第七章 问题及作业辅导

c b a
立方I 晶胞
B
A 4r
B
a C
C
AC2 = AB2 + BC2 = 2a2 + a2 = 42r2
则，钨原子的半径为：
r=(3a2/16)1/2 =(0.1875×0.31632)1/2 = 0.137(nm)
7-16 在 NaCl 晶胞中，共有几个钠离子和氯离子？其 110 晶面上共接触
2. A2 型堆积的空间利用率 空间利用率 = V球
V晶
×100％
⑴ V球
V球 4 = n（ πr 3 ） 3
4 =(1 + 8×1/8)（ πr 3 ） 3 8 = πr3 3
⑵ V晶 V晶 = a 3
c b
A B
（110）晶面
BC = a
A 4r
B a C
AC = 4r
根据勾股定律： 16r2 = a2 + AB2
Eg ≥ 5eV
7-9 在初中物理中我们知道，金属的导电性随温度的升高而减弱。如何解 释？ 答：
在金属晶体中，由于原子的振动会阻
碍导带中电子的定向运动及运动速度，进 而影响其导电性；温度越高，原子的振动 越快，其导电性越差。
电子
电子
温度较低
温度较高
7-10 指出 A3 型最紧密堆积晶胞中原子的个数。
4r
② V晶
V 晶 = S ·c
= 6√3 r2 × 3.266r = 33.942 r3 ⑶空间利用率 V球 V晶 8πr3 ×100％ = ×100% 33.942 r3 = 74.06％
7-12 试证明 A2 型堆积的空间利用率为 68.02％ 。
证：
1.晶胞 A2 型堆积的晶胞为立方I 结构
即，A2 型堆积的空间利用率为 68.02％。（证毕）
7-13 金属钽为立方I结构，晶胞参数 a = 330pm，试求（110）面间距。 解：
1.晶胞
a = b = c = 330pm α = β = γ = 90°
c
b a
立方I 晶胞 A
45°
2.（110）晶面间距
根据勾股定理有： AB2 = AC2 + BC2 = 2a2 AB =√2 a
晶胞内有 3 个“球”
顶角：晶胞的 12 个顶角有 12 个“球”，每个“球”分别归 6 个晶 胞共有。即： 12×1/6 = 2 面心：晶胞的上下底面各有 1 个“球”，每个“球”分别归 2 个晶胞 共有。即： 2×1/2 = 1 即，晶胞中所含“球” 的个数为 3 + 2 + 1 = 6
② V球
=[a2 - 0.5a2 ]1/2 = √0.5 a = 0.707×389pm = 275pm
7-15 由 X 衍射实验结果分析得知，金属钨具有立方体心结构，其晶胞参
数：a = 0.3163nm，试求钨原子的半径。
解：
A
1.晶胞
a = b = c = 0.3163nm α = β = γ = 90° 根据勾股定理有：
答： A3 型最紧密堆积中抽取出的晶胞为六方晶胞。从 六方晶胞可知，晶胞所属原子个数为： 顶角 面心 晶胞内 12×1/6 = 2 2×1/2 = 1 3
六方晶胞
即，晶胞中原子的个数 = 2 + 1 + 3 = 6
7-11 已知，六方晶胞的轴率（边长比）为1.633。试求 A3 型最紧密堆积的
空间利用率。 解： 1.晶胞及轴率 ⑴晶胞
关，如果能带中的电子可以有多种分布状况。在温度差的推动作用下，能 带中的电子可将体系中高温部位的热量较快地传递到低温部位。
由于金属晶体具有“导带”或“重带”结构，所以金属一般具有良好
的导热性。由于不同的金属，其能带结构不同，能带中电子排布方式也有 所不同，使得其导热性有所不同。
3.延展性 ⑴自由电子模型的解释
自由电子模型认为，当金属受到外力作用时，晶体中的各原子层就会 发生相对滑动。 由于金属离子与自由电子之间的相互作用没有方向性，滑动以后，各 层之间仍能保持这种相互作用（特殊离域共价键不受影响）。故金属一般 具有良好的延展性。 ⑵固体能带理论的解释 固体能带理论认为，金属晶体中的电子是处在带正电的原子核组成的 周期性势场中运动，它将整块金属当作一个巨大的超分子体系。 晶体中 N 个同种原子轨道线性组合，得到 N 个分子轨道。由于分子 轨道能级间隔极小，不同的原子轨道形成不同的能带。
b
111
