , b , c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存