五年级 第6讲 长方体与正方体的体积(教师版)【修订版1.0】

第6讲 长方体与正方体的体积
一、教学目标
1.掌握长方体与正方体体积的求法，并熟记公式．
2.掌握长方体与正方体体积变化规律．
3.培养学生的三维空间想象能力．
二、知识要点
1.长方体
长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，那么可得： 长方体的体积：V abh =；
长方体共有六个面（每个面都是长方形），底面面积为S ，高为h 时有：
长方体的体积：V Sh =． 2.正方体
我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长
方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么可得：
正方体的体积：3
V a =；
正方体共有六个面(每个面都是正方形)，底面面积为S ，高为h 时有：V Sh = 3.体积变化规律
①体积变化时，减去实际减少部分即可．
②多次挖孔时，需考虑是否有重合部分，实际挖去部分是否与独立挖去时相同．
③从长方体上切正方体时，剩余部分不一定是长方体． 4.排水法
物体浸没在水中，原本容器中的水则会上涨，上涨部分水的体积等于浸没
a b c a
部分的体积．将物体拿出，则水位下降，利用V Sh 就可以算出物体的体积．
排水法适用于：①不吸水物体；②不规则物体．
三、例题精选
【例1】 求下列图形的体积（单位：cm ）．
（1）
（2）
【★★★★★】
【解析】（1）60cm 3；（2）512cm 3。

（1）3×5×4=60（cm 3）；
（2）8×8×8=512（cm 3）。

【巩固1】求下列图形的体积（单位：cm ）．
（1）
（2）
【★★★★★】
【解析】（1）216cm 3；（2）125cm 3。

（1）9×6×4=216（cm 3）； （2）5×5×5=125（cm 3）。

【例2】 一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，
并且都是整厘米数，则长方体的体积等于多少立方厘米？
【★★★★★】
【解析】8立方厘米．
由题意知长、宽、高的和为：28÷4=7（厘米），又根据长宽高各不相同，且是整数，所以只能是1、2、4，故体积为：1×2×4=8（立方厘米）．
5
3
4
5
5
5
【巩固2】有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的3倍与高的2倍之和比宽的6倍多6厘米．这个长方体的体积是多少立方厘米？
【★★★★★】
【解析】486立方厘米．
长是宽的2倍，宽是高的3倍，则长是高的6倍，长的3倍则是高的3×
6=18倍，长的3倍与高的2倍之和为高的18+2=20倍，宽是高的3倍，
宽的6倍则是高额3×6=18倍，则多出的6厘米为高的20-18=2倍，所以
高为6÷2=3（厘米），宽为3×3=9（厘米），长为：3×6=18（厘米）．则
长方体体积为：3×9×18=486（立方厘米）
【例3】如果一个棱长为2厘米的正方体的体积增加208立方厘米后仍是正方体，则棱长增加多少厘米？
【★★★★★】
【解析】4厘米：
原来体积为：2×2×2=8（立方厘米），后来体积为：8+208=216（立方厘
米），216=6×6×6，则棱长增加6－2=4（厘米）
【巩固3】如果一个棱长为6厘米的正方体的体积减少189立方厘米后仍是正方体，则棱长减少多少厘米？
【★★★★★】
【解析】3厘米．
原来体积为：6×6×6=216（立方厘米），后来体积为：216-189=27（立
方厘米），27=3×3×3，则棱长减少6－3=3（厘米）．
【例4】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下
一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，
剩下的体积是多少立方厘米？
【★★★★★】
【解析】1107立方厘米．
最大可以先切去12×12×12的正方体，第二次还能切一个9×9×9的正方
体，再切一次可以切6×6×6的正方体，剩下的体积应该是：21×15×12
－（12×12×12+9×9×9+6×6×6）=1107（立方厘米）．
【巩固4】一个长、宽、高分别为16厘米、14厘米、8厘米的长方体，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一
个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩
下的体积是多少立方厘米？
【★★★★★】
【解析】552立方厘米．
最大可以先切去8×8×8的正方体，第二次还能再切一块8×8×8的正方体，还剩8×（14-8）×16=8×6×16，再切一次可以切6×6×6的正方体，剩下
的体积应该是：16×14×8-（8×8×8×2+6×6×6）=552（立方厘米）．
【例5】有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔，求这个立体图形的体积是多少？
【★★★★★】
【解析】76立方厘米．
将此带孔正方体看做由8个2×2×2=8（立方厘米）的正方体和12个1立
方厘米的正方体粘成，所以总体积为：8×8+12=76（立方厘米）．
【巩固5】一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央都打一个棱长为4厘米的正方形的贯穿洞．那么这个长方体
剩下部分的体积是多少立方厘米？
【★★★★★】
【解析】436立方厘米．
原正方体体积为：12×9×7=756（立方厘米），切去部分体积为：4×4×
（12+9+7）－4×4×4×2=320（立方厘米），故原正方体剩下部分体积为：756-320=436（立方厘米）．
【例6】有大、中、小三个正方体水池，它们的内棱长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了8
厘米和9厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水
面升高了多少厘米？
【★★★★★】
【解析】3厘米．
把碎石沉浸在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石体积．
因此，沉入中水池的碎石体积是：3×3×0.08=0.72（立方米），沉入小水
池的碎石体积是：2×2×0.09=0.36（立方米），两堆碎石的体积一共是
0.72+0.36=1.08（立方米），把他们都沉入大水池里，大水池水面升高所
增加的体积也是1.08立方米，而大水池的底面积是6×6=36（立方米），
所以水面升高了：1.08÷36=0.03（米）=3（厘米）．
【巩固6】边长40厘米立方体容器中装有水，水面上漂浮着一个体积为7200立方厘米的篮球，篮球在水面下的体积1200立方厘米，是若将篮球按至刚好
一半在水面下，水面将上升多少厘米？（水的深度足够，且不会溢出）【★★★★★】
【解析】1.5厘米．
篮球浸入水中的体积为1200立方厘米，如果把篮球按至刚好一半在水面
下，那么水面要上升来空出这一部分体积，则需要上升：（7200÷2-1200）÷（40×40）=1.5（厘米）．
四、回家作业
【作业1】求以下图形的体积：
（1）一个长方体的长宽高分别为6cm、5cm、4cm；
（2）一个正方体的棱长为10cm。

