第三章 杆件横截面上的应力

Ip
2 dA
A
A（x2 y 2 )dA I y I x
4.惯性积
I xy
xy d A
A
惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零
如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的 任一对正交轴的惯性积必为零。
目录
例3-6 试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。
_
11
FN1 A
10 103 200 106
Pa=50MPa
22
FN 2 A
10 103 200 106
Pa=-50MPa
33
FN 3 A
25 103 200 106
Pa=125MPa
10
目录
例题3-2 图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；
斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截
=F F+
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
一、实验现象和平面假设
F
F
mn
mn
1、变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。 2、变形前垂直于纵向线的横向线, 变形后仍为直线，且仍与弯曲了 的纵向线正交，但两条横向线间 相对转动了一个角度。
平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为平面。
例3-7 试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形心轴
x、y的惯性矩Ix、Iy。
解：（一）圆形 在圆形上距圆心为ρ处取宽度为dρ的细圆环为微面积
Ip
2 dA
A
d / 2 2 3 d d 4
0
32
圆形是中心对称的图形，对x轴和y轴的惯性矩
相等，即Ix = Iy 。
Ip Ix
Ix Iy
目录
例题3-3 已知离合器传递的功率P＝7.5kW, 转速n =100r/min,轴的最大
切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相
同。求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。
解：M x
Me
9550
P 716.2N m n
空心轴 max2
丝中产生的最大应力。设 E 200GPa 。
解 取钢丝作为研究对象，
d 1.0005m 1m
D
max
E
ymax
200 109
0.0005 1
Pa
100MPa
目录
三、截面的几何性质
1.静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A D2 12
2
2
46 103 1 0.52
目录
例题3-4 已知E轴所传递的功率P1＝14kW, H轴、 C轴所传递的功率 P2= P3=P1/2。n1=n2=120r/min，z1=36，z3=12；d1=70mm， d 2=50mm, d3=35mm。求:各轴横截面上的最大切应力。
FAY
3m
FQ 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
有正应力，且各点的正应力相等，即横截面上正应力均匀分布。
FN
A
正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。
若杆截面沿轴线缓慢变化，横截面上的正应力为x的函数。
(x) FN (x) / A(x)
目录
二、圣维南原理
将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处（距离约等于截面 尺寸），该影响非常微小。
90MPa
4
F
2
FN 2 A2
20 103 152 106
89MPa
目录
第三节 圆轴扭转时横截面上的切应力
一、实验现象和平面假设 平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为形状、大小、
互相之间的距离不变的平面。
由平面假设可推断，横截面上只有沿圆周切线方向的切应力。
目录
二、横截面上的切应力 1.几何方面
第三章 杆件横截面上的应力
第三章 杆件横截面上的应力
❖ 第一节 应力、应变极其相互关系 ❖ 第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上
的正应力 ❖ 第三节 圆轴扭转时横截面上的切应力 ❖ 第四节 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力 ❖ 第五节 梁纯弯曲时横截面上的正应力 ❖ 第六节 梁横力弯曲时横截面上的应力 ❖ 第七节 组合变形时横截面上的应力
I y 2I x
d 4
64
2I y
d 4
32
（二）圆环形 将计算Ip的积分式的积分上、下限 对应改为 d 、D
22
Ip
32
(D4
d
4)
Ix
Iy
64
(D4
d4)
目录
第六节 梁横力弯曲时横截面上的应力
一、横力弯曲正应力公式
弹性力学分析表明，当梁跨度 l 与
横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）
▪中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
目录
中性层
中性轴
二、横截面上的正应力
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn dx
d
y
dx
y
1.几何方面
F
yd d y
d
2.物理方面 E y E
3.静力等效
FN
dA
A
E
ydA
A
0
M
y
zdA
A
E
zydA
A
0
M z
目录
例题3-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN；A=200mm2；
试求1-1、2-2、3-3截面上的应力。
A 1 B 2 C 3D
解（1）作出轴力图，
F1
1F2
10 kN
+
10 kN
2 F3 3 F4
25 kN
+
FN1=10kN，FN2=-10kN，FN3=25kN （2）求应力
ydA
A
E
y2dA EIZ
A
结论 1.中性轴过截面形心
2. 1 M Z
EIZ
3. M z y
Iz
目录
M m
M n
中性轴
z
y
Mzy Iz
MZ:横截面上的弯矩
y:点到中性轴的距离
o
o
IZ:截面对中性轴的惯性矩
dA
z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
mn dx
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
解：1、计算各轴的功率与转速
3
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n3＝n1
z1 z3
＝360r/min
2、计算各轴的扭矩
M1=Mx1=1114 N·m
M2=Mx2=557 N·m M3=Mx3=185.7 N·m
3、计算各轴的横截面上的最大切应力
Emax
M x1 WP1
16 1114 π 703 10-9
Mx WP 2
