正交变换在判断曲面形状中的应用
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＿厂（ ，Ｙ ，ｚ ）＝（１一 ）ｘ ＋Ｙ ＋（１＋ ）ｚ“，
所 以 原 二 次 型在 新 的 直 角 坐标 系 中 的方 程 为
Ｙ ＋（１＋ ）ｚ“一（ 一１） “＝１．
ｏ］， ０ ０ ０ 令 Ｘ ＝ＰＸ ，Ｘ ＝
通 过正交变换 的方法 ，可 以直 观地看 出这 是一 个单 叶 双 曲 面．
的点 ，且 使 Ｐ为一条母线 ，则母 线的参数方程为
，
： ，
一
，
２Ｙ＝Ｙ ， 解出 ，Ｙ ，： 后代入准线方程，
【 ： ，＋ ．
“ｎ
１ １
丁
（ ］，则原方程等 １ １ １
它 的矩 阵 Ａ＝
设 ， ｘ ＝
上 上 ｎ
２ ２
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得
号 价 为 ＸＴＡＸ ＝ｎ ，ｌ ＡＥ —Ａ Ｉ＝ 一
·
·
● 婚
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为
正 交 ２ 矩
Ｐ＝（叼 ａ，Ｉ 叼３），此处得 到 Ｐ： 阵 ０
且
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３ ３
一，，』．】 一 ， ．２．．． ，．．．．０ ． 鱼 Ａ． ＝＿． ．．√．．．２．。． ｏ．
２
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厂 、
令 ｘ：Ｐ ｌ ：ｊ’代入则得
三 ｆ
２ ）
（２）同上 ，通过正交变换 的方 法 ，将 原方 程化 为 ＝０，
判 断 曲 面是 平 面．
（ ；］，代入则得，ｃ ，ｙ ，ｚ ＝吾ｚ“一譬，所以原二次型在 （３）通过正交变换 的方法，将原方程化为 ＋２ｙ ＋ ３ｚ ＝１，判 断它是一个椭球面．
（３）原方 程化 为 Ｙ 一５ｚ ＝０，判 断其 为 一个 二 次
一 、 判 断 曲面 是 柱 面 的 方 法 （一 ）传统方法 例 ２ 证 明 方 程 （ ＋Ｙ）（Ｙ＋ ）＝ａ 表 示 的 曲 面 是 柱 面．
ｒ ＋ ’，＝ ａ ．
解 显然直线 ２
在曲面上，方 向向量为 （１，
【ｙ＋ ａ
一 １，１）．
设 Ｍ（ ，Ｙ’，ｚ ）是 曲面上任 意点 ，即 Ｍ（ ，Ｙ ，ｚ ）满 足
表示的是柱面就不是那 么容 易 了．即便如此 ，还 是有方 法可 存在 ｏ，判 断这 是一 个柱 面．对 于各个 特 征值 ，求 出 （ＡＥ—
以 判 断 ．
Ａ）＝０的一 个基 础解 系 ，再 单 位 化 ，得 到 叩。， ：， ，再 令
数 学 学 习与 研 究 ２０１８．１５
●
高 教 视 野
臻 ●
高 教 视 野
囊囊换侄 瞬鲍 咿 虞翩
◎蒋昌松 赵春娥 （中国石 油大学（华 东）理 学院 ，山东 青 岛 ２６６５８０）
【摘 要】在 空间解析 几何 中，由准 线方 程和 母 线方 向易 于求 出柱 面方程 ，但是 反之 ，判 断方 程表 示柱 面 并非 易事． 根据 目前 的方法也 仅 能判 断是柱 面 ，但 是具 体是 柱 面 中的 哪 一种 无法得知．本 文利用正交变换 的方法 ，不仅 能判 断是 柱面 ，而且还 能判 断其 种 类，研 究其 性质 ；进 一 步利用 正交 变换 的方法 ，判 断一般 二次型方程对应 曲面 的形状．
任意一点 ，所 以得到 的曲面是柱 面． 这种方法是 先确定 曲面 的母 线方 向，然后 证 明通 过 曲
柱面和二次 曲面形 状中的应用．
面上任意一 点的与母 线方 向平 行 的直线都 在 曲面 上．但 这
定义 １ 一条直线 沿 着一 条空 间曲线 ｃ做平行 移动 只能说 明曲面是 一个 柱面 ，但 属于哪一种 柱面并 不能判 断．
新的直角坐标系中的方程为÷ “～譬＝。２，即 一 锥 面．
所产生 的曲面称 为柱面． 在 每一 个位 置都 称为母 线 ，ｃ称 为 了更准确地判 断柱 面类 型 ，下面 利用 正交 变换 判断 曲面
为 准 线 ．
是 柱 面 ．