a ①与111晶面的交角为45°； ②与210 晶面的交角为18.43°； A tgθ= 对/邻 = 1/2 b
b
110
210
θ= arc tg0.5 = 26.57°
∠DAC =180°-90°-45°-26.57° = 18.43°
B
D
a
θ
C
⑷111 晶面 c
111
b
b
111 210
a
距离是多少？ 解： 1.晶胞 a = b = c = 389pm α = β = γ = 90° 根据勾股定理有： AC2 = AB2 + BC2 = 2a2 c b a
立方F 晶胞 001 A B
D
C
a
AC =√2 a
同理，Pd 原子之间的最短距离为：
BD =(AB2 - AD2)1/2 =[a2 -(0.5AC)2]1/2
几个钠离子和氯离子？
答： 1.在 NaCl 晶胞中，共有 4 个钠离子 和 4 个氯离子。 Na+ 数 Cl- 数 12×1/4 + 1 = 4 8×1/8 + 6×1/2 = 4 NaCl 晶胞 Na+ Cl-
7-6 为何不同金属其密度、硬度有所不同？用金属键自由电子模型的观点
来解释。 答：
1.密度 从金属键自由电子模型的观点来看，不同的金属其原子半径不同，原 子的堆积方式不同，必然导致其密度不同。 2.硬度 金属的硬度与其金属键的强度有关，金属键的强度越大，其硬度也应 相应越大。而金属键的强度与其自由电子的离域范围有关，自由电子的离
a
111 晶面与210 晶面的交角为18.43°。 7-2 每个立方面心点阵型式中，共包含几个点阵点？ 答：每个立方面心点阵型式中，共包含4个点 阵点。 8×1/8 + 6×1/2 = 4
8个顶角 6个面心
立方 F
7-3 每个六方 H 点阵型式中，共包含几个点阵点？ 答：每个六方 H 点阵型式中，共包含 3 个
问题讨论及辅导
天才来自于勤奋，慎思是勤奋的动力，练 习是学好基础知识的必要措施，懒惰不可能成 为天才。 孔子曰：学而不思则罔，思而不学则殆。 敏而好学，不耻下问。 知之者不如好之者，好之者不如 乐之者。 学而时习之，不亦悦乎。
7-1 已知“愚人金”（FeS2）属于立方晶系，作图表示其晶面（100）、
7-5 分析在立方晶系中，相距最近的正八面体空隙中心点的距离。
解：
取(0 0 1/2)晶面：设，立方晶胞的边长 为 a ，相距最近的正八面体空隙中心点的距 离 S。 由图中可知： S = EC = DE = 2EF CD = a = 2CG
B
在ΔDEC中，由勾股定理可知：
CD2 = a2 = DE2 + EC2 = 2EC2 = 2S2 则： S =√1/2 a = 0.707a a D A E S F G C
域范围越大，其硬度也应越大。
另外，金属键的强度还与金属原子的价电子数目有关，其价电子数越 大，可能产生的自由电子数目越大，使得金属键的强度越大。
7-7 解释为什么不同的金属，其导电性、导热性、延展性各有不同？
答：
1.导电性
⑴自由电子模型的解释 自由电子模型认为，在金属晶体中有大量的、自由地运动的“自由电 子”；这些自由电子在外加电场的条件下，将会发生定向运动，因而形成 电流。所以金属一般具有良好的导电性。 ⑵固体能带理论的解释 固体能带理论认为，固体物质的导电性与其能带中的电子排布方式有 关，如果能带中的电子可以有多种分布状况。那么，在外电场的作用下， 可以得到净的电子流——导电。 由于金属晶体具有“导带”或“重带”结构，所以金属一般具有良好 的导电性。由于不同的金属，其能带结构不同，能带中电子排布方式也有 所不同，使得其导电性有所不同。
c
晶胞参数
a = b ≠ c
c
b
b
α = β = 90°
a
a
γ = 120°
⑵轴率 轴率
c a = 1.633
2r
晶胞高 c = 1.633a = 2×1.633r = 3.266r
2.A3 型最紧密堆积的空间利用率 空间利用率 = ⑴V球 V球 = n （ V球 V晶 ×100％
4 πr3） 3 ①晶胞中所含“球” 的个数
2.导热性 ⑴自由电子模型的解释 自由电子模型认为，金属的导热性也与金属晶体内自由电子的运动有 关。当金属某一部分受热时，在那个区域里的自由电子的能量增加，运动 速度加快，于是，通过碰撞，自由电子把能量传给其他金属离子。故金属 容易导热。 自由电子数目越多，其导热性应越好。 ⑵固体能带理论的解释