16M x
πD23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
实心轴
max1
Mx WP1
16M πd13
x
40MPa
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A
1
平行于截面的分量τ－－切应力 3. 应力的单位
+ _
应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡）
1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
目录
二、正应变、切应变
线变形 CD CD
1.变形
F
角变形 DCE DCE
2.线(正)应变 一点处沿某一方向微小
CC’ E E’
D
A
线段的相对变形。
均为正的正应力，而中性轴以上部分纤维受压，均为负的正应
力；M为负时，应力正负号则相反。
M
max
M z ymax Iz
Mz Wz
Wz I z / ymax 抗弯截面模量。
中中性性轴 轴
bh2 Wz 6
Wz
d3
32
Wz
d3
32
(1 4 )
目录
例3-5 把直径为 d 1mm 的钢丝绕在直径为D=2m的卷筒上，试计算钢
D’
A’
平均线应变
m
CD CD CD
一点处线应变 lim CD CD
D C CD
3.角（切）应变 一点处微体直角的改变量
平均角应变
m
2
DCE
一点处角应变
lim
D C
E C
2
DCE
五
目录
三、胡克定律
1.单元体 边长为无穷小量的正六面体
y
y
σ
σ
x
dy
z
dx
dz
dy
x
z
dz dx
2. 胡克定律 单元体仅受正应力σ，或切应力τ，且材料处于线弹性范围，则
F
F
目录
目录
三、应力集中的概念 应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。
d/2
F
rr
D
F
r
FD
d
F
d/2
构件几何形状不连续 应力集中与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突
变处几何参数的比值。
F
r max
F
nom 应力集中系数 α=
d
max 平均
max
nom r or d dD
xc
xdA
A
Sy
AA
,
yc
A ydA S x AA
S x yC A , S y xC A
若xC = 0、yC= 0，则Sy = 0、Sx = 0。可见，若某轴 通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。
目录
二、惯性矩和惯性积
1.惯性矩
Ix A y2dA ix2 A
,
Iy
x2dA
E ， =G
E：弹性模量，G：切变弹模。
目录
第二节 直杆轴向拉伸(压缩)时横截面上的正应力
一、横截面上的正应力 1.实验观察—平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为 平面且仍垂直于轴线。
演示
设想拉（压）杆由纵向纤维组成，根据平面假设，拉（压）杆所有
纵向纤维的伸长（缩短）是相同的。从而推得，拉（压）杆横截面上只
解：取与x轴平行的狭长条为微面积，则dA = bdy。
I x
Baidu Nhomakorabea
y2 d A
A
h / 2 y 2b d y bh3
h / 2
12
再取与y轴平行的狭长条为微面积
I y
x2 d A
A
b / 2 x 2h d x hb3
b / 2
12
根据平行轴公式
I x1
Ix
A( h )2 2
hb3 3
目录
A
iy2 A
i：惯性半径
惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。
组合图形对某轴的惯性矩
n
n
I x I xi , I y I yi
i1
i1
2．计算惯性矩的平行移轴公式
Ix Iy
I xC I yC
a 2 A b2 A
目录
3.极惯性矩
Ip
2 dA
A
极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲。
A面杆。
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，
1
水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
C
45° B
Fx 0
2
FN1 cos 45 FN 2 0
FN1
FN 2 45°
y
B
F
x
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
1
FN1 A1
28.3103 202 106
取微段dx
d
dx
2.物理方面
G
3.静力等效
G
d
dx
dA Mx
A
G
d
dx
A
2dA
G
d
dx
IP
Mx
Mx
Ip
d M x
dx GIP
目录
Mx
Mx Ip
max
Mx Ip
R
Mx Ip R
令
抗扭截面系数
max
Mx Ip R
Mx Wp
目录
三、 Ip 与 Wp 的计算
实心轴
目录
空心轴
令
则
Pa
16.54MPa
Hmax
Mx2 WP 2
22.69MPa
Cmax
M x3 WP3
21.98MPa
目录
第四节 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力
纯扭转，截面上只有切应力
目录
第五节 梁纯弯曲时横截面上的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩，没有剪力。 a
=F
_ F _
Fa 梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
在相互垂直的两个平 面上，切应力必成对 出现，两切应力的数 值相等，方向均垂直
x 于该平面的交线，且
同时指向或背离其交 线。
z
dx
❖ ❖因所❖为以若切不不单应论论元力材单体互料元各等是体个定否上截理处有面是于无上由弹正只单性应有元范力切体围存应的，在力平切，而衡应切无条力应正件互力应导等互力出定等，的理定称，总理为与是都纯材成是剪料立成切的的立状性。的态能。。无关。
本章重点
杆件基本变形时横截面上应力的计算
第一节 应力、应变极其相互关系
问题的提出 一、正应力、切应力 1. 应力 内力的集度（单位面积上的内力）
F
F4
A C
2.一点处的应力
平均应力
pm
F A
F3
p
一点处应力
p lim F dF A0 A dA
σ
τ
令 p 垂直于截面的分量σ－－正应力 + _
目录
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
目录
四、薄壁圆筒切应力的计算
当 d D 0.9时，空心圆轴可视为薄壁圆筒
A
R0dA
R0
AdA 2πR02 Mx
Mx
2π R02
Mx
2 A0
目录
五、 切应力互等定理
y
根据力偶平衡理论
平衡吗？ ( dydz)dx ( dxdz)dy
dy
dz
时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近
似成立。 弯曲正应力
M (x)y
IZ
max
M max ymax IZ
目录
例3-8 简支梁受均布载荷作用。已知已知E=200GPa，试求1.C 截面上
K点正应力， 2.C 截面上最大正应力， 3.C 截面的曲率半径ρ, 4.全梁上
最大正应力。
q=60kN/m
1m