通过定义 １，我们知道 当我们得到一个柱 面的母 线方 向
（二）利用正交变换 判断 曲面是柱面
和一条准线 的方程 ，那么就能算 出柱 面方 程．
ｒ ＋ ｙ ＝ 戈’＋ Ｙ ，
化简得到｛【
’
Ｙ ＋ｚ＝ Ｙ ＋ ｚ ，
所 以 （ ＋Ｙ）（Ｙ＋Ｚ）＝（ ＋Ｙ ）（Ｙ ＋ ）＝ｎ ，即 Ｐ点 的
变换不仅在数 学学 科 的理论 方 面有 很 多研究 ，在 其他 坐标满 足曲面方 程 ，整条直线都在 曲面上 ，因为 是 曲面上
的工程领域也有 着重 要 的应用．比如 ，图形 图像 处 理 、计算 机以及算法设计 等［Ｓ－ｌＯ］．本文 主要研 究 了正交 变换在 判 断
解 方程左端 的二次项部 分 －ｆ（ ，，，， ）＝ｘｙ＋ ＋ ＋
例 １ 求母线 的方 向数为 一１，０，１，准线方程 为
， 下面把它正交替换成标准 型 ：
．
． ｛ｆ ２ ｚ＋＋ｙ‘２ ＋ ＋ｚ＝２ １， ２的柱 面方程·
解 设 Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）是柱面 上的点 ，Ｍ（ ，Ｙ ， ）是 准线上
１ ２
，
消去参数 后 即得 柱面方程为 （ ＋ ） ＋ｙ２＝１．
１
百度文库ｌ
Ａ
２
２
由例 １，我们可 以看 出 ，通过准线 和母线 ，可 以轻 易地给 出柱面的表达式 ，但 反过 来 ，给定一 个方 程 ，我 们来 判 断它
（Ａ＋丢）Ａ（Ａ一吾），Ａ的全部特征值为一 １，ｏ，寻，特征值
【关键词 】正交变换 ；特征值 ；柱面 ；二次 曲面 【基金项 目】山东省 自然科 学基金 （ＺＲ２０１６ＦＬ０１）；青 岛 市科技计 划 项 目（１６—５一ｌ一５一ｊｃｈ）；中国石 油 大 学（华 东 ）自主创新 科研 计划 项 目（１６ＣＸ０２０１３Ａ）；中国石 油 大学 （华东）青年教 师教 学改革项 目（ＱＮ２０１６２２）．
｛Ｌ， ， ’ Ｐ（ｘ ，Ｙ，ｚ）是过 Ｍ的直线 ＿ｙ’＋ ｚ。＝ ０ ，
上 的一点 ，验证 Ｐ（ ，ｙ， ）在 曲面上．
＝ ＿上 ＝ 一
在线性代数 中 ，正交变换是 线性变换 的一种．它从 实 内 积 空 间 映 射 到 Ｖ自身 ，保 证 变 换 前 后 内积 不 变 ｎＩ２］．正 交
所 以 原 二 次 型在 新 的 直 角 坐标 系 中 的方 程 为
Ｙ ＋（１＋ ）ｚ“一（ 一１） “＝１．
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通 过正交变换 的方法 ，可 以直 观地看 出这 是一 个单 叶 双 曲 面．
的点 ，且 使 Ｐ为一条母线 ，则母 线的参数方程为
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２Ｙ＝Ｙ ， 解出 ，Ｙ ，： 后代入准线方程，
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号 价 为 ＸＴＡＸ ＝ｎ ，ｌ ＡＥ —Ａ Ｉ＝ 一
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（２）同上 ，通过正交变换 的方 法 ，将 原方 程化 为 ＝０，
判 断 曲 面是 平 面．
（ ；］，代入则得，ｃ ，ｙ ，ｚ ＝吾ｚ“一譬，所以原二次型在 （３）通过正交变换 的方法，将原方程化为 ＋２ｙ ＋ ３ｚ ＝１，判 断它是一个椭球面．
（３）原方 程化 为 Ｙ 一５ｚ ＝０，判 断其 为 一个 二 次
一 、 判 断 曲面 是 柱 面 的 方 法 （一 ）传统方法 例 ２ 证 明 方 程 （ ＋Ｙ）（Ｙ＋ ）＝ａ 表 示 的 曲 面 是 柱 面．
ｒ ＋ ’，＝ ａ ．
解 显然直线 ２
在曲面上，方 向向量为 （１，
【ｙ＋ ａ
一 １，１）．
设 Ｍ（ ，Ｙ’，ｚ ）是 曲面上任 意点 ，即 Ｍ（ ，Ｙ ，ｚ ）满 足
表示的是柱面就不是那 么容 易 了．即便如此 ，还 是有方 法可 存在 ｏ，判 断这 是一 个柱 面．对 于各个 特 征值 ，求 出 （ＡＥ—
以 判 断 ．
Ａ）＝０的一 个基 础解 系 ，再 单 位 化 ，得 到 叩。， ：， ，再 令