【★★★★★】
【解析】（1）120cm3；（2）1000cm3。

（1）6×5×4=120（cm3）；
（2）10×10×10=1000（cm3）。

【作业2】一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？
【★★★★★】
【解析】54立方厘米．
依题意，这个长方体的长宽高之和是：48÷4=12（厘米），
又它的长是宽的2倍，高与宽都等于：12÷（2+1+1）=3（厘米），
则长为：3×2=6（厘米）．
故长方体体积为：6×3×3=54（立方厘米）
【作业3】用125个棱长为1厘米的正方体可以拼成一个棱长为5厘米的正方体，要使拼成的立方体的棱长变为6厘米，则需要增加棱长为1厘米的正方
体多少个
【★★★★★】
【解析】91个．
6×6×6=216（个），216-125=91（个）
【作业4】一个3×5×6长方体，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分
尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
【★★★★★】
【解析】28立方厘米．
最大可以先切去3×3×3的正方体，第二次还能再切一个3×3×3的正方体，再切一次可以切2×2×2的正方体，剩下的体积应该是：3×5×6－（3×3
×3×2+2×2×2）=28（立方厘米）．
【作业5】如图所示，一个555
⨯⨯的孔，剩余
⨯⨯的立方体，在两个方向上开有115
部分的体积为多少？
【★★★★★】
【解析】116：
原正方体体积为：5×5×5=125，切去部分体积为5+5－1=9，故剩下部分体积为：125-9=116．
【作业6】如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块
从容器中取出，水面将下降多少厘米？
【★★★★★】
【解析】1.5厘米．
木块浸入水中的体积为：（5－2）×5×5=75（立方厘米），如果把木块拿出没那么四周的水要补充一部分来填充这部分体积，则需下降：75÷50=1.5（厘米）．。