固体能带理论认为，固体物质的导热性与其能带中的电子排布方式有
Eg < 3eV 电子跃迁
的跃迁而缺少电子（产生空穴）也变成导
带。在此情况下也可以导电。
半导体能带结构
导带
3.绝缘体
如果固体中的空带与相邻的满带相隔较远，在 一般条件下，满带中的电子不能跃迁到空带中而形 成导带，则不可能为形成净的电子流而导电。 具有这种能带结构特征的固体，一般将其称为 绝缘体。
绝缘体能带结构特征
⑵010 晶面 c
010 A
b
010
θ 110 111 210 B
b a
a
C
①与110 晶面的交角为45°； ②与111 晶面的交角为45°； ③与211 晶面的交角为26.57°； tanθ= 对/邻 = 1/2 θ= arc tg0.5 = 26.57°
⑶110 晶面 c
110
c
ຫໍສະໝຸດ Baidu110
111
C D
L
B 110
同理： L2 = AC2 - AD2 = AC2 -(0.5AB)2 则：
= a2 -(0.5×√2 a)2 = a2 - 0.5a2 = 0.5a2
L =√0.5 a = 0.707×330pm = 233pm
7-14 金属 Pd 为立方面心密堆积，a = 389pm，试求 Pd 原子之间的最短
（010）、（110）、（111）、（210）的取向；并指出各晶面相应的交角
是多少？
答：
1.晶面 ⑴晶胞参数与坐标 c b β α a 天然 FeS2 晶体
γ
a = b = c α = β = γ = 90°
⑵晶面取向 c
100 010 110
b a
210
111
2.各晶面交角 ⑴100晶面 c
100
V球
⑵V晶 ① S底
4 = n（ πr3） 3 4 = 6（ πr3）= 8πr3 3
S底
c
V晶= 底面积（S底）× 高（c） 2r S1= (2r+4r)h = 3rh 2 3 • 2r = 2 h
h = 邻 = cos30°•2r
S1
4r
=
3 r
cosθ = 邻 斜
θ
斜=2r 对 邻
则： S底 = S1 + S2 = 6√3 r2
点阵点。
12×1/6 + 2×1/2 = 3
12个顶角 2个面心
7-4 每个立方面心点阵型式中，共包含几种正八面体空隙？ 答：每个立方面心点阵型式中，共包含两种正八面体空隙。 1.在晶胞内有 1 个完整的正八面体空 隙，分别由 6 个面心点阵点构成。
2.由相邻的 3 个晶胞共有 1 个正八面
体空隙（与晶胞内的正八面体空隙共用一条 棱边）。
b
A
b a B
110
010
100
111
111
45°
210 θ a
b C a
①与010 晶面的交角为90°；
②与110 晶面的交角为45°； ③与111 晶面的交角为45°； ④与210 晶面的交角为63.43°。
在ΔABC中： ∵tgθ= 对/邻 = 1/2 则：
θ= arc tg0.5 = 26.57° ∠BAC = 180°- 90°- 26.57° = 63.43°
a
A B
C AB2 = BD2 + AD2 = 2a2 则： 16r2 = a2 + 2a2 = 3a2
D
于是： V晶 = a 3 43r3 = 3√3
C
a =
4r
√3
⑶空间利用率 V球 V晶 ×100％ = 8 πr 3 3
8 64 r3
×100％
3√3 = √3 π ×100 = 68.02％ 8
当受外力作用时，金属的这种能带不会受到破坏，使得一般金属均具
有较好的延展性。不同的金属，其能带结构不同，必然使得其延展性有所 差异。
7-8 解释固体物质的导电性，为什么有导体、半导体和绝缘体之分？ 答：
1.导体 固体能带理论认为，固体物质的导电性与其能带中的电子排布方式有 关。如果能带中的电子可以有多种分布状况，在外电场的作用下，可以得 到净的电子流——导电。 也就是说，具有“导带”或“重带”结构的固体，一般有较好的导电 性，称为导体。 2.半导体 若固体中的空带与相邻的满带相隔很 近，满带中的电子在一定条件下也可以跃 迁到空带中形成导带；同时，满带因电子