数 学 学 习与 研 究 ２０１８．１５
●
高 教 视 野
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高 教 视 野
囊囊换侄 瞬鲍 咿 虞翩
◎蒋昌松 赵春娥 （中国石 油大学（华 东）理 学院 ，山东 青 岛 ２６６５８０）
【摘 要】在 空间解析 几何 中，由准 线方 程和 母 线方 向易 于求 出柱 面方程 ，但是 反之 ，判 断方 程表 示柱 面 并非 易事． 根据 目前 的方法也 仅 能判 断是柱 面 ，但 是具 体是 柱 面 中的 哪 一种 无法得知．本 文利用正交变换 的方法 ，不仅 能判 断是 柱面 ，而且还 能判 断其 种 类，研 究其 性质 ；进 一 步利用 正交 变换 的方法 ，判 断一般 二次型方程对应 曲面 的形状．
任意一点 ，所 以得到 的曲面是柱 面． 这种方法是 先确定 曲面 的母 线方 向，然后 证 明通 过 曲
柱面和二次 曲面形 状中的应用．
面上任意一 点的与母 线方 向平 行 的直线都 在 曲面 上．但 这
定义 １ 一条直线 沿 着一 条空 间曲线 ｃ做平行 移动 只能说 明曲面是 一个 柱面 ，但 属于哪一种 柱面并 不能判 断．
新的直角坐标系中的方程为÷ “～譬＝。２，即 一 锥 面．
所产生 的曲面称 为柱面． 在 每一 个位 置都 称为母 线 ，ｃ称 为 了更准确地判 断柱 面类 型 ，下面 利用 正交 变换 判断 曲面
为 准 线 ．
是 柱 面 ．
通过定义 １，我们知道 当我们得到一个柱 面的母 线方 向
（二）利用正交变换 判断 曲面是柱面
和一条准线 的方程 ，那么就能算 出柱 面方 程．
ｒ ＋ ｙ ＝ 戈’＋ Ｙ ，
化简得到｛【
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所 以 （ ＋Ｙ）（Ｙ＋Ｚ）＝（ ＋Ｙ ）（Ｙ ＋ ）＝ｎ ，即 Ｐ点 的
变换不仅在数 学学 科 的理论 方 面有 很 多研究 ，在 其他 坐标满 足曲面方 程 ，整条直线都在 曲面上 ，因为 是 曲面上
的工程领域也有 着重 要 的应用．比如 ，图形 图像 处 理 、计算 机以及算法设计 等［Ｓ－ｌＯ］．本文 主要研 究 了正交 变换在 判 断
解 方程左端 的二次项部 分 －ｆ（ ，，，， ）＝ｘｙ＋ ＋ ＋
例 １ 求母线 的方 向数为 一１，０，１，准线方程 为
， 下面把它正交替换成标准 型 ：
．
． ｛ｆ ２ ｚ＋＋ｙ‘２ ＋ ＋ｚ＝２ １， ２的柱 面方程·
解 设 Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）是柱面 上的点 ，Ｍ（ ，Ｙ ， ）是 准线上
１ ２
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消去参数 后 即得 柱面方程为 （ ＋ ） ＋ｙ２＝１．
１
百度文库ｌ
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由例 １，我们可 以看 出 ，通过准线 和母线 ，可 以轻 易地给 出柱面的表达式 ，但 反过 来 ，给定一 个方 程 ，我 们来 判 断它
（Ａ＋丢）Ａ（Ａ一吾），Ａ的全部特征值为一 １，ｏ，寻，特征值
【关键词 】正交变换 ；特征值 ；柱面 ；二次 曲面 【基金项 目】山东省 自然科 学基金 （ＺＲ２０１６ＦＬ０１）；青 岛 市科技计 划 项 目（１６—５一ｌ一５一ｊｃｈ）；中国石 油 大 学（华 东 ）自主创新 科研 计划 项 目（１６ＣＸ０２０１３Ａ）；中国石 油 大学 （华东）青年教 师教 学改革项 目（ＱＮ２０１６２２）．
｛Ｌ， ， ’ Ｐ（ｘ ，Ｙ，ｚ）是过 Ｍ的直线 ＿ｙ’＋ ｚ。＝ ０ ，
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在线性代数 中 ，正交变换是 线性变换 的一种．它从 实 内 积 空 间 映 射 到 Ｖ自身 ，保 证 变 换 前 后 内积 不 变 ｎＩ２］．正 交